« poprzedni punkt |
Iloczyn wektorowy w E3 jest przekształceniem określonym jako:
Przekształcenie to parze wektorów z przestrzeni E3 przyporządkowuje wektor z przestrzeni E3.
Definicja
Dla wektorów a = [a1,a2,a3 ] i b = [b1,b2,b3 ] przyjmiemy oznaczenie a x b dla wektora:
Wektor a x b nazwiemy iloczynem wektorowym wektorów a i b.
Przykład:
Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów:
Zgodnie z definicją obliczamy:
Uwaga
Podkreślmy, że w odróżnieniu od iloczynu skalarnego dwóch wektorów, który jest liczbą, iloczyn wektorowy jest wektorem.
Zauważmy również, że z definicji wynika, że gdy wektor a i b są zależne, to a x b =0.
W szczególności a x a = 0.
Udowodnimy teraz podstawowe własności charakteryzujące iloczyn wektorowy.
Stwierdzenie
Zanim udowodnimy stwierdzenie, skomentujmy je. Własność a) mówi, że wektor a x b jest prostopadły zarówno do wektora a jak i b .
Rys. 14_2 Interpretacja geometryczna własności iloczynu skalarnego.
Długość wektora a x b jest równa , czyli polu
równoległoboku "rozpiętego" na wektorach a i b .
Własność c) ustala w istocie zwrot wektora a x b.
Dowód a) wynika z równości
Wyznaczniki macierzy są równe 0, ponieważ każda z macierzy ma dwa identyczne wiersze.
Dowód b).
Wiemy, że pole równoległoboku jest równe G(a, b)1/2, gdzie:
Bezpośrednie obliczenie powyższego wyznacznika daje:
Dowód c). Rozpisując wyznacznik det V (a, b, axb) względem ostatniego wiersza otrzymamy, że:
przy czym równość może zachodzić, gdy ai/aj = bi/bj dla i, j = 1, 2, 3, to jest wtedy gdy a = tb dla pewnego tÎ R, czyli gdy wektory a i b są liniowo zależne.
Pytanie kontrolne 3: Oblicz iloczyn wektorowy wektorów [1, 0, 0, ], [0, 2, 2], [-1, 3, 0].
Omówimy teraz dalsze własności iloczynu wektorowego
Stwierdzenie
Własność a) wynika z faktu, że przestawienie wektorów a i b w iloczynie wektorowym powoduje zamianę wierszy w macierzach 2´ 2 występujących w definicji iloczynu wektorowego. Przykładowo pierwsza współrzędna wektora a´ b jest równa:
gdzie wyznacznik po prawej stronie jest pierwszą współrzędną wektora b´ a.
Podobnie, własność d) wynika z faktu, że pierwsze z wyrażeń jest równe:
Stwierdzenie
W układzie kartezjańskim iloczyn wektorowy wektorów:
wyraża się wzorem:
gdzie i, j, k są wersorami osi.
Wzór ten możemy zapisać jako:
Porównajmy następujące własności iloczynu skalarnego i wektorowego.
iloczyn skalarny | iloczyn wektorowy |
![]() | ![]() |
a ´ a = 0 | |
a ´ b = - b ´ a | |
![]() | |
a ´ (b + c) = a ´ b + a ´ c |
Przykład:
Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów:
Sprawdziliśmy zatem udowodnioną poprzednio równość:
Przykład:
Obliczyć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach:
a = [0, -1, 3], b = [2, 5, -2].
Obliczamy długości wektorów a i b:
.
Obliczamy iloczyn wektorowy:
Określamy długość iloczynu wektorowego:
równą polu równoległoboku êR(a,b)ê.
Przykład:
Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A = (2, 7, -1), B = (0, 3, 5), C = (-1, 4, 3).
Utożsamiając punkt A z początkiem układu współrzędnych i korzystając z interpretacji geometrycznej iloczynu wektorowego, mamy
Rys. 14_3 Ilustracja geometryczna przykładu.
Stąd:
« poprzedni punkt |