« poprzedni punkt  następny punkt »


4. ILOCZYN SKALARNY

Definicja

Iloczyn skalarny jest to funkcja określona na parze wektorów o wartościach ze zbioru liczb rzeczywistych.

< ×, × > : Rn x Rn ® R

Dla dwóch wektorów: a =[ a1, a2, ....., an ] i b = [ b1, b2, ....., bn ] definiujemy iloczyn skalarny jako:

Twierdzenie

Własności iloczynu skalarnego:

  1. < a, a > = 0 Û a = 0,
  2. < a, b > = < b, a > (przemienność),
  3. < a, b + c > = < a, b > + < a, c > (rozdzielność względem dodawania),
  4. <a, a > ³ 0,
  5. <l a, b > = l < a, b >.

Dowód

  1. = l

Przykład

Obliczyć iloczyn skalarny wektorów: a =[1, 2, 3], b = [0, -1, 5].

< a, b > = = 13

Pytanie kontrolne 5: Oblicz iloczyn skalarny wektorów [2, 0, 3] i [0, 1, 6].

Zobacz odpowiedź

Definicja

Długością wektora a nazywamy liczbę rzeczywistą:

Rys. 10_2 Interpretacja geometryczna długości wektora.

Przykład

Obliczyć długość wektora a = [2, 6, 0, 3].

Twierdzenie (nierówność Schwarza)

Dla dowolnych dwóch wektorów a i b zachodzi:

ê< a ,b >ê £ ça ç çb ç.

Dowód

Rozważmy funkcję kwadratową:

Mamy:

Ponieważ dla każdej wartości t zachodzi:

więc wyróżnik D £ 0, a zatem:

.

Otrzymujemy stąd:

zatem:

ê< a ,b >ê £ ça ç çb ç.

Twierdzenie (nierówność trójkąta)

Dla dowolnych dwóch wektorów a i b zachodzi:

| a + b | < | a | + | b |.

Definicja

Odległością wektorów a i b nazywamy długość wektora a - b.

Pytanie kontrolne 6: Oblicz długość wektora a = [-2, 1, 0].

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »