« poprzedni punkt  następny punkt »


2. SYSTEMY POZYCYJNE

Udowodnione fakty dają możliwość rozpatrzenia zapisu liczb w innych systemach niż stosowany popularnie system dziesiątkowy.

Ustalmy liczbę naturalną m > 0, która będziemy traktowali jako podstawę systemu pozycyjnego.

Twierdzenie

Każdą liczbę naturalną można jednoznacznie przedstawić w postaci:

n = akmk + ak-1mk-1 + ..... + a1m + a0, gdzie 0 £ a0 < m.

Dowód twierdzenia przeprowadzamy stosując indukcję matematyczną.

Dla n=1, twierdzenie jest spełnione: 1 = 1 × m0.

Na mocy pierwszego twierdzenia wykładu:
, gdzie 0 £ a0 < m.

Ponieważ a1 < n, więc na mocy założenia indukcyjnego:
a1 = cl ml + ... + c1m + c0,

zatem:

n = cl ml+1 +...+ c1m2 + c0m + a0.

Jednoznaczność przedstawienia liczby w systemie pozycyjnym o zadanej podstawie wynika z porównania czynników.

Liczbę m nazywamy podstawą systemu pozycyjnego.

Przy ustalonym m, liczbę n reprezentuje układ współczynników akak-1 ... a1 a0 będący zapisem liczby n w systemie o podstawie m; ak, ak-1, ... ,a0 są cyframi w tym zapisie.

W szczególności wyróżniamy następujące systemy pozycyjne:

System o podstawie 2 - system binarny,
System o podstawie 8 - system ósemkowy,
System o podstawie 16 - system heksagonalny.

Zastosowanie:

Języki programowania - Asembler wykorzystuje system binarny.

Zapis kolorów, np. w HTML - system heksagonalny.

Przykład

Zapisać liczbę 16 kolejno w systemach o podstawie 10, 3 i 2.

Zapis w systemie dziesiętnym:
1610 = 1 × 101 + 6 × 100.

Inaczej, liczbę 16 możemy zapisać jako:
16 = 1 × 32 +2 × 31 + 1 × 30 .
Zatem zapis liczby 16 w systemie trójkowym ma postać: 163 = 121.

Podobnie:
16 = 1 × 24 + 0 × 23 +0 × 22 + 0 × 21+ 0 × 20 .
Zapis w systemie dwójkowym: 162 = 10000.

Przykład

Zapisać liczbę 124 w systemie dwójkowym i ósemkowym.

124 = 1 × 26+ 1 × 25 + 1 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21+ 0 × 20
1242=1111100

124 =1× 82 + 7 × 8 + 4 × 80
1248= 174

Pytanie kontrolne 4: Zapisać liczbę 125 w systemiach pozycyjnych o podstawach 5, 2 i 11.

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »