« poprzedni punkt |
Wiemy już jak rozwiązywać układ równań Cramera, dla którego macierz współczynników jest oznaczona. Rozpatrzmy teraz sytuację przeciwną.
Dla układu równań:
mamy nieskończenie wiele rozwiązań, a mianowicie wszystkie pary ( x,y ) takie, że:
y = -x/3; np. y = - 3, x = 1.
Zauważmy, że powyższy układ możemy zapisać jako:
czyli istnieją niezerowe współczynniki x i y takie, że kolumny macierzy współczynników:
spełniają równanie:
Dla układu równań liniowych jednorodnych:
a11x1 + a12x2 + .....+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + .....+ a2nxn = 0
.......................................................................
an1x1+ an2x2 + .....+ annxn = 0
możemy zapisać go w postaci:
gdzie ai = ( a1i, a2i,....., ani )T oznacza i-tą kolumnę macierzy współczynników.
Zatem istnienie niezerowego rozwiązania jednorodnego układu równań (tzn. rozwiązania x1, x2, ....,xn, dla którego nie wszystkie xi są zerami) oznacza, że spełnione jest powyższe równanie.
Definicja
Kolumny macierzy A nazywamy liniowo zależnymi, gdy istnieją liczby x1, x2, ....,xn nie wszystkie równe 0, dla których:
W przeciwnym przypadku mówimy o liniowej niezależności kolumn macierzy A. Do tego bardzo ważnego pojęcia wrócimy wkrótce.
Zauważmy, że kolumny macierzy:
są liniowo zależne, gdyż ostatnia kolumna jest sumą dwóch poprzednich.
Stwierdzenie
Jeśli kolumny a1, ...., an są liniowo zależne, to wyznacznik macierzy A jest równy 0.
Stwierdzenie wynika oczywiście z twierdzenia Cramera, ale można je również uzasadnić bezpośrednio z definicji. Jeśli na przykład x1 ¹ 0 to:
i odejmując od pierwszej kolumny pozostałe kolumny pomnożone przez odpowiednio - x2/x1, ...., - xn/x1 otrzymujemy kolumnę zerową. Wyznacznik przekształconej macierzy, a zatem również macierzy A jest równy 0.
Rząd macierzy A oznaczamy jako rz A.
Przykład
Rzędy macierzy:
wynoszą odpowiednio 2 i 3.
Twierdzenie
Rząd macierzy nie ulega zmianie gdy:
Z punktu (iv) wynika, że rząd macierzy A wymiaru m x n spełnia nierówność:
0 £ rz A £ min ( m, n ).
Przykład
Dla macierzy A postaci:
zachodzi: 0 £ rz A £ min ( 4, 5 ) = 4.
Okazuje się, że do obliczenia rzędu macierzy A można wykorzystać pojęcie wyznacznika.
Skreślmy z macierzy A pewną liczbę wierszy i kolumn tak, aby uzyskać macierz kwadratową M. Wyznacznik macierzy M nazywamy minorem macierzy.
Przykład
Rozpatrujemy macierz A postaci:
Po skreśleniu z macierzy A drugiego wiersza i trzeciej kolumny otrzymujemy macierz:
W ten sposób otrzymaliśmy minor stopnia 2 macierzy A, który jest równy -11. Wyznacznik A jest również minorem (skreślamy 0 wierszy i 0 kolumn).
Twierdzenie
Rząd macierzy A o wymiarze mxn jest równy liczbie R równej najwyższemu ze stopni jej różnych od zera minorów, gdy macierz jest niezerowa; lub liczbie 0 w przypadku macierzy o zerowych współczynnikach.
Przykład
Obliczyć rząd macierzy:
Obliczamy wyznacznik macierzy metodą permutacyjną:
Wybieramy dowolną podmacierz macierzy A wymiaru 2x2 i liczymy jej wyznacznik, np.:
Znaleźliśmy minor stopnia 2 różny od 0, a zatem rząd macierzy A jest równy 2.
Pytanie kontrolne 2: Oblicz rząd macierzy:
« poprzedni punkt |