« poprzedni punkt |
Definicja
Macierz kwadratowa górnotrójkątna A jest macierzą blokową Jordana, jeśli:
,
gdzie każda z macierzy Aj jest kwadratowa i ma postać:
Uwaga
Liczby a1, a2, ... ,ak występujące w macierzy Jordana są jej wartościami własnymi. Najmniejsza możliwa klatka Jordana jest macierzą 1x1, składającą się tylko z jednej wartości własnej.
Twierdzenie
Niech A będzie macierzą wymiaru nxn. Wówczas A jest podobna do macierzy Jordana.
Twierdzenie
Wówczas: am-1 - am ³ 0 i am-1 - am jest liczbą klatek Jordana wymiaru większego bądź równego m w macierzy B, zawierających wartość własną l.
Znajdowanie macierzy Jordana dla macierzy A
Przykład 1
Znaleźć macierz Jordana dla macierzy:
.
Ponieważ wartości własne są pojedyncze (l 1=2, l 2=8), macierz Jordana możemy zapisać natychmiast:
Przykład 2
Znaleźć macierz Jordana dla macierzy:
.
Wartość własna macierzy: l 1 = l 2 = 2.
Zatem obliczamy:
a0 = 2 - rząd macierzy A,
a1 = 1 - rząd macierzy
=
.
Stąd:
a0 - a1= 1.
Liczba klatek rozmiaru większego bądź równego 1 wynosi 1, czyli klatka musi mieć wymiar 2x2 i macierz Jordana jest postaci:
.
Przykład 3
Znaleźć macierz Jordana dla macierzy:
Wartość własna macierzy: l 1 = l 2 = -1, l 3 = 3.
Zatem obliczamy:
a0 = 3 - rząd macierzy.
a1 = 2 - rząd macierzy
(drugi wiersz macierzy jest proporcjonalny do pierwszego).
Stąd:
a0 - a1 = 1.
Liczba klatek wymiaru większego bądź równego 1 odpowiadających wartości własnej -1 wynosi 1, czyli musi to być klatka 2x2. Zatem macierz Jordana jest postaci:
.
« poprzedni punkt |