« poprzedni punkt  następny punkt »


4. ROZKŁADY BRZEGOWE

Zajmiemy się teraz problemem jak "odzyskać" rozkład zmiennej X (oraz Y) znając rozkład łączny pary (X,Y). Niech (X,Y) będzie dwuwymiarową zmienną losową o rozkładzie prawdopodobieństwa określonym przez funkcję f(x,y) będącą funkcją prawdopodobieństwa lub gęstością.

Definicja

Rozkładem brzegowym pary (X,Y) nazywamy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X lub zmiennej losowej Y.

Stwierdzenie

  1. dla dyskretnych zmiennych X, Y, brzegowe funkcje prawdopodobieństwa są postaci

         

         

  2. dla ciągłych zmiennych X, Y, brzegowe gęstości są postaci

         

         

Dowód

Stąd

     

Zatem dla dyskretnych zmiennych (X,Y) gęstość brzegową fX(x) otrzymano sumując prawdopodobieństwa fX,Y(x,y) po wszystkich możliwych wartościach y. Dla ciągłych zmiennych zastępujemy sumowanie całkowaniem po y.

Przykład

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma gęstość

Znajdziemy gęstość zmiennej losowej X.

Niech - 1 £ x £ 1.

Gęstość zmiennej losowej Y ma identyczną postać (dlaczego?).

Przykład

Dla gęstości f(x,y) z ostatniego pytania kontrolnego znajdźmy fX(x).

dla - 1 £ x £ 1, gdyż dla ustalonego - 1 £ x £ 1 gęstość f(x,y) jest różna od 0 tylko dla y z przedziału [0, x2]. Dla x Ï [- 1, 1] fX(x) = 0 (dlaczego?).


« poprzedni punkt  następny punkt »