następny punkt » |
W wykładzie 9 wprowadziliśmy pojęcie iloczynu skalarnego w przestrzeni Rn jako:
gdzie u = [ u1, ....., un ] i v = [ v1, ....., vn ] są wektorami z przestrzeni Rn.
Pewne własności tak określonego iloczynu skalarnego stanowią podstawę jego ogólnej definicji.
Definicja
Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Funkcję, która uporządkowanej parze wektorów
u, v Î V przyporządkowuje liczbę rzeczywistą < u, v> nazywamy iloczynem skalarnym wektorów u i v, gdy spełnione są następujące warunki:
(i) < u, v > = < v , u>;
(ii) < u + v, w> = < u, w > + < v, w >;
(iii) < a u, v > = a × < u, v >;
(iv) < u, u > ³ 0 i równość zachodzi tylko dla u = 0.
Warunek (i) mówi o symetryczności iloczynu skalarnego, natomiast warunki (ii) i (iii) o tym, że iloczyn skalarny < u, v > jest funkcją liniową ze względu na pierwszą współrzędną u.
Pytanie kontrolne 1: Czy iloczyn skalarny jest funkcją liniową ze względu na drugą współrzędną?
Przykłady
gdzie: u = [ u1,u2, u3 ] i v = [ v1,v2,v3 ].
< A, B > = tr ( ABT ), gdzie tr C ( ślad macierzy C) oznacza sumę wszystkich elementów głównej przekątnej macierzy kwadratowej C. Interpretacja tego iloczynu skalarnego jest następująca: jeśli wiersze macierzy A i B potraktujemy jako współrzędne wektorów, to < A, B > jest sumą iloczynów skalarnych odpowiadających sobie wektorów wierszowych.
Uwaga
Z pierwszej części przykładu wynika, że często można w jednej przestrzeni wektorowej V wprowadzić kilka różnych iloczynów skalarnych.
Definicja
Rzeczywistą przestrzeń liniową z wprowadzonym iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią euklidesową.
Przestrzeń Rn z iloczynem skalarnym zdefiniowanym jako:
gdzie u = [ u1, ....., un ] i v = [ v1, ....., vn ] jest przestrzenią euklidesową i oznaczana będzie jako En.
Podobnie jak w wykładzie 9 wprowadzimy pojęcie normy (długości) wektora wykorzystując ogólną definicję iloczynu skalarnego.
Definicja
Niech v będzie wektorem przestrzeni euklidesowej E . Wówczas normą (długością) wektora v nazywamy liczbę:
W przestrzeni En długość | | v | | jest również oznaczana jako | v |.
Przykład
Uwaga
Podobnie jak dla normy w przestrzeni euklidesowej En w przypadku ogólnym spełnione są:
Spełniona jest także równość równoległoboku:
Stwierdzenie
Dla dowolnych wektorów u i v należących do przestrzeni euklidesowej E zachodzi:
Rys. 13_1 Interpretacja graficzna równości równoległoboku.
Interpretując wektor u - v jako drugą przekątną równoległoboku otrzymamy interpretację graficzną tego stwierdzenia.
Definicja
Odległością wektorów u i v Î E nazywamy liczbę d (u , v,) określoną jako:
Zauważmy, że w przestrzeni euklidesowej En odlegość między wektorami u = [ u1, ....., un ] i v = [ v1, ....., vn ] zaczepionymi w punkcie 0 jest równa odległości punktów odpowiadających końcom tych wektorów:
Rys. 13_2 Interpretacja graficzna odległości wektorów.
następny punkt » |