« poprzedni punkt |
Prawdopodobieństwo warunkowe pozwala określić niezależność zdarzeń. Zdarzenia A i B, o dodatnich prawdopodobieństwach, nazwiemy niezależnymi, jeśli informacja o zajściu jednego z nich nie wpływa na prawdopodobieństwo zajścia drugiego, to znaczy
Każdy z warunków jest równoważny P(AÇ B) = P(A) × P(B).
Przyjmujemy go za ogólną definicję niezależności dwóch zdarzeń pozbywając się założenia o dodatniości prawdopodobieństw.
Definicja
P(A Ç B) = P(A) P(B).
dla dowolnych różnych zdarzeń
Przykład
Wykonujemy kolejno rzuty monetą symetryczną aż do momentu uzyskania orła po raz pierwszy. Zakładamy, że rzuty są niezależne.
Niech Ai = {orzeł w i-tym rzucie po raz pierwszy}.
P(O) = 0,5, P(RO) = 0,25, P(Ai)= 0,5 i−1 ´ 0,5 = 0,5 i.
Uwaga
Niech A Ì S i B Ì S oraz zdarzenia A i B są niezależne. Wówczas
Stwierdzenie
Niech A Ì S i B Ì S oraz P(A) > 0, P(B) > 0 oraz zdarzenia A i B wykluczają się. Wówczas zdarzenia A i B są zależne.
Dowód
0 = P(AÇ B) ¹ P(A) P(B) ¹ 0.
Określenie
Zdarzenia A1, A2, ... , Ak, k³ 2, nazywamy niezależnymi parami, jeśli każde dwa zdarzenia spośród nich są niezależne.
Uwaga
Z niezależności parami nie wynika niezależność rodziny zdarzeń A1, A2, ... , Ak. Natomiast niezależność rodziny zdarzeń implikuje niezależność parami.
Przykład
Niech S = { s1, s2, s3, s4 }, A1 = { s1, s2 }, A2 = { s1, s3 }, A3 = { s1, s4 }, oraz zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Zauważmy, że A1, A2, A3 są niezależne parami, ale
P(A1 Ç
A2 Ç
A3) =
« poprzedni punkt |