Zadanie 1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) charakteryzuje losowo wybranego absolwenta pewnej uczelni technicznej. X oznacza ocenę na dyplomie, a Y liczbę zdanych egzaminów w I semestrze. Funkcję prawdopodobieństwa łącznego zmiennej (X,Y) określa tabela
y |
0 |
1 |
2
|
3 |
0,0 |
0,1 |
0,1 |
4 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
5 |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
Oblicz Cov(X,Y) oraz r (X,Y).
Zadanie 2. Gęstość łączna wagi orzeszków ziemnych X i nerkowców Y w puszce kilogramowej ma postać
Oblicz Cov(X,Y) oraz r (X,Y).
Zadanie 3. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) charakteryzuje losowo wybranego studenta pewnej uczelni. Wartości x = 0, 1, 2 oznaczają liczbę zdanych egzaminów w I semestrze, a wartość y = 0 oznacza nie ukończenie studiów w terminie, natomiast y = 1 oznacza ukończenie studiów w terminie. Funkcja prawdopodobieństwa łącznego zmiennej losowej (X,Y) dana jest tabelą:
y |
0 |
1 |
0 |
0,03 |
0,05 |
1 |
0,01 |
0,1 |
2 |
0,01 |
0,8 |
Oblicz Cov(X,Y).
Zadanie 4. Dwuwymiarowa zmienna losowa ciągła (X,Y) ma funkcję gęstości łącznej postaci
(a) Znajdź funkcję gęstości zmiennej losowej X.
(b) Oblicz E(Y2).
(c) Oblicz E(XY).
Zadanie 5. X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N(0,1). Na mocy twierdzenia z sekcji 8.4 można wykazać, że zmienna (X, X+Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny. Wyznacz parametry tego rozkładu.