« poprzedni punkt | następny punkt » |
Definicja
Sumą macierzy A = [ aij] i B = [ bij] wymiaru mxn, nazywamy macierz C = [ cij ] wymiaru mxn taką, że
cij = aij + bij, 1£ i £ m, 1 £ j £ n.
Przykład
Analogicznie różnica macierzy A i B, C = A - B jest macierzą wymiaru mxn taką, że:
.
Przykład
Pytanie kontrolne 1: Jaką wartość musi mieć x, żeby podana niżej macierz była macierzą dolnotrójkątną?
Definicja
Dla macierzy A =[ aij ] i liczby rzeczywistej c
c× A =[ c × aij ].
Mnożąc macierz A przez liczbę c, mnożymy każdy wyraz macierzy przez c.
Przykład
Definicja
Jeżeli A = [ aij ] jest macierzą wymiaru mxp oraz B = [ bjk] jest macierzą wymiaru pxn to iloczynem macierzy A i B nazwiemy macierz C= [ cij ] wymiaru mxn określoną jako:
gdzie 1£ i £ m, 1 £ j £ n, inaczej:
Praktyczny sposób mnożenia macierzy
Wybieramy i - ty wiersz macierzy A tzn. ( ai1, ai2, ....., aip ) oraz j - tą kolumnę macierzy B tzn.
( b1j, b2j, ...., bpj ).
Mnożymy kolejno odpowiednie wyrazy wybranego wiersza i wybranej kolumny przez siebie i otrzymane iloczyny dodajemy, otrzymując wyraz cij macierzy C.
Ważne
Mnożenie macierzy w ogólnym przypadku nie jest przemienne. Dwie macierze można pomnożyć tylko wtedy gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.
Przykład
Obliczyć iloczyny macierzy: A × B i B × A.
A = , B =
Przykład
=
Pytanie kontrolne 2: Obliczyć iloczyn macierzy:
Twierdzenie
Działania dodawania i mnożenia macierzy mają następujące własności:
Jeśli A = [ aij]nxn i In jest macierzą jednostkową stopnia n to A× I = A = I × A.
Dowód:
Własności wynikają z definicji działań na macierzach.
Twierdzenie
Niech A = [ - aij ]mxn oznacza macierz przeciwną do macierzy A. Dla dowolnych macierzy A i B zachodzą następujące związki:
- (A + B) = ( - A) + ( - B );
- A = ( -1)× A;
A - B = A + (- B ).
Definicja
Jeżeli A = [ aij] jest macierzą wymiaru mxn,
wtedy macierz wymiaru nxm, oznaczoną przez
A
gdzie 1£
i £
m, 1 £
j £
n, nazywamy macierzą
transponowaną do macierzy A.
Przykład
Znaleźć macierze transponowane do danych macierzy.
Transpozycja macierzy polega więc na zamianie miejscami kolumn i wierszy macierzy w ten sposób, że pierwszy wiersz staje się pierwszą kolumną itd.
Twierdzenie
Dla macierzy A i B zachodzi:
( AT)T = A;
( A + B )T = AT + BT;
( A × B )T = BT × AT.
Definicja
Macierz A jest macierzą symetryczną, gdy AT = A.
Przykład
Macierz symetryczna:
Pytanie kontrolne 3: Jak wygląda macierz transponowana do macierzy I3?
« poprzedni punkt | następny punkt » |