« poprzedni punkt  następny punkt »


3. METODA ORTOGONALIZACJI GRAMA-SCHMIDTA

Niech u1, u2 będą dowolnymi niezerowymi wektorami przestrzeni euklidesowej E. Jeśli u1 byłby elementem bazy przestrzeni E, to współrzędna wektora u2 odpowiadająca wektorowi u1 miałaby postać:

a = < u1, u2 >/ || u1||2.

Rozpatrzmy wektor u2 po pominięciu "wkładu" wektora u1:

v2 = u2 - ( < u1, u2 >/ || u1||2) × u1.

Zauważmy, że <v2, u1> = 0, co oznacza, że wektory u1 i v2 są ortogonalne.

Rzeczywiście:

Spostrzeżenie to jest podstawą metody ortogonalizacji Grama - Schmidta zbioru wektorów.

Twierdzenie

Niech { u1, ....., uk } będzie zbiorem niezerowych wektorów liniowo niezależnych. Wówczas ortogonalny układ wektorów { v1, ....., vk }, będących kombinacjami liniowymi wektorów { u1, ....., uk }, jest określony wzorami:

Przykład

Dokonaj ortogonalizacji układu wektorów w E3:

Przyjmujemy, że .

Obliczamy wektor prostopadły:


« poprzedni punkt  następny punkt »