« poprzedni punkt |
Zwróćmy uwagę na to, że przekształcenia elementarne wykonane na macierzy A odpowiadają jej mnożeniu przez odpowiednio dobraną macierz.
Rozpatrzmy na przykład operację odjęcia od j - tego wiersza wiersza i - tego przemnożonego przez odpowiednio dobraną stalą c. Odpowiada to obliczeniu iloczynu Eij × A, gdzie macierz Eij jest postaci:
Wiersz j macierzy Eij × A = wiersz j macierzy A - c × wiersz i macierzy A.
Wyraz ekl macierzy Eij jest postaci:
Podobnie zamiana miejscami i - tego i j - tego wiersza odpowiada obliczeniu iloczynu: Pij × A, gdzie:
Twierdzenie
Zatem Pij ma wyrazy równe:
Przykład
Macierz P12 o wymiarze 3x3 ma postać:
i odpowiada przestawieniu pierwszego i drugiego wiersza macierzy.
Pytanie kontrolne 2: Sprawdź, jakiej operacji na kolumnach macierzy 3´3 odpowiada pomnożenie jej przez macierz:
Prześledźmy wykonanie operacji macierzowych na przykładzie:
Przykład
Rozwiązać metodą eliminacji macierzowej układ równań:
Równanie zapisujemy w postaci macierzowej:
Mnożymy pierwsze z równań przez 1/3 i odejmujemy od równania drugiego:
Mnożymy pierwsze z równań przez 2/3 i odejmujemy od równania trzeciego:
Mnożymy drugie z równań przez 1/11 i odejmujemy od równania trzeciego:
Ostatecznie:
Rozwiązanie układu równań jest postaci:
« poprzedni punkt |