« poprzedni punkt 


4. WARTOŚCI WŁASNE I WEKTORY WŁASNE

Definicja

Endomorfizmem liniowym przestrzeni V nazywamy przekształcenie liniowe f : V ® V.

Uwaga

Macierz endomorfizmu jest macierzą kwadratową.

Definicja

Niech V będzie przestrzenią liniową, wówczas: wektor v Î V nazywamy wektorem własnym endomorfizmu f, jeśli v ¹ 0 oraz istnieje l Î R takie, że f( v ) = l v.

Liczbę l nazywamy wartością własną endomorfizmu f.

Rozpatrzmy V = Rn. Wówczas:

Przykład

Rozpatrzmy przekształcenie liniowe określone następująco:

,

Poszukujemy wartości własnych i wektorów własnych tego przekształcenia.

Mamy: f([1, 1, 1]) = [5, 5, 5] = 5[1, 1, 1].

Wynika stąd, że wartością własna jest 5, a wektorem własnym wektor: [1, 1, 1].

Przykład

Niech f : V ® V będzie jednokładnością o skali l, tzn.:

Wówczas każdy wektor v Î V (v ¹ 0) jest wektorem własnym tego przekształcenia o wartości własnej l.

Przykład

Niech f : R2 ® R2 będzie obrotem o kąt p /2, czyli:

To przekształcenie nie ma żadnych wartości własnych, tzn. żaden wektor nie przechodzi na swoją wielokrotność.

Pytanie kontrolne 2: Niech x i y będą wektorami własnymi przekształcenia f. Czy wektory postaci 3× x i x + y są także wektorami własnymi tego przekształcenia.

Zobacz odpowiedź

Znajdowanie wektorów i wartości własnych

Rozpatrzmy przekształcenie liniowe f : Rn ® Rn.

Problem

Znaleźć niezerowy wektor x, którego obraz y jest jego liniową wielokrotnością l. × x.

Mamy więc rozwiązać równanie macierzowe:

Ax = l × x ,

czyli

lub

Niezerowe rozwiązanie równania ( A - l I ) x =0, istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy macierz ( A - l I ) jest osobliwa, czyli gdy jej wyznacznik jest równy 0.

Definicja

Równanie:

nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A, a wielomian det (A - l I) wielomianem charakterystycznym.

Twierdzenie

Pierwiastki równania charakterystycznego są wartościami własnymi macierzy A.

Przykład

Znaleźć wartości i wektory własne przekształcenia f o macierzy:

Z równania charakterystycznego:

Wartości własne macierzy: l 1=2, l 2=8.

Znajdowanie wektorów własnych odpowiadających wartościom własnym:

Dla każdej wartości własnej rozwiązujemy równanie:

Dla l 1 =2 otrzymujemy:

, czyli

Rozwiązując układ równań:

otrzymujemy na przykład wektor:

.

Wszystkie wektory postaci a × x1 , gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą, są wektorami własnymi. Wybieramy reprezentanta spośród wektorów własnych.

Dla l 1 = 8 otrzymujemy układ:

co daje na przykład wektor:

Przykład

Znaleźć wartości i wektory własne przekształcenia f o macierzy:

Z równania charakterystycznego:

otrzymujemy jedną podwójną wartość własną tej macierzy:

l 1 = l 2 = 2.

Znajdujemy wektory własne odpowiadające tej wartości własnej:

Załóżmy, że znaleźliśmy wartość własną x1.

Czyli dla l 1 = l 2 = 2:

, stąd

Rozwiązując układ równań:

otrzymujemy np. wektor:

.

Teraz musimy rozwiązać równanie:

,

stąd:

Rozwiązując układ równań:

otrzymujemy na przykład wektor:

Przykład

Znaleźć wartości i wektory własne przekształcenia f o macierzy:

Z równania charakterystycznego otrzymujemy następujący warunek na wartości własne:

Stąd otrzymujemy wartość własną podwójną: l 1=l 2= -1 oraz pojedyńczą: l 3 = 3.

Znajdujemy wektory własne odpowiadające wartości własnej l 1 =l 2 = -1:

stąd:

Po eliminacji:

Rozwiązując układ równań:

otrzymujemy na przykład wektor własny:

Teraz musimy rozwiązać równanie:

stąd:

Po eliminacji:

Rozwiązując układ równań:

otrzymujemy na przykład wektor własny:

Pozostało jeszcze znaleźć wektory własne odpowiadające wartości własnej l 3 =3:

Stąd:

Po eliminacji:

Rozwiązując układ równań:

otrzymujemy wektor własny:

Przykład

Niech f: R2 ® R2 będzie obrotem o kąt p /2, czyli przekształceniem liniowym o macierzy:

.

Z równania charakterystycznego:

nie otrzymujemy pierwiastków rzeczywistych, a zatem obrót o kąt p /2 na płaszczyźnie nie ma wektorów własnych.

Twierdzenie

Niech f: V ® V będzie przekształceniem liniowym n - wymiarowej przestrzeni V. Jeśli wartości własne f są różne, to odpowiadające im wektory własne są liniowo niezależne i tworzą bazę przestrzeni V.

Macierz przekształcenia f w bazie wektorów własnych ma postać:

gdzie l isą wartościami własnymi.


« poprzedni punkt