« poprzedni punkt 


3. INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA LICZB ZESPOLONYCH

Zdefiniujemy teraz trygonometryczną postać liczb zespolonych oraz podamy jej własności i zastosowanie do obliczania potęg liczb zespolonych.

Diagram Arganda

Poznamy teraz kolejną interpretację liczb zespolonych.

Liczbę zespoloną z = x+yi, którą zdefiniowaliśmy jako uporządkowaną parę liczb (x,y) możemy interpretować jako:

Płaszczyznę zespoloną liczb z oznaczymy symbolem C podobnie jak zbiór liczb zespolonych.

Rys. 3_1 Płaszczyzna zespolona.

Geometryczna interpretacja działań dla liczb zespolonych

Interpretacja liczby zespolonej jako wektora pozwala na traktowanie dodawania liczb zespolonych jako dodawania wektorów:
        ,
oraz odejmowania liczb zespolonych jako odejmowania wektorów:
        .

W kartezjańskim układzie współrzędnych suma wektorów odpowiadających liczbą zespolonym z1 i z2 jest przekątną równoległoboku rozpiętego na tych wektorach. W podobny sposób można zinterpretować ich różnicę.

Rys. 3_2 Geometryczna interpretacja dodawania i odejmowania liczb zespolonych.

Zdefiniujemy teraz wielkości charakteryzujące geometryczne właściwości zmiennej zespolonej. Związane są one z jej interpretacją geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Definicja

Argumentem liczby z = x + yi, oznaczanym przez arg z, nazywamy każdą liczbę rzeczywistą j, spełniającą dwa warunki:
          
gdzie .
Argument liczby 0 nie jest określony.

Definicja

Argument główny liczby z określony jest jako argument liczby z, który należy do przedziału <- p, p >.
Argument główny oznaczamy jako Argz.
Stąd - p < argz £ p oraz argz = Argz + 2k p , k = 0, ± 1, ...

Przykład

        

Podsumowując:

Własności geometryczne liczby zespolonej są scharakteryzowane przez dwie wielkości:

moduł liczby zespolonej, który określa długość wektora odpowiadającego tej liczbie oraz argument liczby zespolonej będący miarą względną kąta, jaki tworzy wektor odpowiadający danej liczbie zespolonej z osią rzeczywistą.

Rys. 3_3 Geometryczna interpretacja liczby zespolonej.

Tak więc, liczbę zespoloną z możemy utożsamiać z parą (| z |, j), gdzie φ jest argumentem głównym liczby zespolonej z. Takie przedstawienie nazywa się często przedstawieniem we współrzędnych biegunowych.

Stwierdzenie

Liczbę zespoloną można zapisać w postaci trygonometrycznej z wykorzystaniem jej modułu i argumentu: z = r(cosj + i∙sinj), gdzie r oznacza moduł liczby zespolonej, a φ jej argument.

Przykład

Zapisać w postaci trygonometrycznej liczbę posługując się jej głównym argumentem.

Obliczamy najpierw moduł liczby zespolonej:

        
Obliczamy argument liczby zespolonej, tzn. szukamy takiego kąta φ, który ma następujące właściwości:
        
Zgodnie z definicją trygonometryczna postać liczby zespolonej jest następująca:
        

Przy obliczaniu argumentu głównego liczby zespolonej dobrze jest wykonać rysunek pomocniczy.

W kartezjańskim układzie współrzędnych znajdujemy punkt odpowiadający liczbie , jest to punkt o współrzędnych . Z tego rysunku określamy wartości sinusa i cosinusa kąta będącego argumentem głównym danej liczby.

Rys. 3_4 Geometryczna interpretacja liczby zespolonej .

Twierdzenie (de Moivre'a)

Dla każdej liczby zespolonej z = r (cos φ + i sin φ) oraz dla liczby naturalnej n = 0, 1, 2, 3, ... zachodzi:

zn = rn (cos + i sin).

Powyższe twierdzenie zachodzi również dla liczb całkowitych ujemnych:

.

W szczególności, dla: z = r(cosj + i∙sinj ) ¹ 0, liczba 1/z odwrotna do liczby z wyraża się wzorem:

Porównajmy ją z postacią liczby :

= rcos(j) - isin(j).

Pytanie kontrolne 4: Zapisz w postaci trygonometrycznej liczbę z = - 6 - 6i oraz zaznacz tę liczbę na płaszczyźnie zespolonej.

Zobacz odpowiedź

Twierdzenie

Niech z 1= r1(cosj 1 + i∙sinj 1) i z2 = r2(cosj 2 + i∙sinj 2). Wtedy:

        

Przy mnożeniu liczb zespolonych ich moduły mnożymy a argumenty dodajemy.


« poprzedni punkt