« poprzedni punkt 


3. ZMIENNA LOSOWA

W wielu praktycznych sytuacjach może nas nie interesować konkretny wynik doświadczenia losowego opisany zdarzeniem elementarnym sÎ S, ale pewna wartość liczbowa przyporządkowana temu wynikowi, oznaczmy ją przez X(s). Regułę (funkcję) X: S ® (- ¥, ¥ ) nazwiemy zmienną losową.

Definicja

Funkcję X określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych S, o wartościach rzeczywistych, nazywamy zmienną losową.

Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami, np. X, Y, Z.

Mówimy, że zmienna losowa X jest dyskretna, jeśli zbiór jej wartości {X(s), sÎS} jest skończony lub nieskończony przeliczalny.

Przykłady

Definicja

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F: (- ¥, ¥ ) ® [0,1], określoną wzorem
     F(x) = P({sÎ S: X(s)£ x}), xÎ (- ¥, ¥ ).

Stosujemy często skrócony zapis F(x) = P(X£ x).

Przykład 1

Załóżmy, że doświadczenie polega na wylosowaniu produktu z partii towaru o wadliwości p, tzn. p jest proporcją elementów wadliwych w badanej partii.

p = (liczba sztuk wadliwych) / (liczba wszystkich produktów w partii towaru).

Jeżeli każdy produkt ma jednakową szansę bycia wylosowanym, to prawdopodobieństwo wybrania produktu wadliwego wynosi p.

Niech n bedzie liczebnością partii towaru. Wówczas S = {s1,s2, ..., sn}, gdzie si oznacza i-ty produkt, i=1,...,n. Określmy zmienną losową

Zmienna losowa X przyjmuje tylko dwie wartości, 0 lub 1, oraz

P({sÎ S: X(s)=1}) = P(X=1) = p,

P({sÎ S: X(s)=0}) = P(X=0) = 1 - p.

Wyznaczymy dystrybuantę zmiennej losowej X.

Jeśli x < 0, to {X£ x} = Æ. Zatem P(X£ x) = 0.

Jeśli 0 £ x < 1, to {X£ x} = {X=0}. Zatem P(X£ x) = P(X=0) = 1 - p.

Jeśli x > 1, to {X£ x} = {X=0} È {X=1}.= S. Zatem P(X£ x) = P(S) = 1.

Reasumując

Przykład 2

Wybieramy losowo punkt s z przedziału S=[0,1], tzn. każdy punkt ma jednakową szansę bycia wybranym. Niech zmienna losowa X oznacza położenie losowo wybranego punktu, zatem
X(s)=s, sÎ [0,1]. Niech A będzie dowolnym przedziałem zawartym w S, AÌ S oraz niech P(A) będzie długością przedziału. Wówczas dla A=[0, x], 0<x£ 1 mamy

P(X£ x) = P( {sÎ S: X(s)£ x} ) = P( [0, x] ) = x.

Jeśli x<0, to P(X£ x) = P(Æ ) = 0.

Jeśli x=0, to P(X=0) = P({0}) = 0.

Jeśli x>1, to P(X£ x) = P([0, 1]) = 1.

Zatem dystrybuantą zmiennej losowej X jest funkcja

Zauważmy, że prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrany punkt leży w konkretnym przedziale zależy jedynie od jego długości, a nie od usytuowania w [0, 1]. Zatem jest to model doświadczenia, w którym (mówiąc nieprecyzyjnie) każdy punkt ma jednakową szansę bycia wybranym. Mówimy, że wylosowano punkt z przedziału [0, 1] zgodnie z rozkładem jednostajnym, lub równoważnie, że zmienna losowa X ma rozkład jednostajny.

Z definicji dystrybuanty F, jej wartości są prawdopodobieństwami zdarzeń szczególnej postaci. Korzystając z własności prawdopodobieństwa otrzymujemy

Stwierdzenie (własności dystrybuanty)

  1. 0 £ F(x) £ 1, xÎ (- ¥, ¥ ),

  2. F (- ¥) = 0, F(¥) = 1,

  3. F (x) £ F(y), jeśli x £ y,

  4. (Prawostronna ciągłość dystrybuanty)
    Dla xÎ (- ¥, ¥)

Dowód

(i) Prawdopodobieństwo zdarzenia jest zawsze liczbą z przedziału [0, 1].

(iii) Niech x £ y. Mamy (- ¥, y] = (- ¥, x] È (x, y],

P(X£ y ) = P( { X£ x } È { XÎ (x, y] }) = P( X £ x ) + P( x < X £ y ) ³ P( X £ x ).

Dowody (ii), (iv) pomijamy.

Pytanie kontrolne

Zmienna losowa X ma dystrybuantę F oraz znamy F(2)=0,5, F(1)=0,2.
Oblicz P(X>1) oraz P(1< X £ 2).

Zobacz odpowiedź

Wykorzystując własności prawdopodobieństwa i definicję dystrybuanty otrzymujemy

Stwierdzenie

Niech - ¥ < a < b < ¥. Wówczas

  1. P( a < X £ b ) = F(b) - F(a)
  2. P( a < X < b ) = F(b) - F(a) - P( X=b )
  3. P( a £ X £ b ) = F(b) - F(a) + P( X=a )
  4. P( a £ X < b ) = F(b) - F(a) + P( X=a ) - P( X=b )

Dowód

(1) (- ¥, b] = (- ¥, a] È (a, b],

P( X £ b ) = P( X £ a ) + P( a < X £ b ).

Stąd F(b) = F(a) + P( a < X £ b ), skąd (1).

(2) (a, b] = (a, b) È {b},

P( a < X £ b ) = P( a < X < b ) + P( X=b ), czyli z (1) mamy

F(b) - F(a) = P( a < X < b ) + P( X=b ),

(3) [a, b] = {a} È (a, b].

P( a £ X £ b ) = P( X=a ) + P( a < X £ b ) = P( X=a ) + F(b) - F(a)

(4) [a, b) = [a, b) È {b},

P( a £ X £ b ) = P( a £ X < b ) + P( X=b ).

Stąd oraz (3) otrzymujemy wzór (4).

Definicja

Przykład

Niech zmienna losowa X będzie liczbą orłów w dwukrotnym rzucie monetą. Zakładamy, że moneta jest symetryczna i rzuty są niezależne. Wyznaczymy funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, jej dystrybuantę oraz rozkład prawdopodobieństwa.

Określmy najpierw przestrzeń probabilistyczną naszego doświadczenia losowego. Niech 0 oznacza otrzymanie reszki, a 1 otrzymanie orła. Wówczas S = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}, a zmienna losowa X określona jest następująco:

s

(0,0)

(0,1)

(1,0)

(1,1)

X(s)

0

1

1

2

Zatem

p(0) = P(X=0) = P({(0,0)}) = 1/4

p(1) = P(X=1) = P({(0,0), (1,0)}) = 2/4 = 1/2

p(2) = P(X=2) = P({(1,1)}) = 1/4.

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest zbiorem {(0,¼), (1,½), (2,¼)}. Funkcja prawdopodobieństwa określona jest tabelą.

x

0

1

2

p(x)

1/4

1/2

1/2

Wyznaczymy dystrybuantę F(x), xÎ (- ¥, ¥).

Zatem

Zauważmy, że F jest funkcją schodkową.

Twierdzenie

Niech X będzie dyskretną zmienną losową, tzn. X : S ® {x1, x2, ... , xK}, gdzie K=¥ lub K=k jest liczbą różnych wartości zmiennej X, oraz niech p(xi)=P(X=xi), i=1,2, ... , K będzie funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, a F jej dystrybuantą. Wówczas

Dowód

Niech xÎ (- ¥, ¥ ).

gdzie wykorzystaliśmy fakt, że {X=xi}, i=1,2, ... ,K, wykluczają się oraz aksjomat prawdopodobieństwa (A3) mówiący, że prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykluczających się jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń.

Pytanie kontrolne

Rzucamy trzykrotnie monetą symetryczną. Rzuty są niezależne. Niech X będzie liczbą wyrzuconych orłów. Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa p oraz dystrybuantę F zmiennej losowej X.

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt