« poprzedni punkt 


3. PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI AFINICZNEJ

Rozpoczniemy od przypomnienia definicji podprzestrzeni generowanej przez dwa liniowo niezależne wektory.

Definicja

Dla liniowo niezależnych wektorów a i b Î Rn, płaszczyzną P(a,b) generowaną przez a i b nazwiemy zbiór wektorów postaci: t × a + w × b, dla pewnych liczb rzeczywistych t, w.

Rys. 15_8 Płaszczyzna generowana przez dwa wektory.

Definicją tę możemy zapisać symbolicznie:

P(a, b) = { v: v = t × a + w × b ; t, w Î R }.

Przykład

Znaleźć wektor v należący do płaszczyzny generowanej przez wektory: a = [0, 6, -3], b = [1, 1, 1].

Przyjmijmy na przykład t =2, w=3, wtedy:

v = 2a + 3b = 2[0, 6, -3] + 3[1, 1, 1] = [3, 15, -3] i v Î P(a, b).

Niech punkt :

.

Definicja

Płaszczyzną w En wyznaczoną przez wektory a i b, przechodzącą przez punkt P0, nazwiemy zbiór P(a, b, P0 ) punktów Q Î En postaci:

Q = P0 Å v,

dla pewnego wektora v Î P ( a, b ).

Rys. 15_9 Płaszczyzna w En wyznaczona przez wektory a i b, przechodząca przez punkt P0.

Możemy to zapisać symbolicznie:

P(a, b, P0 ) = { Q : Q = P0 Å v, v Î P ( a, b ) }.

Twierdzenie

Punkt Q Î P( a, b ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby rzeczywiste t i w o tej własności, że:

Równanie te nazywają się równaniami parametrycznymi płaszczyzny.

Ograniczymy się teraz do przypadku n = 3, mamy więc zgodnie z twierdzeniem:

Zauważmy, że wtedy układ równań:

ma rozwiązanie z = 1.

Z twierdzenia Cramera wnosimy, że musi być spełniony warunek:

Rozwinięcie względem trzeciej kolumny daje:

gdzie [ a , b, g ] = a ´ b.

Twierdzenie

Punkt Q Î E3 leży w płaszczyźnie P(a, b, P0 ), generowanej przez wektory a, b i przechodzącej przez punkt P0, wtedy i tylko wtedy, gdy:

Równanie to nosi nazwę równania normalnego płaszczyzny. Wektor wodzący jest prostopadły do iloczynu wektorowego wektorów a i b generujących płaszczyznę.

Przykład

Napisać równanie płaszczyzny w E3 przechodzącej przez punkty:

P= (1, 1, 2), Q= (3, 4, 5), R= ( - 1, - 2, 3).

Rys. 15_10 Ilustracja geometryczna przykładu.

Przypomnijmy definicję płaszczyzny generowanej przez dwa wektory i przechodzącej przez dany punkt:

P(a, b, P0 ) = { Q : Q = P0 Å v, v Î P ( a, b ) }.

Przyjmujemy, że płaszczyzna jest generowana przez wektory postaci:

Równanie parametryczne płaszczyzny możemy zapisać jako:

Zadanie to możemy rozwiązać innym sposobem stosując ogólne równanie płaszczyzny:

Jako wektory generujące płaszczyznę przyjmujemy:

Obliczamy iloczyn wektorowy:

oraz wektor:

Po obliczeniu iloczynu skalarnego otrzymanych wektorów znajdujemy równanie płaszczyzny w postaci:

-12(1- q) + 8(1- q) + 0(2- q) = 0.

Stąd:

12q - 8q+ 4 = 0.

Pytanie kontrolne 2: Znajdź punkt z0 taki, że płaszczyzna 3x + 4y + 3z - 2 = 0 przecina oś OZ w punkcie z0.

Zobacz odpowiedź

Wzajemne położenie dwóch płaszczyzn

Niech punkt P( x, y, z ) jest punktem płaszczyzny.

Rozpatrzmy dwie płaszczyzny w przestrzeni E3 opisane równaniami:

Płaszczyzny są równoległe, tzn. równoległe i różne lub pokrywają się, gdy:

przy czym pokrywają się , gdy:

Rzut prostokątny punktu na płaszczyznę w E3

Definicja

Niech P będzie płaszczyzną w E3 i S dowolnym punktem. Rzutem prostokątnym punktu S na płaszczyznę P nazywamy punkt S' taki, że:

dla dowolnego punktu Q płaszczyzny.

Można udowodnić, że rzut dowolnego punktu S istnieje i jest dany przez punkt S' płaszczyzny P najbliższy punktowi S; to jest taki punkt, że długość wektora jest minimalna.

Odległość punktu od płaszczyzny łatwo obliczyć.

Stwierdzenie

Odległość punktu S = ( x0, y0, z0) od płaszczyzny P opisanej wzorem Ax + By + Cz + D = 0 wyraża się jako:

Przykład

Odległość punktu ( 2, 1, 1 ) od płaszczyzny P opisanej wzorem x + y + z + 2 = 0 wynosi:


« poprzedni punkt