« poprzedni punkt  następny punkt »


2. REPREZENTACJA LICZB ZESPOLONYCH W POSTACI a+bi

Poznamy teraz kolejną reprezentację liczb zespolonych, która często jest wykorzystywana w ich zastosowaniach. Podstawowym symbolem, który zdefiniujemy jest jedynka urojona. Liczba ta nie ma swojego odpowiednika w zbiorze liczb rzeczywistych i jest postaci (0,1).

Definicja

Liczbę (0,1) będziemy oznaczać symbolem i:
        i = (0,1).
Liczbę tę nazywamy jedynką urojoną, dlatego, że i2 = ( 0,-1 ).

Rzeczywiście:

        i∙i = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1,

zgodnie z regułą (a,b)(c,d) = (ac - bd,ad + bc).

Zatem liczbę i2 utożsamiamy z liczbą -1, pisząc i2 = -1.

Pamiętamy, że i nie jest liczbą rzeczywistą gdyż nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat jest liczbą ujemną.

Ponieważ:

        
możemy liczbę zespoloną (a,b) utożsamiać z wyrażeniem a+bi, zwanym postacią kanoniczną Gaussa liczby zespolonej (a,b).

Niech liczba zespolona ma postać a + bi.

Liczbę rzeczywistą a Î R nazwiemy częścią rzeczywistą liczby zepolonej.
Liczbę rzeczywistą b Î R nazwiemy częścią urojoną liczby zespolonej.

Wielkości te oznaczamy przez:

a = Re(a + bi), Re - realis - rzeczywisty (łac.)
b = Im(a + bi), Im - imaginarius - urojony (łac.)

Liczba zespolona ib, gdy b ¹ 0 jest liczbą urojoną.

Liczbę zespoloną będziemy dalej nazywać krótko liczbą i oznaczać także jedną litera, np. z, przy czym z = a + bi. Zatem z = Re z + i × Im z .

Pytanie kontrolne 2: Zapisz w postaci kanonicznej Gaussa liczby (2, 6), (5, -5), (0, 2), (1, 0).

Zobacz odpowiedź

Działania na liczbach zespolonych w postaci kanonicznej Gaussa

Określamy działania dodawania, odejmowania i mnożenia liczb w postaci kanonicznej Gaussa. Wykorzystujemy tu prawa działań obowiązujące w zbiorze liczb rzeczywistych.

W związku z tym, że liczba zespolona jest w istocie parą liczb wprowadzamy wielkości, które tę parę charakteryzują. Jedną z takich wielkości jest moduł liczby zespolonej.

Definicja

Modułem liczby zespolonej z = a + bi, oznaczanym przez | z |, nazywamy rzeczywistą liczbę nieujemną, będącą pierwiastkiem sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej tej liczby:

Przykład

Obliczyć moduł liczby zespolonej 3 - 4i.

        

Podobnie: ú1ú = 1,úiú = 1, ú0ú = 0.

Stwierdzenie

Liczba zespolona jest wtedy i tylko wtedy zerem, gdy jej moduł jest równy zeru:
        z = 0 Û |z| = 0.

Definicja

Liczbą sprzężoną z liczbą z = a + bi nazywamy liczbę postaci a - bi.
Oznaczenie: .

Definicja

Dwie liczby, z których jedna jest sprzężona z drugą, nazywamy liczbami sprzężonymi.

Stwierdzenie

(i) Liczby sprzężone mają równe moduły, tzn.:
        .

(ii) Iloczyn liczb sprzężonych jest równy kwadratowi ich wspólnego modułu, tzn.:
        

Wzór (ii) można napisać w postaci:
        

Wniosek

W zbiorze liczb zespolonych sumę kwadratów można rozłożyć na iloczyn czynników pierwszego stopnia.

Przykład

        

Stwierdzenie

Liczba odwrotna do liczby zespolonej ma postać:
        
Iloraz liczb zespolonych ma postać:
        

W celu udowodnienia równości pierwszą z nich dzielimy przez , a drugą przez

Przykład

a) Obliczyć liczbę odwrotną do liczby zespolonej 3 - 4i.
Z pierwszej równości ostatniego stwierdzenia wynika, że:

        

b) Obliczyć iloraz dwóch liczb zespolonych 2 + i oraz 4 - i.
Z drugiej równości ostatniego stwierdzenia:

        

Przykład

W zbiorze liczb zespolonych można rozwiązać równania kwadratowe, których wyróżnik ∆ jest liczbą ujemną. Przedstawimy rozwiązanie równania kwadratowego postaci:
        
Wyróżnik równania wynosi:
        
Korzystając z własności liczb zespolonych obliczmy pierwiastek z wyróżnika:
        
A zatem równanie posiada dwa pierwiastki zespolone postaci:
        

Pytanie kontrolne 3: Oblicz moduł liczby zespolonej - 4 + 3i oraz znajdź liczbę do niej sprzężoną.

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »