« poprzedni punkt | następny punkt » |
(a) Niech (X,Y) będzie dyskretną zmienną losową mającą funkcję prawdopodobieństwa f(x,y).
Niech y - ustalone oraz fY(y) > 0, tzn. y jest jedną z wartości zmiennej Y.
Definicja
Korzystając z definicji f(x,y) i fY(y) otrzymujemy
Tak więc dla dyskretnej zmiennej losowej (X,Y) wartość warunkowej funkcji prawdopodobieństwa f(x | y) określona jest po prostu jako prawdopodobieństwo warunkowe, że X=x pod warunkiem Y=y.
Analogicznie:
Notacja:
f(x|y) = fX|Y(x|y),
f(y|x) = fY|X(y|x).
(b) Niech (X,Y) będzie ciągłą zmienną losową o łącznej gęstości f(x,y).
Niech y - ustalone oraz fY(y) > 0.
Definicja
Warunkową gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X pod warunkiem, że Y=y nazywamy funkcję
Przykład (kontynuacja)
Obliczyliśmy, że
Niech - 1 £ y £ 1, y - ustalone.
f(x | y) = 0, dla xÏ [- 1, 1].
Uwaga
Analogicznie określamy rozkład warunkowy zmiennej losowej Y pod warunkiem X = x. Mianowicie
gdzie y - dowolna wartość Y, x - ustalone, takie że fX(x) > 0.
Notacja:
f(y|x) = fY|X(y|x),
f(x|y) = fX|Y(x|y).
Przykład (kontynuacja)
(a) Znaleźć rozkład brzegowy zmiennej Y, liczby punktów uzyskanych w II etapie teleturnieju przez losowo wybranego uczestnika.
(b) Wyznaczyć rozkład warunkowy Y pod warunkiem, że w I etapie uzyskano 2 punkty, tzn. X = 2.
y x |
0 |
1 |
2
|
0 |
0,5 |
0,05 |
0,01 |
1 |
0,2 |
0,1 |
0,06 |
2 |
0,02 |
0,03 |
0,03 |
(a) Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y otrzymamy sumując prawdopodobieństwa w odpowiedniej kolumnie tabeli prawdopodobieństw
fY(y) = f(0,y) + f(1,y) + f(2,y). Stąd
y |
0 |
1 |
2 |
fY(y) |
0,72 |
0,18 |
0,1 |
« poprzedni punkt | następny punkt » |