« poprzedni punkt  następny punkt »


2. WSPÓŁRZĘDNE WEKTORA W BAZIE

Twierdzenie

Niech wektory a1, a2, ....., an będą bazą przestrzeni liniowej V. Każdy wektor b z tej przestrzeni jest jednoznaczną kombinacją liniową wektorów a1, a2, ....., an , tzn. w reprezentacji:

b = c1 a1 + .....+ cn an,

współczynniki c1, c2, ....., cn są wyznaczone jednoznacznie i nazywają się współrzędnymi wektora b w tej bazie.

Dowód

Z definicji bazy wynika, że wektor b jest pewną kombinacją liniowa wektorów a1, a2, ....., an . Załóżmy, że wektor b posiada dwie różne reprezentacje w tej samej bazie, tzn.:

b = c1 a1 + .....+ cn an = d1 a1 + .....+ dn an,

gdzie (c1, c2, ....., cn) ≠ (d1, d2, ....., dn).

Wówczas:

0 = (c1 - d1 )× a1 + (c2 - d2)× a2 + .....+ (cn - dn )× an

i nie wszystkie współczynniki są zerowe, co przeczy liniowej niezależności wektorów a1, a2, ....., an .

Zauważmy, że dla przestrzeni Rn możemy podać inny dowód tego twierdzenia. Z twierdzenia Cramera wynika bowiem, że układ równań:

b = c1 a1 + .....+ cn an,

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Przykład - przestrzeń R3

Znajdź współrzędne wektora [-15, 28, 18] w bazie złożonej z wektorów: [1, 2, 3], [-3, 4, 2], [1, 0, 1].

Wektor [-15, 28, 18] zapisujemy jako:

[-15, 28, 18] = 4[1, 2, 3] + 5 [-3, 4, 2] - 4[1, 0, 1].

A zatem współrzędnymi wektora [-15, 28, 18] w tej bazie są liczby [4, 5, - 4].

Bazę w przestrzeni Rn tworzy układ n wektorów liniowo niezależnych.

Baza kanoniczna w przestrzeni Rn są to wektory e1, e2, ..., en postaci:

e1 = [1, 0,...,0] , e2 =[ 0, 1, 0,...,0], ..., en =[ 0,...,0,1].

Rys. 10_1 Interpretacja geometryczna bazy kanonicznej w Rn.

Pytanie kontrolne 2: Sprawdź, czy wektory [1, 0, 1] i [2, 3, 4] są bazą w przestrzeni R3.

Zobacz odpowiedź

Każdy wektor x = [ x1, x2, ..., xn ] Î Rn jest reprezentowany w bazie kanonicznej jako:

x = x1 e1 + x2 e2 +...+ xn en.

Zatem i - tą współrzędną wektora x = [ x1, x2, ..., xn ] w bazie kanonicznej jest xi.

Przykład

Znaleźć współrzędne wektora: d = [-1, -2, 3] w bazie złożonej z wektorów:

a = [1, 1, 0], b = [1, 0, 1], c = [0, 1, 1] w R3.

Oznaczamy szukane współrzędne przez x, y, z; muszą one spełniać równanie:

x[1, 1, 0] + y[1, 0, 1] + z[0, 1, 1] = [-1, -2, 3],

a zatem:

x + y = -1

x + z = -2

y + z = 3

stąd: x = - 3, y = 2, z = 1.

Przykład - przestrzeń R3

Wektor a ma współrzędne [2, 1, -3] w bazie złożonej z wektorów [2, 3, 0], [4, 2, 3], [1, 1, 1].

Obliczyć współrzędne wektora a w bazie: [4, 0, 1], [0, 2, 3], [2, 1, 0].

Oznaczamy szukane współrzędne przez x, y, z. Wiemy, że:

a = 2[2, 3, 0] + [4, 2, 3] -3 [1, 1, 1] = x [4, 0, 1] + y[0, 2, 3] + z[2, 1, 0].

Otrzymujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:

4x + 2z = 5

2y + z = 5

x + 3y = 0.

Postać macierzowa układu:

Jest to układ Cramera, gdyż wyznacznik macierzy głównej układu jest różny od zera, a zatem z twierdzenia Cramera rozwiązanie jest postaci

, ,

Podsumowanie

Jeżeli współrzędne wektora a Î R3 w kolejnych bazach wynoszą odpowiednio:

[x1, x2, x3] w bazie a1, a2, a3,

[y1, y2, y3] w bazie b1, b2, b3,

[z1, z2, z3] w bazie c1, c2, c3 itd.,

to:

x1× a1+ x2× a2 + x3× a3 = y1× b1 + y2× b2 + y3× b3 = z1× c1 + z2× c2 + z3× c3.

Pytanie kontrolne 3: Znaleźć z definicji współrzędne podanego wektora we wskazanej bazie odpowiedniej przestrzeni liniowej: v = [ -2, 5, 6] Î R3, B = {[1, 1, 0], [2, 1, 0], [3, 3, 1]}.

Zobacz odpowiedź

Przytoczymy jeszcze twierdzenie o równoliczności baz.

Twierdzenie

Jeśli jakakolwiek baza przestrzeni liniowej V składa się z n wektorów to każda inna baza v składa się również z n wektorów.

Twierdzenie to pozwala zdefiniować wymiar przestrzeni liniowej.


« poprzedni punkt  następny punkt »