« poprzedni punkt  następny punkt »


4. LICZBY RZECZYWISTE

Liczby wymierne, mimo że spełniają twierdzenie o gęstości, nie "wypełniają" całej osi liczbowej. Można to uzasadnić zauważając, że rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych są albo skończone albo okresowe. Zatem rozwinięcia nieokresowe nie dają nam liczby wymiernej, choć powinny określać jakąś liczbę. Poprawna definicja zbioru liczb rzeczywistych opiera się o pojęcie granicy, które poznamy w wykładzie z analizy. Zbiór liczb rzeczywistych R to najmniejsze powiększenie zbioru liczb wymiernych, w którym każdy ciąg rosnący i ograniczony z góry ma swoją granicę. Dla nas ważne jest teraz, że zbiór liczb rzeczywistych zawiera w szczególności wszystkie pierwiastki liczb naturalnych. Zatem jest liczbą rzeczywistą odpowiadającą długości przekątnej kwadratu jednostkowego. Ponadto, działania w zbiorze liczb rzeczywistych spełniają te same własności co w zbiorze liczb wymiernych.

Liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi nazywamy liczbami niewymiernymi.

Symbolicznie:

R = Q È R \ Q

Można udowodnić, że są liczbami niewymiernymi.

Strukturę liczb niewymiernych wyjaśnimy na przykładzie liczby . Obliczenie jej na kalkulatorze daje wynik: 1,4142135.

Czy jest to jednak dokładna wartość ? łatwo przekonać się że nie, gdyż podnosząc liczbę 1,4142135 do kwadratu otrzymamy liczbę 1,9999998, która jest bliska liczbie 2, ale jest jednak od niej mniejsza. Dokładnej wartości 2 nie otrzymamy również zmieniając ostatnią cyfrę liczby 1,4142135 na 6, gdyż po podniesieniu do kwadratu otrzymamy wartość 2,0000001, tym razem większą od 2. Obliczenia przy użyciu kalkulatora z większą dokładnością dadzą podobny rezultat, choć odchyłka od 2 będzie teraz mniejsza. Zmiana cyfry na ostatnim miejscu po przecinku nie przyniesie również efektu. Mamy tu do czynienia z pewną prawidłowością, a nie użyciem kalkulatora o zbyt małej dokładności. Jest to cecha liczby i wszystkich innych liczb niewymiernych - nie dają się zapisać jako liczba ze skończoną ilością liczb po przecinku.

Pytanie kontrolne 4: Podaj geometryczną interpretację i trzecią liczbę po przecinku jej przybliżenia dziesiętnego.

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »