« poprzedni punkt  następny punkt »


5. LICZBY ZESPOLONE

Liczby rzeczywiste mają swoją reprezentację na osi liczbowej. Kolejny zbiór liczb, który dokładnie zdefiniujemy w dalszej część wykładu, są to liczby zespolone. Każdej liczbie zespolonej będzie odpowiadał punkt w kartezjańskim układzie współrzędnych. Inaczej mówiąc, liczba zespolona jest traktowana jako uporządkowana para liczb.

Definicja

Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych, np. (a, b), (c, d), dla których określamy równość, dodawanie i mnożenie w sposób następujący:

( a, b ) = ( c, d ) Û a = c i b = d
( a, b ) + ( c, d ) = ( a + c, b + d )
( a, b ) × ( c, d ) = ( a× c - b× d, a× d + b× c)

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych daje w wyniku liczbę zespoloną.

Przedstawienie liczby zespolonej (x, y) jako punktu P(x, y) nosi nazwę diagramu Arganda.

Płaszczyznę, na której w postaci punktów reprezentujemy liczby zespolone nazwiemy płaszczyzną zespoloną i oznaczymy symbolem C.

Rys. 1_2 Płaszczyzna zespolona.

Jeśli przyjmiemy formalnie, że i2 = -1 i korzystając z tego przemnożymy ( a + bi )( c+di ) to otrzymamy w wyniku ( ac - bd ) + ( ad + bc )i. Wynik odpowiada parze ( ac-bd, ad+bc ).

Pytanie kontrolne 5: Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających warunek Re z > 2.

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »