« poprzedni punkt | następny punkt » |
Prostą w przestrzeni Rn nazywamy podprzestrzeń generowaną przez pojedynczy, niezerowy wektor.
Definicja
Dla wektora a w Rn, a= [ a1, a2, ..., an ] ¹ 0 podprzestrzenią L(a) generowaną przez a, nazwiemy zbiór wektorów postaci:
b = t × a dla pewnej liczby rzeczywistej t.
Inaczej, podprzestrzeń możemy zapisać jako:
L(a) = { b: b = t × a, t Î R }.
Rys. 15_4 Podprzestrzeń generowana przez wektor a.
Liczby rzeczywiste t1, t2, t3 oznaczają parametry i zgodnie z rysunkiem zachodzi: t1, t2 > 0, t3 < 0.
Przykład
Wektor b = [8, - 4, 20] należy do podprzestrzeni generowanej przez wektor a = [2,-1,5], parametr t ma wartość 4.
Rozpatrzmy punkt P0, o następujących współrzędnych:
W przestrzeni afinicznej zdefiniujemy pojęcie prostej przechodzącej przez ten punkt.
Definicja
Prostą o kierunku a przechodzącą przez punkt P0 nazwiemy zbiór L(a, P0) punktów Q postaci:
Q = P0 Å b,
gdzie:b Î L ( a ), tzn. b = t × a, dla t Î R.
Inaczej:
L( a, P0) = { Q Î En: Q = P0 Å b , b Î L ( a )}.
Rys. 15_5 Prosta o kierunku a przechodzącą przez punkt P0.
Przykład
Znaleźć punkt leżący na prostej wyznaczonej przez wektor a = [1, 2, 3] i przechodzącej przez punkt P0 = (0, - 4, 5).
Przyjmując za parametr na przykład t = 3 obliczamy t × a = 3[1, 2, 3] = [3, 6, 9], stąd:
P1 = P0 Å [3, 6, 9] = (3, 10, 4).
Twierdzenie
Mamy dany wektor a i punkt P0 o współrzędnych:
Punkt Q=(q1 ,q2 ,...,qn) Î En leży na prostej L( a, P0) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista t o tej własności, że:
tzn.:
;
Istotnie, Q Î L ( a, P0 ) oznacza, że: Q = P0 Å b, dla pewnego b Î L ( a ), tj. dla pewnego parametru t Q = P0 Å t × a.
Powyższy układ równań nazywamy równaniem parametrycznym prostej L( a, P0).
W przypadku n = 2, z równania parametrycznego prostej w przestrzeni E2 parametr t może być wyeliminowany w celu otrzymania równania na współrzędne punktu Q.
Punkt Q( q1, q2 ) należy do prostej L ( a, P0 ) wtedy i tylko wtedy, gdy jego współrzędne spełniają następujące równania dla pewnego parametru t:
gdzie:
Stąd otrzymujemy równanie:
.
Zatem ogólne równie prostej L ( a, P0 ) w R2 jest postaci:
,
gdzie:
Przykład
Napisać równanie parametryczne prostej w E3 o kierunku a = [2, 3, 5] i przechodzącej przez punkt
P0= (1, 2, 3).
Rys. 15_6 Ilustracja geometryczna przykładu.
Współrzędne punktów należących do szukanej prostej oznaczamy przez Q = ( q1, q2, q3 ). Spełniają one następujące równania:
Na przykład dla parametru t = 3 otrzymamy punkt q1 o współrzędnych: (7, 11, 18); dla parametru t = - 2, punkt q2 o współrzędnych: (- 3, - 4, - 7).
Przykład
Napisać równanie prostej w E2 przechodzącej przez punkty: P0 = (2, 4), Q0 = (-1, -1).
Napisanie równania prostej przechodzącej przez punkty P0 i
Q0 jest równoznaczne z napisaniem równania prostej
przechodzącej przez jeden z tych punktów np. P0, o
kierunku wektora .
Obliczamy współrzędne wektora :
Rys. 15_7 Ilustracja geometryczna przykładu.
Współrzędne punktu Q należącego do prostej wyznaczonej przez punkt P0 i
wektor spełniają równania:
Równanie parametryczne prostej:
Po wyznaczeniu z równania parametrycznego parametru t:
otrzymujemy równanie ogólne prostej:
« poprzedni punkt | następny punkt » |