następny punkt » |
Podstawowym wskaźnikiem położenia zmiennej losowej są wartość średnia i mediana.
Definicja
Wartością średnią ( wartością oczekiwaną) dyskretnej zmiennej losowej X o funkcji prawdopodobieństwa p(x), xÎ {x1, x2, ... }, nazywamy liczbę
W przypadku, gdy zmienna losowa przyjmuje skończoną liczbę różnych wartości x1, x2, ..., xk, powyższą sumę rozumiemy jako sumę k składników, wówczas
Oprócz m X używamy też oznaczeń E(X) lub m gdy wiemy, o którą zmienną losową chodzi.
Przykłady
m X = 0 ´ 1/8 + 1 ´ 3/8 + 2 ´ 3/8 + 3 ´ 1/8 = 12/8 =3/2.
Zauważmy, że wartość średnia równa 3/2 nie jest wartością przyjmowaną przez zmienną losową X, gdyż P(XÎ {0,1,2,3})=1.
W tym przykładzie wartość średnia zmiennej losowej X pokrywa się ze średnią próbkową , gdzie próbką jest zbiorowość wszystkich cech elementów populacji:
Aby obliczyć wartość średnią wygranej musimy najpierw znaleźć funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Wielkości skoków dystrybuanty są prawdopodobieństwami odpowiadających im wartości. Stąd
p(0) = P(X=0) = P(X£ 0) - P(X<0) = F(0) - F(0-) = 0,5,
p(100) = P(X=100) = P(X£ 100) - P(X<100) = F(100) - F(100-) = 0,25,
p(200) = P(X=200) = P(X£ 200) - P(X<200) = F(200) - F(200-) = 1 - 0,75 = 0,25.
Zatem m X = 0´ 0,5 + 100´ 0,25 + 200´ 0,25 = 75.
Pytanie kontrolne
Zmienna losowa X ma dystrybuantę F postaci
Oblicz m X.
Zobacz odpowiedźCzasem interesują nas zmienne losowe, które są funkcjami od zmiennych losowych, tzn. postaci Y=f(X), gdzie f jest funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze wartości zmiennej losowej X.
Przykład
W zależności od liczby wykonanych projektów informatycznych miesięczny dochód firmy (w tys. zł.) jest zmienną losową X mającą funkcję prawdopodobieństwa p określoną tabelą
x |
100 |
200 |
300 |
p(x) |
0,4 |
0,4 |
0,2 |
Dochód netto po odliczeniu podatku i innych kosztów jest zmienną losową Y = 0,9X - 20. Obliczymy średni miesięczny dochód netto, czyli m Y.
Zauważmy, że Y=f(X), gdzie f(x)=0,9x - 20. Funkcja f jest różnowartościowa. Zatem każdej wartości x przyjmowanej przez zmienną losową X odpowiada dokładnie jedna wartość y=0,9x- 20 zmiennej losowej Y. Zatem znajdujemy funkcję prawdopodobieństwa pY zmiennej Y
x |
100 |
200 |
300 |
y=0,9x- 20 |
70 |
160 |
250 |
p(x)=pY(y) |
0,4 |
0,4 |
0,2 |
m Y = 70´ 0,4 + 160´ 0,4 + 250´ 0,2 = 142.
Średni miesięczny dochód netto wynosi 142000 zł.
Pytanie kontrolne
x |
- 1 |
0 |
1 |
2 |
p(x) |
0,1 |
0,3 |
0,1 |
0,5 |
Znajdź pY - funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y=X2 oraz m Y.
Zobacz odpowiedźWartość średnią m Y=m f(X) zmiennej losowej Y=f(X), gdzie X jest dyskretną zmienną losową można obliczyć wykorzystując poniższe twierdzenie.
Twierdzenie
Jeśli X jest dyskretną zmienną losową o rozkładzie prawdopodobieństwa
(x1, p(x1)), (x2, p(x2)), ... , (xK, p(xK)),
a f: { x1, x2, ... , xK} ® R1 jest funkcją rzeczywistą, to zmienna losowa f(X) ma wartość średnią
gdzie K=¥, jeśli X przyjmuje nieskończoną przeliczalną liczbę wartości lub K=k, gdy X przyjmuje k różnych wartości.
Dowód
Jeśli f jest różnowartościowa, to wzór wynika z definicji wartości średniej dla zmiennej Y=f(X), ponieważ
W ogólnym przypadku trzeba wykorzystać własności prawdopodobieństwa.
Przykłady
Zatem wartość średnia Y nie istnieje w tym przykładzie.
Pytanie kontrolne
Zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa p określoną tabelą
x |
- 1 |
0 |
1 |
3 |
p(x) |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,6 |
Oblicz wartość średnią zmiennej losowej Y = 2X2 + 4.
Zobacz odpowiedź
Definicja
Poniższe przykłady ilustrują fakt, że mediana nie musi być jednoznacznie określona.
Przykłady
Medianą q0,5 zmiennej losowej X jest wartość 2, ponieważ
F(x) £ 0,5 dla x < 2,
F(x) ³ 0,5 dla x ³ 2.
Jest to jedyna mediana.
Medianą zmiennej X jest każda liczba z przedziału [2, 3]. Niech qÎ [2, 3]. Wówczas
F(x) £ 0,5 dla x < q,
F(x) ³ 0,5 dla x ³ q.
Zatem q = q0,5.
Liczba q większa niż 3 nie może być medianą, gdyż
F(x) > 0,5 dla 3 £ x < q.
Twierdzenie
Jeśli q0,5 = q0,5(X) jest medianą zmiennej losowej X, oraz a>0,
bÎ
(-
¥, ¥), to liczba aq0,5(X)+b jest medianą zmiennej losowej Y=aX+b.
Dowód
Jeśli a>0, to dla dowolnego xÎ (- ¥, ¥) zdarzenia {aX+b £ ax+b}, {X £ x} są tymi samymi zdarzeniami. Zatem, ponieważ dystrybuanta jest odpowiednim prawdopodobieństwem, mamy
FY(ax+b) = FX(x).
Wykorzystując definicję mediany zmiennej losowej Y widać, że liczba aq0,5(X)+b jest medianą zmiennej Y.
Wymienimy jeszcze raz zauważone własności wartości średniej i mediany.
Własności wartości średniej zmiennej losowej X:
Własności mediany zmiennej losowej X:
następny punkt » |