« poprzedni punkt  następny punkt »


3. WYMIAR PRZESTRZENI LINIOWEJ

Definicja

Niech zbiór wektorów {v1, . . .,vn} będzie bazą przestrzeni V. Wówczas mówimy, że wymiar przestrzeni V wynosi n i piszemy dimV=n.

Przykład

Wymiar przestrzeni Rn wynosi n.

Podprzestrzeń liniowa R2 składająca się z wektorów [x,y] dla których y= -x ma wymiar 1.

Wymiar przestrzeni macierzy M3x4 wynosi 12.

Uwaga

Istnieją przestrzenie liniowe nieskończenie wymiarowe. Na przykład w przestrzeni B(I) funkcji fi(x)=xi są liniowo niezależne dla i=0,1,2,... , zatem przestrzeń ta nie jest skończenie wymiarowa. Przyjmujemy wtedy, że dimV = ¥.

Dysponując współrzędnymi układu wektorów v1, . . .,vk w dowolnej bazie B= {b1, . . .,bn} możemy łatwo sprawdzić ich liniową niezależność.

Stwierdzenie

Niech ai = (ai1, . . .,ain) dla 1ik będą współrzędnymi wektora ai w bazie B. Wówczas a1, . . .,a k są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy rząd A = [ aij ] = k.

Przykład

Współrzędne wektorów v1,v2 ,v3 w bazie b1 =[ 1,0,0], b2 =[ 1,1,0], b3 =[ 1,1,1] wynoszą odpowiednio [2, 5, -1], [-1, 2, 3], [-5,-1, 2]. Sprawdzić, czy wektory v1,v2 ,v3 są liniowo niezależne. Macierz współrzędnych wektorów ma postać:

Korzystając z reguły Gaussa stwierdzamy, że: det A = - 62 ¹ 0, zatem rząd A=3 i wektory v1,v2 ,v3 są liniowo niezależne.

Pytanie kontrolne 4: Sprawdź czy wektory [2, 1, 0], [3, 0, 5], [0, -7, 1] tworzą bazę w przestrzeni R3.

Zobacz odpowiedź

Przestrzeń rozwiązań układu równań jednorodnych

Niech A=[aij] będzie macierzą mxn rzędu k i rozpatrzmy układ jednorodny równań liniowych:

Niech SÌ Rn będzie zbiorem wszystkich wektorów [xn,...,xn] będących rozwiązaniem układu jednorodnego.

Stwierdzenie

S jest podprzestrzenią liniową wymiaru n-k.

Podobnie, dla układu niejednorodnego:

Niech T będzie zbiorem rozwiązań tego układu i niech w=[w1,...,wn] będzie dowolnym wektorem z T.

Stwierdzenie

Dla każdego y Î T zachodzi:

y= w + x,

gdzie x jest pewnym rozwiązaniem układu jednorodnego. Ponadto dla dowolnego rozwiązania układu jednorodnego x wektor w + x jest rozwiązaniem układu niejednorodnego.

Ze stwierdzenia wynika zatem, że wszystkie rozwiązania układu niejednorodnego otrzymujemy dodając do szczególnego rozwiązania tego układu wszystkie rozwiązania tego układu jednorodnego.

W szczególności, dla układu trzech równań zbiór rozwiązań może być zbiorem pustym, punktem, prostą lub płaszczyzną.

Przykład

Rozpatrzmy układ równań:

2x + 3 y + 2z = 7

x + y + 2z = 4.

Stosując metodę eliminacji Gaussa stwierdzamy, że zbiorem rozwiązań układu jednorodnego są wektory postaci:

[- 4z, 2z, z] dla z Î R.

Łatwo sprawdzić, że wektor [1,1,1] jest rozwiązaniem układu niejednorodnego. Zatem ogólne rozwiązanie układu niejednorodnego ma postać:

[-4z + 1, 2z + 1, z + 1] dla z Î Rn.


« poprzedni punkt  następny punkt »