« poprzedni punkt | następny punkt » |
Definicja
Wartością średnią (oczekiwaną) ciągłej zmiennej losowej X mającej gęstość f nazywamy liczbę
pod warunkiem, że istnieje całka
W przeciwnym przypadku mówimy, że nie istnieje wartość oczekiwana zmiennej losowej.
Przykłady
jest gęstością, tzn. spełnia warunki (1), (2). Natomiast
Nie istnieje wartość oczekiwana zmiennej losowej X o gęstości f.
Istnieje całka
Zatem istnieje wartość oczekiwana m X zmiennej X oraz
Definicja
Niech X będzie ciągłą zmienną losową o gęstości f, a h funkcją określoną na zbiorze wartości X. Wówczas wartością oczekiwaną (średnią) zmiennej losowej Y=h(X) nazywamy liczbę
jeśli istnieje całka
Stwierdzenie
Dowód
Y = h(X) = aX+b.
Pytanie kontrolne
Zmienna losowa X ma gęstość
Oblicz E(X2+1).
Zobacz odpowiedź
Definicja
Wariancją ciągłej zmiennej losowej X o gęstości f nazywamy liczbę:
o ile całka istnieje.
Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X, oznaczanym symbolem s X, nazywamy pierwiastek z wariancji zmiennej X:
Uwaga
Z definicji wariancji oraz wartości oczekiwanej funkcji zmiennej losowej mamy wzór
który otrzymujemy dla h(s)=(s- m X)2, ), sÎ (- ¥, ¥).
Innym oznaczeniem wariancji zmiennej X jest symbol Var(X). Zatem
Dowód
Przedostatnia równość wynika z definicji wartości oczekiwanej i liniowości całki.
Stwierdzenie (standaryzacja)
Jeśli zmienna losowa X ma wartość średnią m X oraz wariancję s X to standaryzowana zmienna losowa Z ma wartość średnią 0 i wariancję 1.
Dowód
« poprzedni punkt | następny punkt » |