« poprzedni punkt  następny punkt »


2. DZIAŁANIA NA MACIERZACH

2.1. Dodawanie macierzy

Definicja

Sumą macierzy A = [ aij] i B = [ bij] wymiaru mxn, nazywamy macierz C = [ cij ] wymiaru mxn taką, że

cij = aij + bij, 1£ i £ m, 1 £ j £ n.

Przykład

Analogicznie różnica macierzy A i B, C = A - B jest macierzą wymiaru mxn taką, że:

.

Przykład

Pytanie kontrolne 1: Jaką wartość musi mieć x, żeby podana niżej macierz była macierzą dolnotrójkątną?


2.2. Mnożenie macierzy przez liczbę

Definicja

Dla macierzy A =[ aij ] i liczby rzeczywistej c

c× A =[ c × aij ].

Mnożąc macierz A przez liczbę c, mnożymy każdy wyraz macierzy przez c.

Przykład


2.3. Mnożenie macierzy

Definicja

Jeżeli A = [ aij ] jest macierzą wymiaru mxp oraz B = [ bjk] jest macierzą wymiaru pxn to iloczynem macierzy A i B nazwiemy macierz C= [ cij ] wymiaru mxn określoną jako:

gdzie 1£ i £ m, 1 £ j £ n, inaczej:

Praktyczny sposób mnożenia macierzy

Wybieramy i - ty wiersz macierzy A tzn. ( ai1, ai2, ....., aip ) oraz j - tą kolumnę macierzy B tzn.

( b1j, b2j, ...., bpj ).

Mnożymy kolejno odpowiednie wyrazy wybranego wiersza i wybranej kolumny przez siebie i otrzymane iloczyny dodajemy, otrzymując wyraz cij macierzy C.

Ważne

Mnożenie macierzy w ogólnym przypadku nie jest przemienne. Dwie macierze można pomnożyć tylko wtedy gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.

Przykład

Obliczyć iloczyny macierzy: A × B i B × A.

A = , B =

Przykład

=

Pytanie kontrolne 2: Obliczyć iloczyn macierzy:

Zobacz odpowiedź


2.4. Własności działań macierzowych

Twierdzenie

Działania dodawania i mnożenia macierzy mają następujące własności:

  1. A+ B=B+A (przemienność dodawania);
  2. (A+B)+C=A+(B+C) (łączność dodawania);
  3. A+ 0=0 + A gdzie 0 jest macierzą zerową;
  4. A× (B × C) = (A × B) × C (łączność mnożenia);
  5. A × (B + C) = A × B + A × C (rozdzielność dodawania względem mnożenia);
  6. (A + B) × C = A × C + B × C (rozdzielność mnożenia względem dodawania);

Jeśli A = [ aij]nxn i In jest macierzą jednostkową stopnia n to A× I = A = I × A.

Dowód:

Własności wynikają z definicji działań na macierzach.

Twierdzenie

Niech A = [ - aij ]mxn oznacza macierz przeciwną do macierzy A. Dla dowolnych macierzy A i B zachodzą następujące związki:

- (A + B) = ( - A) + ( - B );

- A = ( -1)× A;

A - B = A + (- B ).

Definicja

Jeżeli A = [ aij] jest macierzą wymiaru mxn, wtedy macierz wymiaru nxm, oznaczoną przez A
gdzie 1£ i £ m, 1 £ j £ n, nazywamy macierzą transponowaną do macierzy A.

Przykład

Znaleźć macierze transponowane do danych macierzy.

Transpozycja macierzy polega więc na zamianie miejscami kolumn i wierszy macierzy w ten sposób, że pierwszy wiersz staje się pierwszą kolumną itd.

Twierdzenie

Dla macierzy A i B zachodzi:

( AT)T = A;

( A + B )T = AT + BT;

( A × B )T = BT × AT.

Definicja

Macierz A jest macierzą symetryczną, gdy AT = A.

Przykład

Macierz symetryczna:

Pytanie kontrolne 3: Jak wygląda macierz transponowana do macierzy I3?


« poprzedni punkt  następny punkt »