następny punkt »


1. RÓWNOLEGŁOŚCIAN, DEFINICJA I WŁASNOŚCI

Definicja

Niech v1,..., vn Î En będą liniowo niezależnymi wektorami. Równoległościanem rozpiętym na wektorach v1,..., vn nazywamy zbiór wektorów postaci:

c1× v1 +.....+ cn × vn,

gdzie 0c1, c2,..., cn1, a więc takich kombinacji liniowych wektorów, których współczynniki są liczbami z przedziału [0,1]. Równoległościan ten oznaczymy przez R(v1,..., vn).

Jak łatwo stwierdzić, podana definicja równoległościanu na płaszczyźnie redukuje się do pojęcia równoległoboku. Mówiąc intuicyjnie, wektory postaci c1 × v1+ c2 × v2 dla 0 c1,c21; "wypełniają" równoległobok o bokach wyznaczonych przez wektory v1 i v2 znany z matematyki szkolnej.

Rys. 14_1 Interpretacja geometryczna równoległościanu.

Rozpatrzmy macierz V(v1,..., vn) składającą się z wierszy będących współrzędnymi kolejnych wektorów to jest:

gdzie Vi = [vi1,vi2,...,vin].

Policzmy czemu równe jest pole S równoległoboku R(v1, v2) na płaszczyźnie. Wiemy, że:

Przekształćmy to wyrażenie korzystając z tożsamości sin2a + cos2a = 1 i równości

gdzie oznacza kąt między wektorami v1, v2.

Tak więc pole równoległoboku równe jest wartości bezwzględnej wyznacznika macierzy V(v1, v2). Podobnie można sprawdzić, że objętość równoległościanu R(v1, v2, v3) jest równa ½ det V(v1, v2, v3)½. Spostrzeżenia te są podstawą następującej definicji.

Definicja

Objętością równoległościanu R(v1,..., vn) nazywamy liczbę ½ det V(v1,..., vn)½ i oznaczamy

½ R(v1,..., vn)½.

Przykład:

Znaleźć objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach:

Macierz V(v1, v2, v3) ma postać:

Obliczając jej wyznacznik np. metodą Sarrusa stwierdzamy, że:

Pytanie kontrolne 1: Znajdź objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach: [2, 4, 1], [1, 0, -1], [2, 2, 3].

Zobacz odpowiedź


 następny punkt »