« poprzedni punkt | następny punkt » |
Jak obliczyć objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach v1,..., vk, gdy k < n ?
Poprzednio udowodniliśmy, że dla v1, v2 Î E2 zachodzi:
Ostatnie wyrażenie jest pierwiastkiem z wyznacznika macierzy:
Jest to tzw. macierz Grama G(v1, v2) dla wektorów v1, v2. Ogólnie macierz Grama dla wektorów v1,..., vk Î En ma postać:
Definicja
Objętością równoległościanu R(v1,..., vk) nazywamy dodatni pierwiastek wyznacznika macierzy Grama:
Okazuje się, że taka definicja jest zgodna z intuicyjnym pojęciem objętości równoległościanu.
Interpretacja geometryczna wyznacznika macierzy przekształcenia
Niech L: En ® En będzie przekształceniem liniowym o macierzy A w bazie standardowej. Załóżmy, że macierz A jest nieosobliwa.
Wówczas wektory L(v1),...,L( vn) są liniowo niezależne, jeśli tylko wektory v1,..., vn są liniowo niezależne. Istotne jest pytanie jaki jest związek między objętościami równoległościanów rozpiętych na danych wektorach i na ich obrazach w przekształceniu liniowym, tzn.:
Stwierdzenie
Uwaga
Stwierdzenie to prawdziwe jest nie tylko dla równoległościanów, ale dla dowolnych brył w En (przy naturalnym rozumieniu ich objętości). Objętość bryły przekształconej przez przekształcenie liniowe zwiększa się Idet AI razy.
Przykład:
Obliczyć pole obrazu równoległoboku R([1, 3],[2, 1]) po przekształceniu liniowym o macierzy:
Zgodnie z ostatnim stwierdzeniem obliczamy:
Zatem | L( R( [1, 3], [2, 1] )) | = 35.
Zauważmy, że mogliśmy obliczyć iloczyn macierzy A i R( [1, 3], [2, 1] ):
a następnie obliczyć wartość bezwzględną wyznacznika tej macierzy (dlaczego?).
Pytanie kontrolne 2: Obliczyć pole obrazu równoległoboku R([1, -3],[2, 1]) po przekształceniu liniowym o macierzy:
« poprzedni punkt | następny punkt » |