« poprzedni punkt  następny punkt »


3. LICZBY WYMIERNE

Podobnie jak użyliśmy liczb naturalnych do zdefiniowania liczb całkowitych, użyjemy teraz liczb całkowitych do zdefiniowania liczb wymiernych.

Definicja

Liczby wymierne Q są to liczby postaci m/n, gdzie m Î Z i n Î Z i n ¹ 0.

Formalnie, zbiór liczb wymiernych Q zdefiniowany jest jako zbiór par (m, n) dla n¹ 0, które zapisywać będziemy jako m/n.

Q = {m/n: mÎ Z, nÎ Z, n ¹ 0}

Dwa ułamki m/n i p/q uznajemy za równe gdy m × q = n × p.

Definicja

Działania dodawania +Q i mnożenia × Q w zbiorze liczb wymiernych Q:

Definicja

Dla m/n ¹ 0 (tj. m ¹ 0) określimy odwrotność

Z definicji mnożenia i określenia odwrotności wynika

Stwierdzenie

Definicja

Dzielenie dwóch ułamków m/n i (p/q) ¹ 0 jest postaci

Stwierdzenie

Dla q ¹ 0:

Definicja

Odejmowanie ułamków jest postaci

Definicja

Porównywanie ułamków m/n, p/q odbywa się w następujący sposób

w szczególności, gdy n× q > 0 (np. n, q > 0), mamy

Twierdzenie

Dla liczb całkowitych n, m mamy

W dalszym ciągu zamiast <Q będziemy pisać <.

Twierdzenie (o gęstości)

Jeżeli ( m/n ) < ( p/q ) to ( m/n) < [( m + p)/( n + p)] < ( p/q), (n, q > 0).

Z twierdzenia o gęstości wynika, że pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi istnieje różna od nich liczba wymierna.

Pytanie kontrolne 3: Dodaj ułamki 7/13 i 8/3.

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »