następny punkt » |
Rozpatrzmy przestrzeń liniową V wymiaru n i oraz dwie różne bazy tej przestrzeni:
B1 = {v1,...,vn }, B2 = {u1,...,un }.
Zapiszmy wektory bazy B2 jako kombinacje liniowe wektorów bazy B1:
u1=p11v1+ p21v2+...+ pn1vn;
.....
.....
.....
un=p1nv1+ p2nv2+...+ pnnvn.
Definicja
Macierzą przejścia od bazy B1 do bazy B2 nazywamy macierz P= [pij], której kolejnymi kolumnami są współrzędne kolejnych wektorów bazy B2 w bazie B1.
Macierz przejścia z bazy B1 do bazy B2 jest zatem macierzą przekształcenia identycznościowego I ( x ) = x w bazach B1 i B2.
Przykład - Przestrzeń R3
Rozpatrujemy następujące dwie bazy:
B1={e1, e2 , e3} baza kanoniczna;
B2={[1,0,0],[1,1,0],[1,1,1]}= {u1,u2,u3}.
Macierz przejścia od bazy B1 do B2 ma postać:
W przypadku, gdy B1 jest bazą kanoniczną w przestrzeni Rn, macierz przejścia od bazy kanonicznej do dowolnej bazy składa się z wektorów tej bazy ustawionych w kolumnach.
Wyraźmy teraz wektory bazy kanonicznej przez wektory u1, u2, u3:
e1= u1;
e2= u2-u1;
e3= u3-u2.
Odpowiednia macierz przejścia od bazy B2 do bazy B1 ma postać:
i jak łatwo sprawdzić, P1 = P -1.
Jest to przypadek szczególny następującego stwierdzenia.
Stwierdzenie
Jeśli P jest macierzą przejścia od bazy B1 do bazy B2, to P jest macierzą odwracalną i macierz odwrotna P-1 jest macierzą przejścia od bazy B2 do bazy B1.
Stwierdzenie
Jeśli współrzędne wektora w w bazie B1 są równe w1,...,wn to jego współrzędne w1',...,wn' w bazie B2 spełniają równanie:
gdzie P jest macierzą przejścia od bazy B1 do bazy B2.
Przykład c.d.
Współrzędne wektora w = [3,1,0] w bazie B2 mają postać:
Zatem:
w=2 u1 + u2.
Powróćmy teraz do przekształceń liniowych, które są tematem tego wykładu.
następny punkt » |