następny punkt »


1. MACIERZ PRZEJŚCIA Z BAZY DO BAZY

Rozpatrzmy przestrzeń liniową V wymiaru n i oraz dwie różne bazy tej przestrzeni:

B1 = {v1,...,vn }, B2 = {u1,...,un }.

Zapiszmy wektory bazy B2 jako kombinacje liniowe wektorów bazy B1:

u1=p11v1+ p21v2+...+ pn1vn;

.....

.....

.....

un=p1nv1+ p2nv2+...+ pnnvn.

Definicja

Macierzą przejścia od bazy B1 do bazy B2 nazywamy macierz P= [pij], której kolejnymi kolumnami są współrzędne kolejnych wektorów bazy B2 w bazie B1.

Macierz przejścia z bazy B1 do bazy B2 jest zatem macierzą przekształcenia identycznościowego I ( x ) = x w bazach B1 i B2.

Przykład - Przestrzeń R3

Rozpatrujemy następujące dwie bazy:

B1={e1, e2 , e3} baza kanoniczna;

B2={[1,0,0],[1,1,0],[1,1,1]}= {u1,u2,u3}.

Macierz przejścia od bazy B1 do B2 ma postać:

W przypadku, gdy B1 jest bazą kanoniczną w przestrzeni Rn, macierz przejścia od bazy kanonicznej do dowolnej bazy składa się z wektorów tej bazy ustawionych w kolumnach.

Wyraźmy teraz wektory bazy kanonicznej przez wektory u1, u2, u3:

e1= u1;

e2= u2-u1;

e3= u3-u2.

Odpowiednia macierz przejścia od bazy B2 do bazy B1 ma postać:

i jak łatwo sprawdzić, P1 = P -1.

Jest to przypadek szczególny następującego stwierdzenia.

Stwierdzenie

Jeśli P jest macierzą przejścia od bazy B1 do bazy B2, to P jest macierzą odwracalną i macierz odwrotna P-1 jest macierzą przejścia od bazy B2 do bazy B1.

Stwierdzenie

Jeśli współrzędne wektora w w bazie B1 są równe w1,...,wn to jego współrzędne w1',...,wn' w bazie B2 spełniają równanie:

gdzie P jest macierzą przejścia od bazy B1 do bazy B2.

Przykład c.d.

Współrzędne wektora w = [3,1,0] w bazie B2 mają postać:

Zatem:

w=2 u1 + u2.

Powróćmy teraz do przekształceń liniowych, które są tematem tego wykładu.


 następny punkt »