« poprzedni punkt 


4. DWUWYMIAROWY ROZKŁAD NORMALNY

Poznamy teraz najważniejszy przykład zmiennej dwuwymiarowej ciągłej.

Zmienna losowa (X,Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny, jeśli ma gęstość postaci:

     

gdzie

     

- ¥ < x < ¥, - ¥ < y < ¥. Stałe s X, s Y, r spełniają warunki s X > 0, s Y > 0, - 1 £ r £ 1, a stałe m X i m Y są dowolne.

Notacja: (X,Y) ~ N(m X, m Y, s X, s Y, r).

Twierdzenie

Jeśli (X,Y) ~ N(m X, m Y, s X, s Y, r), to

(i) X ~ N(m X, s X), Y ~ N(m Y, s Y).

(ii) Cov(X,Y) = r.

(iii) X, Y są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy r = 0.

Zatem parametry rozkładu normalnego oznaczają kolejno: wartości oczekiwane pierwszej i drugiej współrzędnej, odchylenia standardowe pierwszej i drugiej współrzędnej oraz współczynnik korelacji między zmiennymi brzegowymi.

Twierdzenie

Zmienna losowa (X,Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa aX + bY ma rozkład normalny i a, b są dowolnymi stałymi.

Zadanie

Niech zmienna losowa X oznacza dzienną wartość sprzedaży (w setkach zł) dyskietek a zmienna losowa Y dzienną wartość sprzedaży papieru kserograficznego (w setkach zł). Wiadomo, że dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma rozkład normalny o parametrach: m X = 5, m Y = 6, s X = 0,5, s Y = 0,2, r = 0,1.

  1. Oblicz wartość średnią oraz wariancję łącznej wartości sprzedaży w ciągu 10 dni, jeśli wartości sprzedaży obu artykułów w kolejnych dniach są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach takich jak rozkład zmiennej (X,Y).
  2. Oblicz prawdopodobieństwo, że łączna wartość sprzedaży w ciągu 10 dni przekroczy 10000 zł.

Rozwiązanie

  1. Łączna wartość sprzedaży:

    S10 = (X1 + Y1) + ... + (X10 + Y10).

    E(S10) = 10´ [E(X) + E(Y)] = 10 (5 + 6) = 110 (w setkach zł.)

    Średnia łączna wartość sprzedaży to 11000 zł.

    Var(S10) = 10 ´ Var(X +Y) = 10 ´ [Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)] = 10 (0,52 + 0,22 + 2´ 0,1´ 0,5´ 0,2) = 30 (1002 zł.)

    Na mocy twierdzenia S10 ma rozkład normalny ze średnią 110 i wariancją 30.

    Uwaga: Uzasadnienie równości Var(S10) = 10 ´ Var(X +Y) znajdziemy w wykładzie IX.

  2. .

    Zatem po standaryzacji

         

    skąd

    = P(Z > - 1,8275) = 1 - F (- 1,8275) = 1 - [1 - F (1,8275)] = F (1,8275) = 0,966.


« poprzedni punkt