następny punkt » |
Znane powiedzenie matematyka Leopolda Kroneckera brzmi "liczby naturalne stworzył Bóg, a wszystko inne jest dziełem człowieka".
Jest to m.in. wyrażenie faktu, że definiując zbiór liczb naturalnych musimy oprzeć się o pojęcia pierwotne, jakimi są:
Stała 0, relacja równości i jednoargumentowa funkcja n' zadająca następnik liczby naturalnej n.
Aksjomatykę zbioru liczb naturalnych (System Peano) przedstawiono w wykładzie pt. Matematyka Dyskretna w części poświeconej indukcji. Opierając się o nią przedstawimy definicję i własności operacji dodawania i mnożenia w zbiorze liczb naturalnych. Definicja indukcyjna (np. dodawania dwóch liczb naturalnych) składa się z dwóch części. Najpierw definiujemy dodawanie dla elementu 0. Część druga definicji ma postać implikacji, w której zakładamy, że zostało zdefiniowane działanie dla dwóch liczb naturalnych i z tego wnioskujemy jak wygląda dodawanie danej liczby do następnika drugiej.
Definicja
Dodawanie w zbiorze liczb naturalnych jest określone następująco:
Następnik liczby n utożsamiany jest z liczba n+1, zatem ostatni wzór oznacza po prostu, że:
Tak w sposób formalny zapisuje się intuicyjny fakt, że dodanie liczby m do n równe jest m - krotnemu dodaniu do niego jedności.
Niech m = 0, wtedy zgodnie z definicja dodawania liczb naturalnych określamy dodawanie kolejnych liczb jako:
1 + n= 0' + n = (0 + n)' = n'
(np. 1+1 = 0' + 1 = (0 + 1)' = 1' = 2)
2 + n = 1' + n = (1 + n)' = n''
(np. 2 + 1 = 1' + 1 = (1 + 1)' = 2' = 3)
...
W podobny sposób definiujemy mnożenie liczb naturalnych.
Definicja
Mnożenie w zbiorze liczb naturalnych jest określone następująco:
Tak w sposób formalny zapisuje się fakt, że mnożenie liczby m przez n polega na m-krotnym dodaniu liczby n do siebie.
Niech m = 0
1 ×
n = 0' ×
n = (0 ×
n) + n = 0 + n = n
2 ×
n = 1' ×
n = (1 ×
n) + n = n + n
...
Twierdzenie
Własności dodawania i mnożenia:
m + (n + k) = (m + n) + k (łączność),
m + n = n + m (przemienność),
(m + n = m + k) Þ
(n = k) (skracanie),
m ×
(n + k) = m ×
n + m ×
k (rozdzielność),
m ×
n = n ×
m (przemienność),
(m ×
n) ×
k = m ×
(n ×
k) (łączność),
m ×
1 = m (istnienie jedynki)
(m' = m + 1) Þ
(m = n' dla pewnej liczby n),
dla każdej pary m, n liczb naturalnych: m = n lub m = n + k
dla pewnego k lub n = m + k dla pewnego k,
(m ¹
0) Þ
(m = n') dla pewnej liczby n.
Definicja
Porządek w zbiorze liczb naturalnych jest zdefiniowany w następujący sposób:
m < n wtedy, gdy istnieje liczba naturalna k ¹ 0 taka, że m + k = n.
Mówimy wtedy, że m jest liczbą mniejszą od liczby n, np.: 5<7, bo istnieje k = 2, takie że 5 + 2 = 7
Twierdzenie o uporządkowaniu
Dla każdej pary liczb naturalnych mamy:
m = n lub m > n lub m < n.
Powyższe twierdzenie mówi zatem, że dowolne dwie liczby albo są sobie równe albo jedna z nich jest większa od drugiej.
W zbiorze liczb naturalnych wprowadza się również relację ³:
n ³
m (mówimy, że m jest mniejsze bądź równe n) gdy m < n lub m = n.
Twierdzenie
Porządek ³ ma następujące własności:
Inne relacje w zbiorze liczb naturalnych, takie jak na przykład podzielność, zostaną przedstawione w wykładzie 2.
Pytanie kontrolne 1: Oblicz (3')'.
następny punkt » |