« poprzedni punkt 


4. RZUT ORTONORMALNY

Definicja

Niech F Ì E będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni euklidesowej E. Wektor v jest ortogonalny do podprzestrzeni F, jeśli v jest ortogonalny do dowolnego wektora u Î F, tzn. < u, v > = 0. Piszemy wtedy v ^ F.

Definicja

Niech F będzie podprzestrzenią liniową E. Rzutem ortogonalnym wektora u Î E na podprzestrzeń F nazywamy wektor u0 taki, że: u - u0 ^ F.

Rys. 13_3 Rzut prostokątny wektora na płaszczyznę.

Pytanie kontrolne 2: Sprawdź czy wektor [-1, 2, 0] jest prostopadły do podprzestrzeni E3 postaci:

{[x, y, z]: x = 2y = 3z}.

Zobacz odpowiedź

Rzut ortogonalny w przestrzeni E2 i E3 pokrywa się z rzutem prostokątnym wektorów na płaszczyznę i w przestrzeni. Jak wyznaczyć rzut ortogonalny w przypadku ogólnym? Jest to łatwe, jeśli w podprzestrzeni F , na którą rzutujemy jesteśmy w stanie wyznaczyć bazę ortogonalną.

Twierdzenie

Niech e1, ....., ek będzie bazą ortogonalną podprzestrzeni F. Wówczas rzut dowolnego wektora u Î E na podprzestrzeń F istnieje i jest określony wzorem:

Twierdzenia tego nie będziemy dokładnie udowadniać i ograniczymy się tylko do zauważenia, że wektor u - u0 jest ortogonalny do wszystkich wektorów bazowych ei . Sprawdźmy to dla wektora e1.

W przypadku, gdy e1, ....., ek jest bazą ortonormalną przestrzeni F , to rzut wektora u jest określony wzorem:

Przykład

Znajdź rzut ortogonalny wektora u = [-2, 3] Î E2 na prostą wyznaczoną równaniem y = ½ x.

Wektorem leżącym na prostej y = ½ x jest na przykład wektor [2, 1]. Po znormalizowaniu otrzymujemy wektor e1 = [2, 1] / 51/2, który oczywiście rozpina rozpatrywaną podprzestrzeń. Rzut wektora u ma postać:

Macierze ortogonalne

Rozpatrzmy wektory u1, ....., un ortonormalne w przestrzeni En. Zapiszmy je w bazie kanonicznej tej przestrzeni ui = [ ui1, .....,uin ] dla i = 1, 2, ..., n i kolejne wektory potraktujemy jako wiersze macierzy U, gdzie U = [ uij ], 1 £ i, j £ n.

Mamy < ui, uj > = 0 i || ui || = 1, zatem dowolne dwa różne wiersze macierzy U są ortogonalne i każdy z nich ma długość 1. Macierze o tej własności nazywamy ortogonalnymi.

Definicja

Macierz U wymiaru nxn nazywamy macierzą ortogonalną gdy jej wektory wierszowe tworzą układ ortonormalny.

Przykład

Przedstawiona poniżej macierz jest ortogonalna:

Z definicji wynika następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie

Macierz U jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy gdy:

  1. UUT = UTU = I;

  2. wektory kolumnowe tworzą bazę ortonormalną przestrzeni En;

  3. < Uv, Uw > = < v, w > dla dowolnych wektorów v, w Î En zapisanych jako kolumny.

Zauważmy, że ze stwierdzenia wynikają ważne wnioski. Jeśli U potraktujemy jako macierz przekształcenia przestrzeni En, to przekształcenie to zachowuje wartości iloczynu skalarnego, zatem zachowuje długości wektorów oraz kąty między nimi. Ponadto, z własności ( i ) wynika, że każda macierz ortogonalna U jest odwracalna i U-1 = UT. Ponadto:

zatem: |det( U )| = 1.

Przykład

Rozpatrzmy macierz obrotu o kąt a w przestrzeni euklidesowej E2.

Macierz ta jest macierzą ortogonalną. Macierzą do niej odwrotną jest macierz obrotu o kąt - a:


« poprzedni punkt