« poprzedni punkt  następny punkt »


3. FUNKCJA WYKŁADNICZA

Rozpatrujemy funkcję wykładniczą zmiennej zespolonej w postaci:

        f(z) = ez.

Definicja

Dla z = x + iy, przyjmiemy:

         ez = ex∙(cosy + i∙siny).

Z definicji funkcji wykładniczej wynika, że:

        |ez| = ex, arg(ez) = y.

Funkcja ez jest funkcją okresową:

        

Zauważmy, że dla liczby rzeczywistej z = x , mamy ez = ex( cos 0 + i sin 0) = ex.

Stwierdzenie

        ,

        ,

        .

W szczególności dla z = yi, (tj. k = 0) mamy: eiy = cosy + i∙siny (na przykład: ).

Przekształcenie t ® eit jest parametrycznym przedstawieniem okręgu jednostkowego dla t Î [0, 2p ] (tj. gdy t przebiega [0, 2p ] to eit przebiega punkty na okręgu o równaniu x2 + y2 = 1).

Interpretacja geometryczna funkcji f(z) = ez

Stwierdzenie (postać wykładnicza liczby zespolonej)

Dla liczby zespolonej z o module r i o argumencie j zachodzi równość:

        

Przyjmijmy teraz, że w= ez = r(cosj + i∙sinj ), gdzie z = x + yi.

Mamy więc na mocy definicji funkcji wykładniczej:

        

Tak więc liczba x + yi przekształca się na liczbę zespoloną mającą reprezentację biegunową:

        (ex, y) = (r, j).

Pytanie kontrolne 5: Oblicz i zaznacz na płaszczyźnie liczbę .

Zobacz odpowiedź

Przykład

Znaleźć obraz prostej l : x = 1 przy przekształceniu f(z) = ez.

Równanie prostej l ma postać z=1+i× y.

Obrazem prostej l jest zbiór liczb zespolonych postaci:

        w = e(cosy + i∙siny), gdzie y Î R,

tj. okrąg o środku (0,0) i promieniu o długości e.

Rys. 4_2 Obraz linii prostej przy przekształceniu f(z) = ez.

Podobnie, obrazem prostej k: y=1 przy przekształceniu f(z) = ez jest półprosta k' o równaniu we współrzędnych biegunowych: r > 0, j =1 (w radianach).

Rys. 4_3 Obraz prostej y = 1 w przekształceniu f(z) = ez.

Zatem np. obrazem prostokąta W :1 £ x £ 2, 2 £ y £ 3 jest obszar W ':e £ r £ e2, 2 £ j £ 3.

Rys. 4_4 Obraz prostokąta w przekształceniu f(z) = ez.

Pytanie kontrolne 6: Rozwiąż równanie:

        

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »