następny punkt »


1. ILOCZYN SKALARNY

W wykładzie 9 wprowadziliśmy pojęcie iloczynu skalarnego w przestrzeni Rn jako:

gdzie u = [ u1, ....., un ] i v = [ v1, ....., vn ] są wektorami z przestrzeni Rn.

Pewne własności tak określonego iloczynu skalarnego stanowią podstawę jego ogólnej definicji.

Definicja

Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Funkcję, która uporządkowanej parze wektorów

u, v Î V przyporządkowuje liczbę rzeczywistą < u, v> nazywamy iloczynem skalarnym wektorów u i v, gdy spełnione są następujące warunki:

(i) < u, v > = < v , u>;

(ii) < u + v, w> = < u, w > + < v, w >;

(iii) < a u, v > = a × < u, v >;

(iv) < u, u > ³ 0 i równość zachodzi tylko dla u = 0.

Warunek (i) mówi o symetryczności iloczynu skalarnego, natomiast warunki (ii) i (iii) o tym, że iloczyn skalarny < u, v > jest funkcją liniową ze względu na pierwszą współrzędną u.

Pytanie kontrolne 1: Czy iloczyn skalarny jest funkcją liniową ze względu na drugą współrzędną?

Zobacz odpowiedź

Przykłady

  1. W przestrzeni R3 możemy określić inne niż poprzednio iloczyny skalarne, na przykład:

    gdzie: u = [ u1,u2, u3 ] i v = [ v1,v2,v3 ].

  2. W przestrzeni B[0, 1] funkcji ograniczonych na odcinku [0, 1] iloczyn skalarny możemy określić jako:

  3. W przestrzeni macierzy Mnxn iloczyn skalarny macierzy A, B Î Mnxnokreślamy jako:

    < A, B > = tr ( ABT ), gdzie tr C ( ślad macierzy C) oznacza sumę wszystkich elementów głównej przekątnej macierzy kwadratowej C. Interpretacja tego iloczynu skalarnego jest następująca: jeśli wiersze macierzy A i B potraktujemy jako współrzędne wektorów, to < A, B > jest sumą iloczynów skalarnych odpowiadających sobie wektorów wierszowych.

Uwaga

Z pierwszej części przykładu wynika, że często można w jednej przestrzeni wektorowej V wprowadzić kilka różnych iloczynów skalarnych.

Definicja

Rzeczywistą przestrzeń liniową z wprowadzonym iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią euklidesową.

Przestrzeń Rn z iloczynem skalarnym zdefiniowanym jako:

gdzie u = [ u1, ....., un ] i v = [ v1, ....., vn ] jest przestrzenią euklidesową i oznaczana będzie jako En.

Podobnie jak w wykładzie 9 wprowadzimy pojęcie normy (długości) wektora wykorzystując ogólną definicję iloczynu skalarnego.

Definicja

Niech v będzie wektorem przestrzeni euklidesowej E . Wówczas normą (długością) wektora v nazywamy liczbę:

W przestrzeni En długość | | v | | jest również oznaczana jako | v |.

Przykład

  1. Wektor v = [2,1,1]Î E3 ma normę:

  2. Funkcja f ( x ) = x2 -1 w przestrzeni B[0, 1] z iloczynem skalarnym określonym poprzednio ma normę:

Uwaga

Podobnie jak dla normy w przestrzeni euklidesowej En w przypadku ogólnym spełnione są:

  1. Nierówność trójkąta:

  2. Nierówność Schwarza:

Spełniona jest także równość równoległoboku:

Stwierdzenie

Dla dowolnych wektorów u i v należących do przestrzeni euklidesowej E zachodzi:

Rys. 13_1 Interpretacja graficzna równości równoległoboku.

Interpretując wektor u - v jako drugą przekątną równoległoboku otrzymamy interpretację graficzną tego stwierdzenia.

Definicja

Odległością wektorów u i v Î E nazywamy liczbę d (u , v,) określoną jako:

Zauważmy, że w przestrzeni euklidesowej En odlegość między wektorami u = [ u1, ....., un ] i v = [ v1, ....., vn ] zaczepionymi w punkcie 0 jest równa odległości punktów odpowiadających końcom tych wektorów:

Rys. 13_2 Interpretacja graficzna odległości wektorów.


 następny punkt »