« poprzedni punkt 


6. NIEZALEŻNOŚĆ ZMIENNYCH LOSOWYCH

Definicja

Niech (X, Y) będzie parą zmiennych losowych o rozkładzie określonym przez funkcję f(x,y) będącą funkcją prawdopodobieństwa łącznego lub gęstością. Zmienne losowe X, Y są niezależne, jeśli

      f(x,y) = fX(x) fY(y),

dla wszystkich wartości x, y. Zmienne X i Y, które nie są niezależne nazywamy zależnymi zmiennymi losowymi.

Zauważmy, że definicja niezależności zmiennych jest w pełni zgodna z wprowadzoną poprzednio definicją niezależności zdarzeń. Niech na przykład X, Y - liczby oczek w dwóch niezależnych rzutach kostką. Łatwo sprawdzić, że f(x,y) = 1/36 dla 1 £ x, y £ 6 i fX(x) = 1/6 dla 1 £ x £ 6 i fY(y) = 1/6 dla 1 £ y £ 6. Zatem f(x,y) = fX(x) fY(y) dla wszystkich (x,y), czyli X, Y są niezależne.

Twierdzenie

Poniższe warunki są równoważne:

(i) Zmienne losowe X, Y są niezależne.

(ii) f(x|y) = fX(x),   ¥ < x < ¥, dla wszystkich y takich, że fY(y) > 0.

(iii) f(y|x) = fY(y),   ¥ < y < ¥, dla wszystkich x takich, że fX(x) > 0.

(iv) F(x,y) = FX(x) FY(y),  x,y Î (- ¥, ¥ ).

Zwróćmy uwagę na intuicyjność warunków (ii) i (ii) mówiących, że zmienne losowe X i Y są niezależne, gdy rozkłady brzegowe f(x|y) i f(y|x) nie zależą od warunkowania i x odpowiednio. Zatem, gdy pewna cecha rozkładu warunkowego f(x|y) np. zakres zmienności istotnie zależy od y, to zmienne X i Y nie mogą być niezależne.

Przykład (kontynuacja)

Czy liczby punktów uzyskane w I i II etapie teleturnieju przez losowo wybranego uczestnika są niezależnymi zmiennymi losowymi?

         y

      x

     0

     1

     2

     

      
     fX(x)

      0

     0,5

     0,05

     0,01

     0,56

      1

     0,2

     0,1

     0,06

     0,36

      2

     0,02

     0,03

     0,03

     0,08

      fY(y)

     0,72

     0,18

     0,1

     0,03

fX (0) = f(0,0) + f(0,1) + f(0,2) = 0,5 + 0,05 + 0,01 = 0,56.

fY (0) = f(0,0) + f(1,0) + f(2,0) = 0,5 + 0,2 + 0,02 = 0,72.

Stąd f(0,0) = 0,5 ¹ 0,56 ´ 0,72 = fX(0) fY(0).

Zmienne losowe X, Y nie są niezależne, zatem są zależne.

Przykład (kontynuacja)

Czy X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, jeśli ich łączna gęstość ma postać:

Dla (x,y) Î [- 1,1] ´ [- 1,1]

fX(x) = (3x2 +1) / 4 oraz fY(y) = (3y2 +1) / 4,

     f(x,y) ¹ fX(x) fY(y).

Stąd X, Y są zależnymi zmiennymi losowymi.

Przykład

Czasy poprawnej pracy dwu podzespołów są niezależnymi zmiennymi losowymi X, Y o rozkładach wykładniczych z parametrami l 1, l 2, odpowiednio. Średnie czasy pracy podzespołów wynoszą 500 (godzin) i 600 (godzin). Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia takiego, że żaden podzespół nie ulegnie awarii przed upływem 800 godzin.

E(X) = 1 / l 1 = 500 (godz.),

E(Y) = 1 / l 2 = 600 (godz.).

Stąd l 1=1/500 (1/godz.), l 2=1/600 (1/godz.).

P(X ³ 800, Y ³ 800) = P(X ³ 800) P(Y ³ 800) =

Obliczmy teraz prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden z podzespołów będzie pracował co najmniej 800 godzin.

P(X ³ 800 lub Y ³ 800) = P(X ³ 800) + P(Y ³ 800) - P(X ³ 800, Y ³ 800) = 0,2019 + 0,2636 - 0,0532 = 0,4123.

Lub inaczej

P(X ³ 800 lub Y ³ 800) = 1 - P(X < 800 i Y < 800) =

= 1 - P(X < 800) P(Y < 800) = 1 - (1 - 0,2019)(1 - 0,2636) = 0,4123.

Zauważmy, że w przykładzie wyprowadziliśmy następujące związki, które sformułujemy jako twierdzenie.

Twierdzenie

Dla niezależnych zmiennych X i Y

     P(min(X,Y) ³ t) = P(X ³ t) × P(Y ³ t),

     P(max(X,Y) ³ t) = 1 - P(X < t) × P(Y < t).


« poprzedni punkt