następny punkt »


1. LICZBY NATURALNE

Znane powiedzenie matematyka Leopolda Kroneckera brzmi "liczby naturalne stworzył Bóg, a wszystko inne jest dziełem człowieka".

Jest to m.in. wyrażenie faktu, że definiując zbiór liczb naturalnych musimy oprzeć się o pojęcia pierwotne, jakimi są:

Stała 0, relacja równości i jednoargumentowa funkcja n' zadająca następnik liczby naturalnej n.

Aksjomatykę zbioru liczb naturalnych (System Peano) przedstawiono w wykładzie pt. Matematyka Dyskretna w części poświeconej indukcji. Opierając się o nią przedstawimy definicję i własności operacji dodawania i mnożenia w zbiorze liczb naturalnych. Definicja indukcyjna (np. dodawania dwóch liczb naturalnych) składa się z dwóch części. Najpierw definiujemy dodawanie dla elementu 0. Część druga definicji ma postać implikacji, w której zakładamy, że zostało zdefiniowane działanie dla dwóch liczb naturalnych i z tego wnioskujemy jak wygląda dodawanie danej liczby do następnika drugiej.

Definicja

Dodawanie w zbiorze liczb naturalnych jest określone następująco:

  1. Określmy dodawanie dla elementu 0:
    0 + n = n dla każdego nÎ N,
  2. Załóżmy, że jest określone dodawanie liczb m i n, wynik tego dodawania oznaczmy przez (m + n ).
    Wówczas dodawanie m' i n określone jest następująco:
    m' + n = (m + n)' dla każdych n, mÎ N.

Następnik liczby n utożsamiany jest z liczba n+1, zatem ostatni wzór oznacza po prostu, że:

(m + 1)+n=(m + n)+1.

Tak w sposób formalny zapisuje się intuicyjny fakt, że dodanie liczby m do n równe jest m - krotnemu dodaniu do niego jedności.

Niech m = 0, wtedy zgodnie z definicja dodawania liczb naturalnych określamy dodawanie kolejnych liczb jako:

1 + n= 0' + n = (0 + n)' = n'
(np. 1+1 = 0' + 1 = (0 + 1)' = 1' = 2)

2 + n = 1' + n = (1 + n)' = n''
(np. 2 + 1 = 1' + 1 = (1 + 1)' = 2' = 3)

...

W podobny sposób definiujemy mnożenie liczb naturalnych.

Definicja

Mnożenie w zbiorze liczb naturalnych jest określone następująco:

  1. Określmy mnożenie dla elementu 0:
    0 × n = 0, dla każdego nÎ N,
  2. Załóżmy, że jest określone mnożenie liczb m i n, i wynik oznaczymy przez m× n.
    Wówczas mnożenie liczb m' i n określone jest następująco:
    m'× n = (m× n) + n dla każdych m, n Î N.

Tak w sposób formalny zapisuje się fakt, że mnożenie liczby m przez n polega na m-krotnym dodaniu liczby n do siebie.

Niech m = 0
1 × n = 0' × n = (0 × n) + n = 0 + n = n
2 × n = 1' × n = (1 × n) + n = n + n
...

Twierdzenie

Własności dodawania i mnożenia:

m + (n + k) = (m + n) + k (łączność),
m + n = n + m (przemienność),
(m + n = m + k) Þ (n = k) (skracanie),
m × (n + k) = m × n + m × k (rozdzielność),
m × n = n × m (przemienność),
(m × n) × k = m × (n × k) (łączność),
m × 1 = m (istnienie jedynki)
(m' = m + 1) Þ (m = n' dla pewnej liczby n),
dla każdej pary m, n liczb naturalnych: m = n lub m = n + k dla pewnego k lub n = m + k dla pewnego k,
(m ¹ 0) Þ (m = n') dla pewnej liczby n.

Definicja

Porządek w zbiorze liczb naturalnych jest zdefiniowany w następujący sposób:

m < n wtedy, gdy istnieje liczba naturalna k ¹ 0 taka, że m + k = n.

Mówimy wtedy, że m jest liczbą mniejszą od liczby n, np.: 5<7, bo istnieje k = 2, takie że 5 + 2 = 7

Twierdzenie o uporządkowaniu

Dla każdej pary liczb naturalnych mamy:

m = n lub m > n lub m < n.

Powyższe twierdzenie mówi zatem, że dowolne dwie liczby albo są sobie równe albo jedna z nich jest większa od drugiej.

W zbiorze liczb naturalnych wprowadza się również relację ³:
n ³ m (mówimy, że m jest mniejsze bądź równe n) gdy m < n lub m = n.

Twierdzenie

Porządek ³ ma następujące własności:

Inne relacje w zbiorze liczb naturalnych, takie jak na przykład podzielność, zostaną przedstawione w wykładzie 2.

Pytanie kontrolne 1: Oblicz (3')'.


 następny punkt »