« poprzedni punkt  następny punkt »


4. METODY OBLICZANIA WYZNACZNIKÓW

4.1. Algorytm Gaussa obliczania wyznaczników

W oparciu o powyższe twierdzenie łatwo uzasadnić prawdziwość następującego algorytmu Gaussa obliczania wyznaczników, który polega na sukcesywnym obniżaniu stopnia obliczanego wyznacznika.

Obliczamy wyznacznik macierzy A:

Wówczas:

W ostatnim wyznaczniku od i-tego wiersza, dla i = 2, 3, ..., n odejmujemy wiersz pierwszy przemnożony przez ai1.

W efekcie otrzymamy:

gdzie:

.

Transponując ostatni wyznacznik i korzystając z definicji wyznacznika otrzymamy, że:

gdzie wyznacznik po prawej stronie a11 jest stopnia n-1. W ten sposób obliczenie wyznacznika stopnia n sprowadza się do obliczenia wyznacznika stopnia n - 1.

Definicja

Niech A = [ aij] będzie macierzą kwadratową stopnia n. Dopełnieniem algebraicznym elementu aij nazywamy liczbę:

gdzie Aij oznacza macierz stopnia n-1 otrzymaną przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy.

Twierdzenie (Laplace'a o rozwinięciu wyznacznika)

Dla macierzy A stopnia n zachodzi:


i

dla dowolnych liczb i, j takich, że 1 £ i, j £ n.

Zatem wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów i-tego wiersza i ich dopełnień algebraicznych jak również sumie iloczynów elementów j-tego wiersza i ich dopełnień algebraicznych.

Przykład zastosowania twierdzenia Laplace'a

Stosując rozumowanie indukcyjne i twierdzenie Laplace'a łatwo uzasadnić, że wyznacznik macierzy dolno lub górnotrójkątnej jest równy iloczynowi elementów diagonalnych.

Twierdzenie (o wyznaczniku iloczynu)

Jeśli A i B są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, to:

det ( A × B) = det A × det B.


« poprzedni punkt  następny punkt »