« poprzedni punkt  następny punkt »


2. WSKAŹNIKI POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA DLA CIĄGŁYCH ZMIENNYCH LOSOWYCH

Definicja

Wartością średnią (oczekiwaną) ciągłej zmiennej losowej X mającej gęstość f nazywamy liczbę

     

pod warunkiem, że istnieje całka

     

W przeciwnym przypadku mówimy, że nie istnieje wartość oczekiwana zmiennej losowej.

Przykłady

Definicja

Niech X będzie ciągłą zmienną losową o gęstości f, a h funkcją określoną na zbiorze wartości X. Wówczas wartością oczekiwaną (średnią) zmiennej losowej Y=h(X) nazywamy liczbę

     

jeśli istnieje całka

     

Stwierdzenie

Dowód

Y = h(X) = aX+b.

Pytanie kontrolne

Zmienna losowa X ma gęstość

Oblicz E(X2+1).

Zobacz odpowiedź

Definicja

Wariancją ciągłej zmiennej losowej X o gęstości f nazywamy liczbę:

     

o ile całka istnieje.

Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X, oznaczanym symbolem s X, nazywamy pierwiastek z wariancji zmiennej X:

     

Uwaga

Z definicji wariancji oraz wartości oczekiwanej funkcji zmiennej losowej mamy wzór

który otrzymujemy dla h(s)=(s- m X)2, ), sÎ (- ¥, ¥).

Innym oznaczeniem wariancji zmiennej X jest symbol Var(X). Zatem

Twierdzenie

Jeśli ciągła zmienna losowa ma wariancję, to dla dowolnych liczb a, b zachodzi

     

Dowód

Przedostatnia równość wynika z definicji wartości oczekiwanej i liniowości całki.

Stwierdzenie (standaryzacja)

Jeśli zmienna losowa X ma wartość średnią m X oraz wariancję s X to standaryzowana zmienna losowa Z ma wartość średnią 0 i wariancję 1.

Dowód


« poprzedni punkt  następny punkt »