« poprzedni punkt 


4. ZDARZENIA NIEZALEŻNE

Prawdopodobieństwo warunkowe pozwala określić niezależność zdarzeń. Zdarzenia A i B, o dodatnich prawdopodobieństwach, nazwiemy niezależnymi, jeśli informacja o zajściu jednego z nich nie wpływa na prawdopodobieństwo zajścia drugiego, to znaczy

     

Każdy z warunków jest równoważny P(AÇ B) = P(A) × P(B).

Przyjmujemy go za ogólną definicję niezależności dwóch zdarzeń pozbywając się założenia o dodatniości prawdopodobieństw.

Definicja

P(A Ç B) = P(A) P(B).

Przykład

Wykonujemy kolejno rzuty monetą symetryczną aż do momentu uzyskania orła po raz pierwszy. Zakładamy, że rzuty są niezależne.

Niech Ai = {orzeł w i-tym rzucie po raz pierwszy}.

P(O) = 0,5, P(RO) = 0,25, P(Ai)= 0,5 i−1 ´ 0,5 = 0,5 i.

Uwaga

Niech A Ì S i B Ì S oraz zdarzenia A i B są niezależne. Wówczas

Stwierdzenie

Niech A Ì S i B Ì S oraz P(A) > 0, P(B) > 0 oraz zdarzenia A i B wykluczają się. Wówczas zdarzenia A i B są zależne.

Dowód

0 = P(AÇ B) ¹ P(A) P(B) ¹ 0.

Określenie

Zdarzenia A1, A2, ... , Ak, k³ 2, nazywamy niezależnymi parami, jeśli każde dwa zdarzenia spośród nich są niezależne.

Uwaga

Z niezależności parami nie wynika niezależność rodziny zdarzeń A1, A2, ... , Ak. Natomiast niezależność rodziny zdarzeń implikuje niezależność parami.

Przykład

Niech S = { s1, s2, s3, s4 }, A1 = { s1, s2 }, A2 = { s1, s3 }, A3 = { s1, s4 }, oraz zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Zauważmy, że A1, A2, A3 są niezależne parami, ale P(A1 Ç A2 Ç A3) = 0,25 ¹ P(A1) P(A2) P(A3) = 0,125.


« poprzedni punkt