« poprzedni punkt | następny punkt » |
Udowodnione fakty dają możliwość rozpatrzenia zapisu liczb w innych systemach niż stosowany popularnie system dziesiątkowy.
Ustalmy liczbę naturalną m > 0, która będziemy traktowali jako podstawę systemu pozycyjnego.
Twierdzenie
Każdą liczbę naturalną można jednoznacznie przedstawić w postaci:
n = akmk + ak-1mk-1 + ..... + a1m + a0, gdzie 0 £ a0 < m.
Dowód twierdzenia przeprowadzamy stosując indukcję matematyczną.
Dla n=1, twierdzenie jest spełnione: 1 = 1 ×
m0.
Na mocy pierwszego twierdzenia wykładu:
,
gdzie 0 £ a0 < m.
Ponieważ a1 < n, więc na mocy założenia indukcyjnego:
a1 = cl
ml + ... + c1m + c0,
zatem:
n = cl ml+1 +...+ c1m2 + c0m + a0.
Jednoznaczność przedstawienia liczby w systemie pozycyjnym o zadanej podstawie wynika z porównania czynników.
Liczbę m nazywamy podstawą systemu pozycyjnego.
Przy ustalonym m, liczbę n reprezentuje układ współczynników akak-1 ... a1 a0 będący zapisem liczby n w systemie o podstawie m; ak, ak-1, ... ,a0 są cyframi w tym zapisie.
W szczególności wyróżniamy następujące systemy pozycyjne:
System o podstawie 2 - system binarny,
System o podstawie 8 - system ósemkowy,
System o podstawie 16 - system heksagonalny.
Zastosowanie:
Języki programowania - Asembler wykorzystuje system binarny.
Zapis kolorów, np. w HTML - system heksagonalny.
Przykład
Zapisać liczbę 16 kolejno w systemach o podstawie 10, 3 i 2.
Zapis w systemie dziesiętnym:
1610 = 1 ×
101 + 6 ×
100.
Inaczej, liczbę 16 możemy zapisać jako:
16 = 1 ×
32 +2 ×
31 + 1 ×
30 .
Zatem zapis liczby 16 w systemie trójkowym ma postać: 163 = 121.
Podobnie:
16 = 1 ×
24 + 0 ×
23 +0 ×
22 + 0 ×
21+ 0 ×
20 .
Zapis w systemie dwójkowym: 162 = 10000.
Przykład
Zapisać liczbę 124 w systemie dwójkowym i ósemkowym.
124 = 1 ×
26+ 1 ×
25 + 1 ×
24 + 1 ×
23 + 1 ×
22 + 0 ×
21+ 0 ×
20
1242=1111100
124 =1×
82 + 7 ×
8 + 4 ×
80
1248= 174
Pytanie kontrolne 4: Zapisać liczbę 125 w systemiach pozycyjnych o podstawach 5, 2 i 11.
« poprzedni punkt | następny punkt » |