« poprzedni punkt |
Definicja
Endomorfizmem liniowym przestrzeni V nazywamy przekształcenie liniowe f : V ® V.
Uwaga
Macierz endomorfizmu jest macierzą kwadratową.
Definicja
Niech V będzie przestrzenią liniową, wówczas: wektor v Î V nazywamy wektorem własnym endomorfizmu f, jeśli v ¹ 0 oraz istnieje l Î R takie, że f( v ) = l v.
Liczbę l nazywamy wartością własną endomorfizmu f.
Rozpatrzmy V = Rn. Wówczas:
Przykład
Rozpatrzmy przekształcenie liniowe określone następująco:
,
Poszukujemy wartości własnych i wektorów własnych tego przekształcenia.
Mamy: f([1, 1, 1]) = [5, 5, 5] = 5[1, 1, 1].
Wynika stąd, że wartością własna jest 5, a wektorem własnym wektor: [1, 1, 1].
Przykład
Niech f : V ® V będzie jednokładnością o skali l, tzn.:
Wówczas każdy wektor v Î V (v ¹ 0) jest wektorem własnym tego przekształcenia o wartości własnej l.
Przykład
Niech f : R2 ® R2 będzie obrotem o kąt p /2, czyli:
To przekształcenie nie ma żadnych wartości własnych, tzn. żaden wektor nie przechodzi na swoją wielokrotność.
Pytanie kontrolne 2: Niech x i y będą wektorami własnymi przekształcenia f. Czy wektory postaci 3× x i x + y są także wektorami własnymi tego przekształcenia.
Znajdowanie wektorów i wartości własnych
Rozpatrzmy przekształcenie liniowe f : Rn ® Rn.
Problem
Znaleźć niezerowy wektor x, którego obraz y jest jego liniową wielokrotnością l. × x.
Mamy więc rozwiązać równanie macierzowe:
Ax = l × x ,
czyli
lub
Niezerowe rozwiązanie równania ( A - l I ) x =0, istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy macierz ( A - l I ) jest osobliwa, czyli gdy jej wyznacznik jest równy 0.
Definicja
Równanie:
nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A, a wielomian det (A - l I) wielomianem charakterystycznym.
Twierdzenie
Pierwiastki równania charakterystycznego są wartościami własnymi macierzy A.
Przykład
Znaleźć wartości i wektory własne przekształcenia f o macierzy:
Z równania charakterystycznego:
Wartości własne macierzy: l 1=2, l 2=8.
Znajdowanie wektorów własnych odpowiadających wartościom własnym:
Dla każdej wartości własnej rozwiązujemy równanie:
Dla l 1 =2 otrzymujemy:
,
czyli
Rozwiązując układ równań:
otrzymujemy na przykład wektor:
.
Wszystkie wektory postaci a × x1 , gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą, są wektorami własnymi. Wybieramy reprezentanta spośród wektorów własnych.
Dla l 1 = 8 otrzymujemy układ:
co daje na przykład wektor:
Przykład
Znaleźć wartości i wektory własne przekształcenia f o macierzy:
Z równania charakterystycznego:
otrzymujemy jedną podwójną wartość własną tej macierzy:
l 1 = l 2 = 2.
Znajdujemy wektory własne odpowiadające tej wartości własnej:
Załóżmy, że znaleźliśmy wartość własną x1.
Czyli dla l 1 = l 2 = 2:
,
stąd
Rozwiązując układ równań:
otrzymujemy np. wektor:
.
Teraz musimy rozwiązać równanie:
,
stąd:
Rozwiązując układ równań:
otrzymujemy na przykład wektor:
Przykład
Znaleźć wartości i wektory własne przekształcenia f o macierzy:
Z równania charakterystycznego otrzymujemy następujący warunek na wartości własne:
Stąd otrzymujemy wartość własną podwójną: l 1=l 2= -1 oraz pojedyńczą: l 3 = 3.
Znajdujemy wektory własne odpowiadające wartości własnej l 1 =l 2 = -1:
stąd:
Po eliminacji:
Rozwiązując układ równań:
otrzymujemy na przykład wektor własny:
Teraz musimy rozwiązać równanie:
stąd:
Po eliminacji:
Rozwiązując układ równań:
otrzymujemy na przykład wektor własny:
Pozostało jeszcze znaleźć wektory własne odpowiadające wartości własnej l 3 =3:
Stąd:
Po eliminacji:
Rozwiązując układ równań:
otrzymujemy wektor własny:
Przykład
Niech f: R2 ® R2 będzie obrotem o kąt p /2, czyli przekształceniem liniowym o macierzy:
.
Z równania charakterystycznego:
nie otrzymujemy pierwiastków rzeczywistych, a zatem obrót o kąt p /2 na płaszczyźnie nie ma wektorów własnych.
Twierdzenie
Niech f: V ® V będzie przekształceniem liniowym n - wymiarowej przestrzeni V. Jeśli wartości własne f są różne, to odpowiadające im wektory własne są liniowo niezależne i tworzą bazę przestrzeni V.
Macierz przekształcenia f w bazie wektorów własnych ma postać:
gdzie l isą wartościami własnymi.
« poprzedni punkt |