« poprzedni punkt |
Zdefiniujemy teraz trygonometryczną postać liczb zespolonych oraz podamy jej własności i zastosowanie do obliczania potęg liczb zespolonych.
Diagram Arganda
Poznamy teraz kolejną interpretację liczb zespolonych.
Liczbę zespoloną z = x+yi, którą zdefiniowaliśmy jako uporządkowaną parę liczb (x,y) możemy interpretować jako:
Płaszczyznę zespoloną liczb z oznaczymy symbolem C podobnie jak zbiór liczb zespolonych.
Rys. 3_1 Płaszczyzna zespolona.
Geometryczna interpretacja działań dla liczb zespolonych
Interpretacja liczby zespolonej jako wektora pozwala na traktowanie dodawania
liczb zespolonych jako dodawania wektorów:
,
oraz odejmowania liczb zespolonych jako odejmowania wektorów:
.
W kartezjańskim układzie współrzędnych suma wektorów odpowiadających liczbą zespolonym z1 i z2 jest przekątną równoległoboku rozpiętego na tych wektorach. W podobny sposób można zinterpretować ich różnicę.
Rys. 3_2 Geometryczna interpretacja dodawania i odejmowania liczb zespolonych.
Zdefiniujemy teraz wielkości charakteryzujące geometryczne właściwości zmiennej zespolonej. Związane są one z jej interpretacją geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych.
Definicja
Argumentem liczby z = x + yi, oznaczanym przez arg z,
nazywamy każdą liczbę rzeczywistą j, spełniającą dwa warunki:
gdzie .
Argument liczby 0 nie jest określony.
Definicja
Argument główny liczby z określony jest jako argument liczby z, który
należy do przedziału <- p, p
>.
Argument główny oznaczamy jako Argz.
Stąd - p
< argz £
p
oraz argz = Argz + 2k p
, k = 0, ±
1, ...
Przykład
Podsumowując:
Własności geometryczne liczby zespolonej są scharakteryzowane przez dwie wielkości:moduł liczby zespolonej, który określa długość wektora odpowiadającego tej liczbie oraz argument liczby zespolonej będący miarą względną kąta, jaki tworzy wektor odpowiadający danej liczbie zespolonej z osią rzeczywistą.
Rys. 3_3 Geometryczna interpretacja liczby zespolonej.
Tak więc, liczbę zespoloną z możemy utożsamiać z parą (| z |, j), gdzie φ jest argumentem głównym liczby zespolonej z. Takie przedstawienie nazywa się często przedstawieniem we współrzędnych biegunowych.
Stwierdzenie
Liczbę zespoloną można zapisać w postaci trygonometrycznej z wykorzystaniem jej modułu i argumentu: z = r(cosj + i∙sinj), gdzie r oznacza moduł liczby zespolonej, a φ jej argument.
Przykład
Zapisać w postaci trygonometrycznej liczbę
posługując się jej głównym argumentem.
Obliczamy najpierw moduł liczby zespolonej:
Przy obliczaniu argumentu głównego liczby zespolonej dobrze jest wykonać rysunek pomocniczy.
W kartezjańskim układzie współrzędnych znajdujemy punkt
odpowiadający liczbie , jest to punkt o
współrzędnych
. Z tego rysunku określamy wartości sinusa i cosinusa kąta będącego argumentem głównym danej liczby.
Rys. 3_4 Geometryczna interpretacja liczby zespolonej .
Twierdzenie (de Moivre'a)
Dla każdej liczby zespolonej z = r (cos φ + i sin φ) oraz dla liczby naturalnej n = 0, 1, 2, 3, ... zachodzi:
zn = rn (cos nφ + i sin nφ).
Powyższe twierdzenie zachodzi również dla liczb całkowitych ujemnych:
.
W szczególności, dla: z = r(cosj + i∙sinj ) ¹ 0, liczba 1/z odwrotna do liczby z wyraża się wzorem:
Porównajmy ją z postacią liczby :
= rcos(j) - isin(j).
Pytanie kontrolne 4: Zapisz w postaci trygonometrycznej liczbę z = - 6 - 6i oraz zaznacz tę liczbę na płaszczyźnie zespolonej.
Twierdzenie
Niech z 1= r1(cosj 1 + i∙sinj 1) i z2 = r2(cosj 2 + i∙sinj 2). Wtedy:
Przy mnożeniu liczb zespolonych ich moduły mnożymy a argumenty dodajemy.
« poprzedni punkt |