« poprzedni punkt |
Przypomnijmy, że wektory a1, a2, ....., ak Î Rn są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A o kolumnach a1, a2, ....., ak wymiaru n x k ma rząd k. Sprawdźmy, czy ta definicja jest zgodna z ogólną definicją liniowej niezależności wprowadzoną obecnie.
Zauważmy, że z tw. Kronekera-Capelli wynika, że równanie:
A × c = 0
ma jedynie rozwiązanie c = [ 0, 0, ..., 0].
Ostatnie stwierdzenie jest niczym innym tylko definicją liniowej niezależności!
Wykorzystując tw. Kronekera-Capelli możemy stwierdzić, że maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów w przestrzeni Rn wynosi n.
Twierdzenie
Żaden układ a1, a2, ....., an+1 wektorów z Rn nie jest liniowo niezależny.
Dowód
Macierz [a1, a2, ....., an+1] ma wymiar nx(n+1), a zatem nie może mieć rzędu równego n+1.
Twierdzenie
Układ wektorów a1, a2, ....., an z Rn jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy gdy:
det A(a1, a2, ....., an ) ¹ 0,
gdzie A(a1, a2, ....., an) jest macierzą, której kolumnami są wektory a1, a2, ....., an.
Przykład
Sprawdzić, czy wektory: [1, 2, 3], [2, 3, 4], [3, 4, 5] są liniowo niezależne.
Tworzymy macierz A, której kolumnami są dane wektory i obliczamy jej wyznacznik.
Det A = 0 Þ wektory są liniowo zależne.
Przykład
Wektory postaci:
ei = [ 0, ..., 1..., 0 ],
gdzie i- ta współrzędna jest równa 1, a pozostałe współrzędne są zerowe, są liniowo niezależne.
Oczywiście, w tym przypadku macierz A jest macierzą jednostkową, A=I a zatem det A = det I =1 ¹ 0. Wektory te nazywa się wersorami kartezjańskiego układu współrzędnych. W przestrzeni R3 zamiast oznaczeń e1, e2, e3 używa się często tradycyjnych oznaczeń i, j, k.
Przykład
Rozkład wektora a na współrzędne kartezjańskie.
Jeżeli wektor a ma współrzędne [ ax, ay, az ] to rzutami wektora a na osie kartezjańskiego układu współrzędnych są wektory:
Wektor a możemy zapisać w postaci:
Rys. 9_5 Rzuty wektora na osie układu współrzędnych.
Każdy z wektorów ax, ay, az możemy przedstawić w postaci iloczynu tego wektora i jego wersora:
Zatem wektor a możemy zapisać w postaci:
Pytanie kontrolne 5: Zbadaj czy wektory: [1, 2, 3], [ 2, 3, 4], [1, 1, 1] są liniowo niezależne w przestrzeni R3.
« poprzedni punkt |