« poprzedni punkt | następny punkt » |
Definicja
Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami m, s (s > 0), co zapisujemy X~ N(m,s), jeśli X ma gęstość postaci
Twierdzenie
Niech
Wówczas
Dowód
(a)
Obliczając całkę przy pomocy podstawienia y = (x - m) / s otrzymujemy
gdzie F (×) jest dystrybuantą rozkładu standardowego normalnego N(0, 1).
(b) j (z)=j (- z), skąd - zj (z) = - zj (- z), bo funkcja podcałkowa jest nieparzysta. Stąd obliczamy
Ponadto można wykazać, że s 2Z = 1.
Z własności wartości średniej i wariancji wynika (b), gdyż po lewej stronie ostatniej równości
Zatem mamy
czyli E(X)=m,
Stąd s 2X = s.
Zadanie
Niech X ~ N(5, 2), Y = 3 X + 6. Znajdziemy wartość średnią i wariancję zmiennej Y.
E(Y) = E(3X+6) = 3E(X) + 6 = 3´ 5 + 9 = 21.
Var(Y) = Var(3X+6) = 9 Var(X) = 9´ 22 = 36.
Ponadto Y ~ N(21, 6), co wynika z poniższego twierdzenia:
Twierdzenie
Jeśli X ~ N(m, s), Y = aX + b, to
Definicja
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1], co zapisujemy skrótowo U(0, 1), jeśli X ma gęstość postaci:
Wyznaczymy dystrybuantę zmiennej X.
Definicja
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a,b], co zapisujemy U(a,b), jeśli X ma gęstość
Łatwo obliczamy
Załóżmy, że dla ustalonego t > 0, zmienna losowa Xt jest liczbą zdarzeń określonego typu, które zajdą w przedziale [0, t]. Na przykład Xt może być liczbą klientów, którzy zgłoszą się do systemu masowej obsługi w okresie czasu [0, t] (bank, sieć komputerowa, centrala telefoniczna, ...).
Niech Xt ma rozkład Poissona P(lt). Wówczas czas oczekiwania na pierwsze zdarzenie jest zmienną losową T, taką że
Zmienna losowa T ma dystrybuantę
Zauważmy, że f(t)=F¢ (t), czyli dystrybuanta F(t) określona wzorem powyżej jest dystrybuantą zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym.
Obliczymy podstawowe wskaźniki sumaryczne.
Przykład
Czas oczekiwania na połączenie telefoniczne jest zmienną losową T o rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 10 (sek.). Jakie jest prawdopodobieństwo, że telefonująca osoba będzie czekała na połączenie nie krócej niż 5 i nie dłużej niż 10 (sek.).
m T = 1/l = 10. Stąd l = 0,1.
Pytanie kontrolne
Na wykresie gęstości zmiennej losowej T o rozkładzie wykładniczym z ostatniego przykładu zilustruj
Przykład
Czas oczekiwania na połączenie z pewną siecią teleinformatyczną jest zmienną losową X o wartości średniej 0,5 (minut) i mającą rozkład wykładniczy. Znajdź:
(a) medianę i dolny kwartyl czasu oczekiwania X.
(b) prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania będzie dłuższy niż 3 minuty, jeśli wiadomo, że po 1 minucie jeszcze nie otrzymano połączenia.
(a) Dystrybuanta i wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem l są postaci
F(x)=1- e-l x, x>0, E(X)=1/l.
Stąd l
Analogicznie
Stąd
(b)
Uwaga
Obliczone prawdopodobieństwo warunkowe nie zależy od t. Jest to tzw. własność braku pamięci rozkładu wykładniczego.
W zadaniu: l = 2, t+h=3, t=1. Stąd h=2.
P(X > 3 | X ³ 1) = e- 4.
(c) W jakim zakresie czasu znajduje się 10% najdłużej trwających oczekiwań na połączenie z siecią?
Dystrybuanta określa jednoznacznie rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, bo istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy funkcjami p i F (dla dyskretnej zmiennej losowej) oraz f i F (dla ciągłej zmiennej losowej).
Uwaga
Mediana lepiej charakteryzuje najbardziej typowe wartości zmiennej (częściej przyjmowane) niż wartość średnia w przypadku rozkładów niesymetrycznych (w znacznym stopniu).
Wartość średnia może nie istnieć, mediana istnieje zawsze.
Oprócz wariancji, inne stosowane wskaźniki rozproszenia zmiennej losowej X, to
Powyżej, qp oznacza kwantyl rzędu p zmiennej losowej X. Zatem qp jest rozwiązaniem równania
Własności wartości oczekiwanej i wariancji
« poprzedni punkt | następny punkt » |