« poprzedni punkt  następny punkt »


3. PODPRZESTRZEŃ LINIOWA

Definicja

Niepusty podzbiór W Ì V jest podprzestrzenią liniową, jeśli:

  1. v, w Î W Þ v + w Î W,
  2. w Î W Þ a w Î W dla a Î R.

Warunki w definicji podprzestrzeni liniowej można zastąpić jednym równoważnym warunkiem:

Zbiór składający się jedynie z wektora zerowego 0 i cała przestrzeń V są oczywiście podprzestrzeniami przestrzeni V. Są to tak zwane podprzestrzenie niewłaściwe. Pozostałe podprzestrzenie nazywamy podprzestrzeniami właściwymi.

Przykład

Zbiór wektorów o współrzędnych {[x1, x2, x3]: x1 + x2 + x3 =0} jest podprzestrzenią właściwą przestrzeni R3.

Podobnie, zbiór wektorów {x Î R7: 3x1 + 7x7 = 0} jest podprzestrzenią właściwą przestrzeni R7, a nie jest podprzestrzenią liniową zbiór {x Î R7: 3x1 + 7x7 = 1}.

Zbiór W Ì V jest podprzestrzenią liniową V, gdy tworzy przestrzeń liniową z działaniami określonymi w przestrzeni V.

Stwierdzenie (o sumie i iloczynie przestrzeni liniowych)

Niech U i W będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V. Wówczas:

  1. U Ç W jest podprzestrzenią liniową V;
  2. U È W jest podprzestrzenią liniową V, wtedy i tylko wtedy gdy U Ì W lub WÌ U.

Przykład

Rozpatrzmy dwie podprzestrzenie liniowe:

U = {[x1, x2, x3]: x1 + 2x2 - 3x3 =0},

W = {[x1, x2, x3]: x1 - 2x2 =0}.

Suma podprzestrzeni U È W nie jest podprzestrzenią liniową. Weźmy na przykład wektor [1,1,1]Î U i wektor [2, 1, 0] Î W, ich sumą jest wektor [3, 2, 1] , który nie należy do przestrzeni U È W.

Definicja

Wektory a1, a2, ....., ak liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego układu c1, c2, ..., ck liczb rzeczywistych, jeżeli:

c1 a1 + c2 a2 + ....cn an = 0

to c1 = c2 = ...= ck = 0.

Jeżeli wektory a1, a2, ....., ak nie są liniowo niezależne, to mówimy, że są one liniowo zależne.

Przykład

Jeżeli wektory a1, a2 są liniowo zależne, to istnieją liczby c1, c2; gdzie c1 ¹ 0 lub c2 ¹ 0, takie, że:

c1 a1 + c2 a2 = 0.

Jeśli np. c1 ¹ 0, to wtedy:

Jeżeli wektory a1, a2, a3 są liniowo zależne, to istnieją c1, c2, c3, takie, że c1 ¹ 0 lub c2 ¹ 0 lub c3 ¹ 0 oraz c1 a1 + c2 a2 + c3 a3 = 0.

Jeżeli np. c1 ¹ 0 to:

a zatem wektor a1 jest liniową kombinacją pozostałych.

Stwierdzenie

Dwa wektory w przestrzeni R2 są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy nie są współliniowe. Trzy wektory w przestrzeni R3 są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy nie są współpłaszczyznowe.

Twierdzenie

Układ wektorów a1, a2, ....., an jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy pewien spośród wektorów a1, a2, ....., an jest liniową kombinacją pozostałych.

Przykład - Przestrzeń R3

Wektory [1, 2, 3], [-3, 4, 2], [1, 0, 1] , [-15, 28, 18] są liniowo zależne, ponieważ:

4[1, 2, 3] + 5[-3, 4, 2] - 4[1, 0, 1] = [-15, 28, 18].

Przykład - Przestrzeń T(I)

Funkcje f(x) = x2, g(x) = sinx są liniowo niezależne w przestrzeni T[0,2p], natomiast funkcje f(x) = sin2x , g(x) = cos2x, h(x) º 1 nie są liniowo niezależne, gdyż f(x) + g(x) - h(x) º 0 dla x Î [0,2p].

Z definicji liniowej niezależności wynikają następujące fakty:

  1. Wektor v jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy gdy v ¹ 0;
  2. Podzbiór zbioru liniowo niezależnych wektorów jest liniowo niezależny;
  3. Jeśli wektory { x1, x2, ....., xk } są liniowo zależne to zbiór wektorów { x1, x2, ....., xk, y } jest również liniowo zależny dla dowolnego y Î V;
  4. Zbiór { 0, x1, x2, ....., xk } jest zawsze liniowo zależny dla dowolnych wektorów x1, x2, ....., xk Î V.
  5. Jeśli wektory { x1, x2, ....., xk } są liniowo niezależne, a wektory { x1, x2, ....., xk, y } są liniowo zależne, to wektor y jest liniową kombinacją wektorów x1, x2, ....., xk, co zapisujemy jako:

    gdzie: a 1, ....., a n Î R.

Pytanie kontrolne 4: Uzasadnij liniową zależność wektorów [1, 2], [2, 3], [3, 4] w przestrzeni R2 przedstawiając jeden z tych wektorów jako liniową kombinację pozostałych.

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »