« poprzedni punkt | następny punkt » |
Na mocy twierdzenia:
A'=P-1A P,
gdzie P jest macierzą przejścia od bazy B1 do bazy B2.
Macierze A spełniające powyższą równość nazywamy diagonalizowalnymi.
Definicja
Macierz kwadratowa o wyrazach rzeczywistych jest diagonalizowalna, jeśli istnieje odwracalna macierz P taka, że macierz P-1AP jest diagonalna.
Twierdzenie
Następujące warunki są równoważne:
Przykład
Rozpatrzmy macierze:
Równanie charakterystyczne:
det (A-l I) = 0
ma postać:
(1-l )2 - 4 = 0, albo inaczej (-1 - l )(3 - l )=0,
zatem wartości własne l 1 = 3 i l 2 = -1 są jednokrotne.
Odpowiadają im wektory własne:
x1 = [1,2] i x2= [1,-2]
tak więc:
macierz diagonalna P-1 A P ma postać:
W przypadku macierzy C równanie charakterystyczne ma postać (1 - l )2 = 0, zatem wartością własną C (o krotności 2) jest l = 1.
Z równania Cx = x wynika że x ma postać [a, 0], zatem C ma tylko jeden niezależny wektor własny, czyli na mocy punktu (i) twierdzenia macierz C nie jest diagonalizowalna.
Pytanie kontrolne 2: Sprawdź czy macierz:
jest diagonalizowalna.
Definicja
Macierze A i B wymiaru nxn są podobne gdy A=P-1 B P dla pewnej macierzy odwracalnej P.
Diagonalizowalność macierzy A oznacza zatem jej podobieństwo do macierzy diagonalnej. Z przykładu wynika, że macierz nie jest diagonalizowalna jeśli jej wartości własnej o pewnej krotności r nie odpowiada r niezależnych wektorów własnych. Okazuje się, że w sytuacji gdy macierz A nie jest podobna do macierzy diagonalnej, to jest podobna do macierzy bliskiej macierzy diagonalnej, tzw. macierzy blokowej Jordana.
« poprzedni punkt | następny punkt » |