« poprzedni punkt 


3. WYKRESY KWANTYLOWE

Niech X ~ N(m, s). Wówczas na podstawie stwierdzenia w sekcji 2.2

Niech xp oraz zp będą kwantylami rzędu p gęstości cech X oraz Z, odpowiednio. Zatem:

(ze wzoru na całkowanie przez podstawienie, podstawiamy (xp - m) / s = zp)

Z równości (1) i (2) otrzymujemy

Gęstość normalna j (z) > 0, zÎ (- ¥, ¥). Zatem górne granice dwóch ostatnich całek są sobie równe:

     

Równoważnie:

     

Stąd dla p = i/n, i=1,2,...,n- 1, mamy xi/n = m + s ´ zi/n.

Niech

     

będą uporządkowanymi elementami próbki x1, x2, ... , xn (x(i)= xi:n ), i = 1,..,n). Dla dużego n mamy

gdyż częstość obserwacji w próbce nie większych od xi:n wynosi w przybliżeniu i/n.

Stąd punkty wykresu kwantylowego

są bliskie punktom

które leżą na prostej

     

gdyż xp = m + s ´ zp, p = i/n, i=1,2,...,n- 1.

Zatem punkty wykresu kwantylowego są położone blisko prostej x = m + s ´ z, przy założeniu, że elementy próbki są obserwacjami cechy o rozkładzie normalnym N(m, s), otrzymywanymi niezależnie, oraz n jest duże.

Stąd też, jeśli punkty wykresu kwantylowego nie układają się wzdłuż pewnej prostej, to podejrzewamy, że cecha nie ma gęstości normalnej.

Rysunek 2.7 przedstawia wykres kwantylowy dla próbki o liczności 100 otrzymanej z populacji, której cecha ma rozkład N(0,1).

Rys. 2.7. Wykres kwantylowy dla próbki o liczności 100 z populacji, której cecha ma rozkład N(0,1).


« poprzedni punkt