« poprzedni punkt | następny punkt » |
Definicja
Niech zbiór wektorów {v1, . . .,vn} będzie bazą przestrzeni V. Wówczas mówimy, że wymiar przestrzeni V wynosi n i piszemy dimV=n.
Przykład
Wymiar przestrzeni Rn wynosi n.
Podprzestrzeń liniowa R2 składająca się z wektorów [x,y] dla których y= -x ma wymiar 1.
Wymiar przestrzeni macierzy M3x4 wynosi 12.
Uwaga
Istnieją przestrzenie liniowe nieskończenie wymiarowe. Na przykład w przestrzeni B(I) funkcji fi(x)=xi są liniowo niezależne dla i=0,1,2,... , zatem przestrzeń ta nie jest skończenie wymiarowa. Przyjmujemy wtedy, że dimV = ¥.
Dysponując współrzędnymi układu wektorów v1, . . .,vk w dowolnej bazie B= {b1, . . .,bn} możemy łatwo sprawdzić ich liniową niezależność.
Stwierdzenie
Niech ai = (ai1, . . .,ain)
dla 1i
k będą współrzędnymi wektora
ai w bazie B.
Wówczas a1, . . .,a k
są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy rząd A = [ aij ] = k.
Przykład
Współrzędne wektorów v1,v2 ,v3 w bazie b1 =[ 1,0,0], b2 =[ 1,1,0], b3 =[ 1,1,1] wynoszą odpowiednio [2, 5, -1], [-1, 2, 3], [-5,-1, 2]. Sprawdzić, czy wektory v1,v2 ,v3 są liniowo niezależne. Macierz współrzędnych wektorów ma postać:
Korzystając z reguły Gaussa stwierdzamy, że: det A = - 62 ¹ 0, zatem rząd A=3 i wektory v1,v2 ,v3 są liniowo niezależne.
Pytanie kontrolne 4: Sprawdź czy wektory [2, 1, 0], [3, 0, 5], [0, -7, 1] tworzą bazę w przestrzeni R3.
Przestrzeń rozwiązań układu równań jednorodnych
Niech A=[aij] będzie macierzą mxn rzędu k i rozpatrzmy układ jednorodny równań liniowych:
Niech SÌ Rn będzie zbiorem wszystkich wektorów [xn,...,xn] będących rozwiązaniem układu jednorodnego.
Stwierdzenie
S jest podprzestrzenią liniową wymiaru n-k.
Podobnie, dla układu niejednorodnego:
Niech T będzie zbiorem rozwiązań tego układu i niech w=[w1,...,wn] będzie dowolnym wektorem z T.
Stwierdzenie
Dla każdego y Î T zachodzi:
y= w + x,
gdzie x jest pewnym rozwiązaniem układu jednorodnego. Ponadto dla dowolnego rozwiązania układu jednorodnego x wektor w + x jest rozwiązaniem układu niejednorodnego.
Ze stwierdzenia wynika zatem, że wszystkie rozwiązania układu niejednorodnego otrzymujemy dodając do szczególnego rozwiązania tego układu wszystkie rozwiązania tego układu jednorodnego.
W szczególności, dla układu trzech równań zbiór rozwiązań może być zbiorem pustym, punktem, prostą lub płaszczyzną.
Przykład
Rozpatrzmy układ równań:
2x + 3 y + 2z = 7
x + y + 2z = 4.
Stosując metodę eliminacji Gaussa stwierdzamy, że zbiorem rozwiązań układu jednorodnego są wektory postaci:
[- 4z, 2z, z] dla z Î R.
Łatwo sprawdzić, że wektor [1,1,1] jest rozwiązaniem układu niejednorodnego. Zatem ogólne rozwiązanie układu niejednorodnego ma postać:
[-4z + 1, 2z + 1, z + 1] dla z Î Rn.
« poprzedni punkt | następny punkt » |