następny punkt » |
Rozpatrzmy kartezjański układ współrzędnych oraz punkt P, w przestrzeni E3.
Rys. 15_1 Kartezjański układ współrzędnych.
Przestrzenie E2, E3, itd. są to przestrzenie punktowe, których elementami są punkty opisane przy pomocy współrzędnych, tj. układów liczb rzeczywistych postaci (a, b), odpowiednio (a, b, c).
R2, R3, itd. są to przestrzenie wektorowe, których elementami są wektory zaczepione w punkcie 0 i o końcach w punktach odpowiadającej przestrzeni punktowej.
Działanie wektora v na punkt P
Rozpoczniemy od zdefiniowania działania, które w pewien sposób będzie łączyło przestrzenie punktowe z przestrzeniami wektorowymi. Określimy mianowicie działanie wektora v na punkt P. Rozpatrzmy punkt z przestrzeni En i wektor z przestrzeni Rn o następujących współrzędnych:
P = (p1 ,p2 ,...,pn) i v = [v1 ,v2 ,...,vn].
Definicja
Wynikiem działania wektora v na punkt P nazwiemy punkt Q=(q1 ,q2 ,...,qn) w En o tej własności, że:
[ q1 - p1, q2 - p2,...,qn - pn ] = [ v1, v2, ..., vn ], czyli qi - pi dla i = 1, 2, ...., n.
Zapiszemy to następująco: Q = P Å v i powiemy, że wektor v jest zaczepiony w punkcie P i ma koniec w punkcie Q.
Rys. 15_2 Interpretacja geometryczna działania wektora na punkt.
Stwierdzenie
Każda para punktów P i Q w En wyznacza jednoznacznie
pewien wektor o tej własności, że:
gdzie: P = (p1 ,p2 ,...,pn) oraz Q=(q1 ,q2 ,...,qn).
Istotnie, za wektor przyjmujemy:
Rys. 15_3 Interpretacja geometryczna.
Zauważmy, że powyższa definicja działania wektorów na punkty wykorzystuje równoważność działań w przestrzeni wektorowej Rn i przestrzeni punktowej En. Przy pomocy tej operacji przenosimy pewne pojęcia algebry przestrzeni wektorowych na przestrzeń En. Przestrzeń En z tak określonymi działaniami wektorów na punkty nazywamy przestrzenią afiniczną. Definicję liniowej niezależności układu wektorów w Rn przeniesiemy teraz na układ punktów w przestrzeni afinicznej.
Definicja
Układ punktów P1 , P2 ,...,Pn jest liniowo niezależny wtedy, gdy są liniowo niezależne wektory:
W szczególności każdy liniowo niezależny układ punktów P1, P2 , P3 w E2 lub E3 wyznacza równoległobok. Taki sam równoległobok otrzymujemy wybierając za punkt zaczepienia wektorów punkt P2 lub P3 lub dowolny inny punkt spośród P1 , P2 ,...,Pn .
Pytanie kontrolne 1: Sprawdź czy punkty (0, 1, 2), (1, 0, 2), (2, 3, 1) są liniowo niezależne w przestrzeni E3.
następny punkt » |