« poprzedni punkt  następny punkt »


2. PROSTA W PRZESTRZENI AFINICZNEJ

Prostą w przestrzeni Rn nazywamy podprzestrzeń generowaną przez pojedynczy, niezerowy wektor.

Definicja

Dla wektora a w Rn, a= [ a1, a2, ..., an ] ¹ 0 podprzestrzenią L(a) generowaną przez a, nazwiemy zbiór wektorów postaci:

b = t × a dla pewnej liczby rzeczywistej t.

Inaczej, podprzestrzeń możemy zapisać jako:

L(a) = { b: b = t × a, t Î R }.

Rys. 15_4 Podprzestrzeń generowana przez wektor a.

Liczby rzeczywiste t1, t2, t3 oznaczają parametry i zgodnie z rysunkiem zachodzi: t1, t2 > 0, t3 < 0.

Przykład

Wektor b = [8, - 4, 20] należy do podprzestrzeni generowanej przez wektor a = [2,-1,5], parametr t ma wartość 4.

Rozpatrzmy punkt P0, o następujących współrzędnych:

W przestrzeni afinicznej zdefiniujemy pojęcie prostej przechodzącej przez ten punkt.

Definicja

Prostą o kierunku a przechodzącą przez punkt P0 nazwiemy zbiór L(a, P0) punktów Q postaci:

Q = P0 Å b,

gdzie:b Î L ( a ), tzn. b = t × a, dla t Î R.

Inaczej:

L( a, P0) = { Q Î En: Q = P0 Å b , b Î L ( a )}.

Rys. 15_5 Prosta o kierunku a przechodzącą przez punkt P0.

Przykład

Znaleźć punkt leżący na prostej wyznaczonej przez wektor a = [1, 2, 3] i przechodzącej przez punkt P0 = (0, - 4, 5).

Przyjmując za parametr na przykład t = 3 obliczamy t × a = 3[1, 2, 3] = [3, 6, 9], stąd:

P1 = P0 Å [3, 6, 9] = (3, 10, 4).

Twierdzenie

Mamy dany wektor a i punkt P0 o współrzędnych:

Punkt Q=(q1 ,q2 ,...,qn) Î En leży na prostej L( a, P0) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista t o tej własności, że:

tzn.:

;

Istotnie, Q Î L ( a, P0 ) oznacza, że: Q = P0 Å b, dla pewnego b Î L ( a ), tj. dla pewnego parametru t Q = P0 Å t × a.

Powyższy układ równań nazywamy równaniem parametrycznym prostej L( a, P0).

W przypadku n = 2, z równania parametrycznego prostej w przestrzeni E2 parametr t może być wyeliminowany w celu otrzymania równania na współrzędne punktu Q.

Punkt Q( q1, q2 ) należy do prostej L ( a, P0 ) wtedy i tylko wtedy, gdy jego współrzędne spełniają następujące równania dla pewnego parametru t:

gdzie:

Stąd otrzymujemy równanie:

.

Zatem ogólne równie prostej L ( a, P0 ) w R2 jest postaci:

,

gdzie:

Przykład

Napisać równanie parametryczne prostej w E3 o kierunku a = [2, 3, 5] i przechodzącej przez punkt

P0= (1, 2, 3).

Rys. 15_6 Ilustracja geometryczna przykładu.

Współrzędne punktów należących do szukanej prostej oznaczamy przez Q = ( q1, q2, q3 ). Spełniają one następujące równania:

Na przykład dla parametru t = 3 otrzymamy punkt q1 o współrzędnych: (7, 11, 18); dla parametru t = - 2, punkt q2 o współrzędnych: (- 3, - 4, - 7).

Przykład

Napisać równanie prostej w E2 przechodzącej przez punkty: P0 = (2, 4), Q0 = (-1, -1).

Napisanie równania prostej przechodzącej przez punkty P0 i Q0 jest równoznaczne z napisaniem równania prostej przechodzącej przez jeden z tych punktów np. P0, o kierunku wektora .

Obliczamy współrzędne wektora :

Rys. 15_7 Ilustracja geometryczna przykładu.

Współrzędne punktu Q należącego do prostej wyznaczonej przez punkt P0 i wektor spełniają równania:

Równanie parametryczne prostej:

Po wyznaczeniu z równania parametrycznego parametru t:

otrzymujemy równanie ogólne prostej:


« poprzedni punkt  następny punkt »