« poprzedni punkt  następny punkt »


2. FUNKCJA PIERWIASTEK STOPNIA n

Omówimy teraz funkcję zmiennej zespolonej postaci:

        

gdzie n jest ustaloną liczbą naturalną.

Definicja

Rozwiązania równania:

        wn = z,

gdzie z = x + y∙i Î C oraz n = 2,3,...; nazwiemy pierwiastkami stopnia n z liczby z.

Na podstawie zasadniczego twierdzenia algebry wiemy, że pierwiastków stopnia n z liczby z jest n.

Zapis oznacza zbiór wszystkich n pierwiastków stopnia n z liczby, z, zatem nie jest funkcją w dotychczasowym sensie tego słowa.

Rozwiązanie równania wn = z dla trygonometrycznej postaci liczb zespolonych:

        ,

Z twierdzenia de Moivre'a otrzymujemy:

        

Stąd:

(i) ,

(ii) cosnj 0 = cosj,

(iii) sinnj 0 = sinj.

Układ równań (ii), (iii) ma rozwiązanie postaci:

        , .

Stąd:

        .

Ponadto

        .

Otrzymujemy n różnych wartości , dla wartości k = 0,1,..., n-1:

        

Przykład

Niech n = 2. Wyznaczymy oba pierwiastki stopnia 2 z liczby z.

,

Przykład

Obliczyć pierwiastki stopnia 2 z liczby z = 4 + 3i.

        

        .

Zatem:

Pytanie kontrolne 4: Obliczyć

Zobacz odpowiedź

Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby 1

Rozpatrzmy szczególny przypadek gdy z = 1. Liczbę 1 możemy przedstawić jako liczbę zespoloną w postaci:

        1 = 1 + 0∙i = 1∙(cos0 + i∙sin0).

Kolejne pierwiastki stopnia n z 1 oznaczamy jako e 0,e 1,...,e n-1 .

Mamy:

        , k = 0,1,...,n-1.

Twierdzenie

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,

Dowód



  1. wynika z (a), ponieważ 1 = e 0 = e (k+n-k)(modn).
  2. oczywiste.
  3. wynika z twierdzenia de Moivre'a.

Interpretacja geometryczna liczb e 0, e 1, ....., e n-1

Pierwiastki e 0, ...., e n-1 są wierzchołkami n - kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 1 i środku (0, 0).

Rys. 4_1 Interpretacja geometryczna pierwiastków stopnia n z liczby 1.


« poprzedni punkt  następny punkt »