« poprzedni punkt  następny punkt »


2. KOWARIANCJA ZMIENNYCH LOSOWYCH

Definicja

Niech X i Y będą zmiennymi losowymi o łącznej funkcji prawdopodobieństwa (lub gęstości) f(x,y). Kowariancją zmiennych X i Y nazywamy liczbę:

     

Uwaga

Z definicji Cov(X,Y) oraz E[g(X,Y)], przyjmując g(x,y)=(x - m X)(y - m Y), otrzymujemy wzory:

     

      gdy X, Y są dyskretne,

     

      gdy X, Y są ciągłe.

Notacja: Zamiast Cov(X,Y) często piszemy s XY.

Interpretacja. Kowariancja określa pewną miarę zależności między zmiennymi losowymi:

(a) Jeśli dużym wartościom zmiennej X przewyższającym mX towarzyszą zwykle duże wartości zmiennej Y przewyższające mY, a wartościom X mniejszym od mX towarzyszą zwykle wartości Y mniejsze od mY, to Cov (X,Y) > 0.

(b) Jeśli wartościom zmiennej X większym od mX towarzyszą zwykle wartości Y mniejsze od mY , a wartościom X mniejszym od mX towarzyszą zwykle wartości Y większe od mY, to Cov (X,Y) < 0.

(c) Zauważmy, że dla X = Y Cov (X,Y) = Var (X) ³ 0.

Stwierdzenie

Cov(X,Y) = E(XY) - m X m Y.

Dowód

Cov(X,Y) = E[(X - m X ) (Y - m Y)] = E(XY - Xm Y - Ym X + m X m Y ) =

= E(XY) - E(Xm Y ) - E(Ym X ) + m X m Y = E(XY) - m X m Y .

Twierdzenie

Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to Cov(X,Y) = 0.

Dowód

Dla niezależnych zmiennych losowych E(XY) = E(X) E(Y). Stąd oraz wzoru na kowariancję mamy:

     Cov(X,Y) = E(XY) - m X m Y = E(X) E(Y) - m X m Y = 0.

Uwaga

Twierdzenie odwrotne nie jest na ogół prawdziwe. Na przykład niech (X,Y) będą dyskretnymi zmiennymi losowymi o funkcji prawdopodobieństwa łącznego

Zauważmy, że znajomość wartości X determinuje wartość zmiennej Y, zatem X i Y są zależne. Jednocześnie EX= EY = 0 i EXY = (1/4) (2´ 2 + 2´ (- 2) + (- 4)´ 1 + 4´ (- 1)) = 0. Zatem Cov(X,Y) = 0.

Twierdzenie

Dla dowolnych stałych a, b

     Var(aX + bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y) + 2abCov(X,Y).

Dowód

E{ [(aX + bY) - (am X + bm Y )]2 } = E{ [a(X - m X) + b(Y - m Y )]2 } =

= E{ [a(X - m X)]2 } + E{ [2ab(X - m X) (Y - m Y )]} + E{ [b(Y - m Y )]2 } =

= a2 Var(X) + 2abCov(X,Y) + b2 Var(Y).

Wniosek

Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

     Var(aX + bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y).

Przykład

Niech X1, ... , X5 będą liczbami oczek w pięciu niezależnych rzutach kostką do gry. Wtedy

Var( (X1 + X2 ) / 2 ) = (1/2) Var(X1), a Var( (X1 + X2 + ... + X5) / 5 ) = (1/5) Var(X1).

Zatem wariancja średniej wylosowanej liczby oczek maleje odwrotnie proporcjonalnie do liczby rzutów, a odchylenie standardowe średniej odwrotnie proporcjonalnie do pierwiastka z liczby rzutów. Podobnie zachowuje się wariancja średniej wyników uzyskanych w niezależnych eksperymentach.


« poprzedni punkt  następny punkt »