« poprzedni punkt 


3. MACIERZOWA POSTAĆ METODY ELIMINACJI

Zwróćmy uwagę na to, że przekształcenia elementarne wykonane na macierzy A odpowiadają jej mnożeniu przez odpowiednio dobraną macierz.

Rozpatrzmy na przykład operację odjęcia od j - tego wiersza wiersza i - tego przemnożonego przez odpowiednio dobraną stalą c. Odpowiada to obliczeniu iloczynu Eij × A, gdzie macierz Eij jest postaci:

Wiersz j macierzy Eij × A = wiersz j macierzy A - c × wiersz i macierzy A.

Wyraz ekl macierzy Eij jest postaci:

Podobnie zamiana miejscami i - tego i j - tego wiersza odpowiada obliczeniu iloczynu: Pij × A, gdzie:

Twierdzenie

Zatem Pij ma wyrazy równe:

Przykład

Macierz P12 o wymiarze 3x3 ma postać:

i odpowiada przestawieniu pierwszego i drugiego wiersza macierzy.

Pytanie kontrolne 2: Sprawdź, jakiej operacji na kolumnach macierzy 3´3 odpowiada pomnożenie jej przez macierz:

Zobacz odpowiedź

Prześledźmy wykonanie operacji macierzowych na przykładzie:

Przykład

Rozwiązać metodą eliminacji macierzowej układ równań:

Równanie zapisujemy w postaci macierzowej:

Mnożymy pierwsze z równań przez 1/3 i odejmujemy od równania drugiego:

Mnożymy pierwsze z równań przez 2/3 i odejmujemy od równania trzeciego:

Mnożymy drugie z równań przez 1/11 i odejmujemy od równania trzeciego:

Ostatecznie:

Rozwiązanie układu równań jest postaci:


« poprzedni punkt