następny punkt » |
Definicja
Niepusty zbiór V nazywamy rzeczywistą przestrzenią wektorową (lub przestrzenią liniową), jeśli:
Elementy przestrzeni V nazywamy wektorami i oznaczamy je podkreślonymi literami.
Element neutralny 0 nazywamy wektorem zerowym przestrzeni V.
Zastępując w definicji rzeczywistej przestrzeni wektorowej liczby rzeczywiste α i β przez liczby zespolone otrzymamy definicję zespolonej przestrzeni wektorowej.
Podstawowym przykładem przestrzeni liniowej jest rzeczywista przestrzeń n-wymiarowa Rn :
Działania w Rn są określone następująco:
gdzie x = ( x1, x2, ....., xn ), y= ( y1, y2, ....., yn ), a Î R.
Dla podkreślenia, że w przestrzeni Rn punkt ( x1, x2, ....., xn ) utożsamiamy z wektorem łączącym punkt 0 z tym punktem, odpowiedni element przestrzeni wektorowej Rn będziemy oznaczać jako
[ x1, x2, ....., xn ].
W szczególności przestrzeń R3 możemy utożsamiać ze zbiorem trójek liczb rzeczywistych, które odpowiadają współrzędnym punktów w pewnym wybranym układzie współrzędnych.
Kartezjański układ współrzędnych w R3
Rys. 9_1 Kartezjański układ współrzędnych.
Wektory przestrzeni wektorowej R3 zadane za pomocą trójek liczb rzeczywistych [ x1, x2, x3 ] możemy również utożsamiać ze skierowanym odcinkiem o początku w punkcie ( 0, 0, 0 ) i końcu w punkcie
( x1, x2, x3 ).
Podobnego utożsamienia możemy dokonać w dowolnej przestrzeni Rn. Wtedy definicje dodawania wektorów i ich mnożenia przez liczbę pokrywają się z definicjami, które poznaliśmy w szkole średniej.
Rys. 9_2 Interpretacja geometryczna dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę.
Wektor:
Inne przykłady przestrzeni liniowych:
[ A + B ]ij = aij + bij , dla 1 £ i £ m, 1 £ j £ n,
[ a A ]ij = a aij, gdzie A = [ aij ], B = [ bij ] Î Mmxn
( f + g )( x ) = f( x ) + g( x ) , dla x Î I, oraz dla f, g Î T( I);
( a f ) ( x ) = a f( x ), dla x Î I.
Rys. 9_3 Ilustracja graficzna funkcji sumy f( x ) i g( x ).
Dla operacji wprowadzonych w przestrzeni liniowej łatwo uzasadnić następujące własności:
Stwierdzenie:
Pytanie kontrolne 1: Uzasadnij, że zbiór W jest przestrzenią liniową.
następny punkt » |