« poprzedni punkt | następny punkt » |
Rozpatrujemy funkcję wykładniczą zmiennej zespolonej w postaci:
Definicja
Dla z = x + iy, przyjmiemy:
ez = ex∙(cosy + i∙siny).Z definicji funkcji wykładniczej wynika, że:
|ez| = ex, arg(ez) = y.Funkcja ez jest funkcją okresową:
Zauważmy, że dla liczby rzeczywistej z = x , mamy ez = ex( cos 0 + i sin 0) = ex.
Stwierdzenie
W szczególności dla z = yi, (tj. k = 0) mamy:
eiy = cosy + i∙siny
(na przykład: ).
Przekształcenie t ® eit jest parametrycznym przedstawieniem okręgu jednostkowego dla t Î [0, 2p ] (tj. gdy t przebiega [0, 2p ] to eit przebiega punkty na okręgu o równaniu x2 + y2 = 1).
Interpretacja geometryczna funkcji f(z) = ez
Stwierdzenie (postać wykładnicza liczby zespolonej)
Dla liczby zespolonej z o module r i o argumencie j zachodzi równość:
Przyjmijmy teraz, że w= ez = r(cosj + i∙sinj ), gdzie z = x + yi.
Mamy więc na mocy definicji funkcji wykładniczej:
Tak więc liczba x + yi przekształca się na liczbę zespoloną mającą reprezentację biegunową:
(ex, y) = (r, j).Pytanie kontrolne 5: Oblicz i zaznacz na płaszczyźnie
liczbę .
Przykład
Znaleźć obraz prostej l : x = 1 przy przekształceniu f(z) = ez.
Równanie prostej l ma postać z=1+i× y.
Obrazem prostej l jest zbiór liczb zespolonych postaci:
w = e(cosy + i∙siny), gdzie y Î R,tj. okrąg o środku (0,0) i promieniu o długości e.
Rys. 4_2 Obraz linii prostej przy przekształceniu f(z) = ez.
Podobnie, obrazem prostej k: y=1 przy przekształceniu f(z) = ez jest półprosta k' o równaniu we współrzędnych biegunowych: r > 0, j =1 (w radianach).
Rys. 4_3 Obraz prostej y = 1 w przekształceniu f(z) = ez.
Zatem np. obrazem prostokąta W :1 £ x £ 2, 2 £ y £ 3 jest obszar W ':e £ r £ e2, 2 £ j £ 3.
Rys. 4_4 Obraz prostokąta w przekształceniu f(z) = ez.
Pytanie kontrolne 6: Rozwiąż równanie:
« poprzedni punkt | następny punkt » |