następny punkt »


1. GĘSTOŚĆ I DYSTRYBUANTA CIĄGŁEJ ZMIENNEJ LOSOWEJ

Definicja

Zmienną losową X nazywamy ciągłą zmienną losową, jeśli istnieje nieujemna funkcja f, zwana gęstością, taka że dla dowolnych a, b, - ¥ £ a £ b £ ¥,

     

Zauważmy, że funkcja

jest dystrybuantą zmiennej losowej X, gdyż F(x) = P(X£ x), dla każdego x. Ponadto, mamy proste

Stwierdzenie 1

  1. f(x) ³ 0 dla każdego x,

  2. P(X = c) = 0 dla każdej stałej c.

Dowód

(1) P({sÎ S: X(s)Î (- ¥, ¥ )}) = P(S) = 1

(2) Wynika bezpośrednio z definicji, lub z następującego faktu: jeśli całka z funkcji f po dowolnym przedziale [a, b] jest nieujemna, to funkcja f jest nieujemna: f(x)³ 0 dla każdego x

(3)  co jest bezpośrednią konsekwencją definicji całki oznaczonej.

Stwierdzenie 2

Dla ciągłej zmiennej losowej o dystrybuancie F zachodzi

     P(a<X<b) = P(a<X£ b) = P(a£ X<b) = P(a£ X£ b) = F(b)- F(a).

Dowód

Z (3) P(X=b) = P(X=a) = 0. Zatem dołączenie lub usunięcie brzegu przedziału nie wpływa na wartość prawdopodobieństwa, np.

[a, b] = (a, b) È {a} È {b} pociąga, że

P(a£ X£ b) = P(a<X£ b) + P(X=a) = P(a<X<b) + P(X=a) +P(X=b).

Zatem fakt, że F(b)- F(a) = P(a<X£ b) oraz (3) i własności prawdopodobieństwa kończą dowód.

Uwaga

Funkcja gęstości określa rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej, tzn. wszystkie prawdopodobieństwa zdarzeń {sΠS:X(s)ΠB}={XΠB}:

gdzie BÌ (- ¥, ¥) jest dowolnym podzbiorem zbioru wartości ciągłej zmiennej losowej X.

Przykład

Dla jakiej wartości stałej A funkcja

jest gęstością zmiennej losowej?

Na mocy stwierdzenia 1 gęstość f musi spełniać:

(1) f(x)³0. Stąd A³0.  Ponadto (2)

Z (1) i (2) otrzymujemy A = 3.

Twierdzenie

Jeśli gęstość zmiennej losowej X jest funkcją ciągłą, to dla każdego x zachodzi

     F¢ (x) = f(x).

Dowód

Wykorzystujemy własność całki

Zatem: F¢ (x) = f(x).

Przykład

Zmienna losowa X ma gęstość

Znajdziemy dystrybuantę F(x), xÎ (- ¥, ¥).

Dystrybuanta F może być zatem zapisana w postaci

W szczególności możemy obliczyć wielkości:

P( X > 1) = 1 - P(X£ 1) = 1 - F(1) = 0,5,

Przykład

Niech gęstość f zmiennej losowej X ma postać

Znajdziemy:

  1. wartość stałej C,

  2. dystrybuantę F,

  3. P(X > 2),

  4. Prawdopodobieństwo warunkowe, że zmienna przyjmie wartość większą niż 0,2, jeśli wiadomo że przyjęła wartość większą niż 0,1.



  1. Z własności gęstości (2) w stwierdzeniu 1 mamy:

    Stąd C = 3/4.

  2. Niech x < 0. Wówczas

    Niech 0 £ x £ 1. Wówczas

    F(1) = P(X £ 1) = 1. Stąd F(x) = 1, dla x ³ 1, ponieważ dystrybuanta jest funkcją niemalejącą i ograniczoną z góry przez 1. Ostatecznie mamy

  3. Powyższy wynik możemy uzyskać szybciej wykorzystując definicję dystrybuanty:

    P(X > 0,2) = 1 - P(X £ 0,2) = 1 - F(0,2) = 1 - 0,152 = 0,848.

  4. = 0,848 / 0,92475 = 0,917.


 następny punkt »