« poprzedni punkt  następny punkt »


2. GĘSTOŚCI NORMALNE

Niech m będzie dowolnie ustaloną liczbą, a s dowolnie ustaloną liczbą dodatnią.

Definicja

Poniższe rysunki 2.4 i 2.5 przedstawiają wykresy gęstości normalnych dla różnych wartości parametrów m i s. Rysunek 2.4 przedstawia gęstość f = f 0,1, rys. 2.5 oprócz tej gęstości przedstawia gęstość f 1,1.

Rys. 2.4. Krzywa normalna f 0,1.

Rys. 2.5. Krzywe normalne f 0,1 i f 1,1.

Określenie

Jeśli krzywa gęstości cechy X jest wykresem gęstości normalnej f m,s , to mówimy, że cecha X ma rozkład normalny z parametrami m i s.

Zapisujemy krótko: X ~ N(m, s).

Krzywą normalną N(m, s) nazywamy wykres gęstości normalnej f m,s .

Rys. 2.6. Krzywe normalne N(0,1) (niebieska) i N(1,2) (czerwona).

Rysunek 2.6 przedstawia krzywe normalne N(0,1) i N(1,2), a rys. 2.5 krzywe N(0,1) i N(1,1).

Własności gęstości normalnej

Pytanie kontrolne

Wykaż, że medianą gęstości normalnej jest m.

Zobacz odpowiedź

W dalszych wykładach pokażemy, że prawdziwe jest następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie (standaryzacja cechy o gęstości normalnej)

Jeśli cecha X ma gęstość normalną z parametrami m i s, to cecha Z=(X- m )/s ma gęstość normalną z parametrami 0 i 1, co zapisujemy

     

Rozkład cechy Z nazywamy standardowym rozkładem normalnym.

Dalsze własności gęstości normalnej

Interpretacja. Przy dużej liczności próbki, jeśli cecha X ma gęstość normalną, X ~ N(m, s), to wówczas

Definicja

Dystrybuantą standardowej gęstości normalnej nazywamy funkcję:

     

Uwaga

Na mocy definicji kwantyla rzędu p, 0 < p <1, mamy F (qp)=p.

Wartości F (x) są stablicowane i dostępne w wielu podręcznikach do statystyki i pakietach statystycznych, w pakiecie R instrukcja pnorm(x,0,1) zwraca wartość dystrybuanty w punkcie x.

Przykład

Załóżmy, że wzrost losowo wybranego dorosłego Polaka jest cechą ciągłą mającą gęstość normalną o wartości średniej 176 (cm) oraz odchyleniu standardowym 6,5 (cm). Znajdź przedział o środku w punkcie równym wartości średniej taki, że 95% dorosłych Polaków ma wzrost w tym przedziale.

Odpowiedź. Zgodnie z regułą pięciu procent jest to przedział

(m - 2s, m + 2s) = (176 − 26,5, 176 + 26,5) = (163, 189).

Pytanie kontrolne

Przyjmując założenia poprzedniego przykładu, jaki procent dorosłych Polaków ma wzrost powyżej 190 cm?

Zobacz odpowiedź

Przykład (obliczanie kwantyla)

Niech wzrost losowo wybranego Polaka będzie cechą ciągłą X, X ~ N(176, 6,5). Jaki jest przedział wzrostu 20% najniższych Polaków?

Odpowiedź. 20% najniższych Polaków ma wzrost £ q0,2, gdzie q0,2 jest kwantylem rzędu 0,2 gęstości rozkładu N(176, 6,5) (tzn. gęstości cechy X o rozkładzie N(176, 6,5)).

Zatem mamy:

Liczbę - 0,84 odczytaliśmy z tablicy dystrybuanty standardowej gęstości normalnej:
F (0,84)=0,8, stąd F (−0,84)=1−0,8=0,2.

Ponieważ j (z) > 0 mamy z (1) i (2):

20% dorosłych Polaków ma nie więcej niż 170,5 cm wzrostu.

Przykład

X ~ N(30, 5). (np. X = dochód roczny w tys. zł.). Jaka jest w przybliżeniu częstość obserwacji nie przekraczających 20 (w licznych próbkach)?

Odpowiedź.

Częstość obserwacji £ 20 »

Przykład

Znajdź kwantyle q0,25, q0,75 dla gęstości N(30, 5).

Odpowiedź.

F (z0,25) = 1 - F (z0,75). Z tablic: z0,25= - 0,67449.

z0,25 = (q0,25- 30) / 5.

Stąd q0,25 = 5 ´ (- 0,67449) + 30 = 29,66275.

Podobnie obliczamy kwantyl rzędu 0,75.


« poprzedni punkt  następny punkt »