« poprzedni punkt | następny punkt » |
W wykładzie 5 omówiliśmy już metodę eliminacji Gaussa w przypadku, gdy liniowy układ równań był oznaczony, tzn. miał dokładnie jedno rozwiązanie. Algorytm Gaussa polegał na przekształceniu macierzy głównej układu równań do macierzy górnotrójkątnej, a następnie do macierzy jednostkowej przy użyciu następujących przekształceń elementarnych:
Rozpatrzmy przykład zastosowania metody Gaussa do układu równań:
Macierz rozszerzona tego układu równań jest postaci:
Macierz A ê B przekształcamy w ten sposób, że ostatni wiersz mnożymy przez 1/3 i zamieniamy miejscami z pierwszym:
W kolejnym kroku od trzeciego wiersza odejmujemy pierwszy wiersz przemnożony przez 4:
Zauważmy, że ostatni wiersz jest równy wierszowi drugiemu przemnożonemu przez - 2, a zatem go skreślamy:
Kolejnym przekształceniem jest odjęcie drugiego wiersza od pierwszego:
Otrzymaliśmy równoważny układ równań postaci:
Układ ten jest oczywiście układem nieoznaczonym z dwoma parametrami. Przyjmując zmienne z i t jako parametry otrzymamy:
W ogólnym przypadku macierz rozszerzona A | B zostanie przekształcona do macierzy:
przy czy ostatni wiersz może nie występować. Liczba r jest rzędem macierzy A.
Rozróżniamy następujące przypadki:
« poprzedni punkt | następny punkt » |