« poprzedni punkt | następny punkt » |
Niech u1, u2 będą dowolnymi niezerowymi wektorami przestrzeni euklidesowej E. Jeśli u1 byłby elementem bazy przestrzeni E, to współrzędna wektora u2 odpowiadająca wektorowi u1 miałaby postać:
a = < u1, u2 >/ || u1||2.
Rozpatrzmy wektor u2 po pominięciu "wkładu" wektora u1:
v2 = u2 - ( < u1, u2 >/ || u1||2) × u1.
Zauważmy, że <v2, u1> = 0, co oznacza, że wektory u1 i v2 są ortogonalne.
Rzeczywiście:
Spostrzeżenie to jest podstawą metody ortogonalizacji Grama - Schmidta zbioru wektorów.
Twierdzenie
Niech { u1, ....., uk } będzie zbiorem niezerowych wektorów liniowo niezależnych. Wówczas ortogonalny układ wektorów { v1, ....., vk }, będących kombinacjami liniowymi wektorów { u1, ....., uk }, jest określony wzorami:
Przykład
Dokonaj ortogonalizacji układu wektorów w E3:
Przyjmujemy, że .
Obliczamy wektor prostopadły:
« poprzedni punkt | następny punkt » |