« poprzedni punkt  następny punkt »


3. ZMIENNE LOSOWE CIĄGŁE

Definicja

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y) nazywana jest ciągłą zmienną losową (krócej - zmienną ciągłą), jeśli jej łączny rozkład prawdopodobieństwa określony jest przez funkcję gęstości łącznej (łączną gęstość prawdopodobieństwa) taką, że

(i)        f(x,y) ³ 0,

W szczególności dla A = (- ¥, x] ´ (- ¥, y] mamy

Zatem aby obliczyć dystrybuantę F(x,y) w punkcie (x,y) całkujemy gęstość łączną f(s,t) po zbiorze (- ¥, x] ´ (- ¥, y]. Z podstawowego twierdzenia analizy wynika, że gęstość dwuwymiarowej ciągłej zmiennej losowej spełnia zależność:

Przykład

Niech zmienna losowa (X,Y) ma (łączną) gęstość prawdopodobieństwa

Obliczmy P(X ≤ 0,8, Y > 0,25).

Przykład

Niech (X, Y) oznacza parę kolejnych liczb pseudolosowych wygenerowanych przez generator rozkładu jednostajnego. Wówczas f(x,y) = 1 dla 0 £ x,y £ 1, i f(x,y) =0 dla pozostałych (x,y).

Obliczmy prawdopodobieństwo P(X < Y).

Pytanie kontrolne

Zinterpretuj geometrycznie powyższy wynik.

Zobacz odpowiedź

Pytanie kontrolne

Dwuwymiarowa zmienna losowa ma gęstość łączną postaci

dla pewnej stałej C. Znajdź wartość stałej C.

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »