« poprzedni punkt  następny punkt »


3. PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE

Zajście jednego zdarzenia może wpływać na zajście innego zdarzenia. Zastanowimy się w jaki sposób określić prawdopodobieństwo P(B|A) zajścia zdarzenia B pod warunkiem, że zaszło zdarzenie A?

Niech przestrzeń zdarzeń elementarnych będzie skończona, a prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń elementarnych mają jednakowe prawdopodobieństwa. Zatem S = {s1, s2, ... , sM},
P({si}) = 1 / M, i=1,2, ... ,M. Niech A Ì S i B Ì S, oraz n(A), n(B), n(AÇ B) oznaczają liczności zdarzeń elementarnych sprzyjających odpowiednim zdarzeniom czyli liczności zbiorów
A, B, AÇ B. Intuicyjnie P(B|A) powinno w tym przypadku być równe stosunkowi n(AÇ B) do n(A).

W szczególności

Wyżej określone prawdopodobieństwo warunkowe uogólniamy na przypadek dowolnej przestrzeni probabilistycznej.

Definicja

Niech A Ì S i B Ì S, P(A) > 0. Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B pod warunkiem zajścia zdarzenia A dane jest wzorem

     

Przykład

Obliczono, że 70% studentów zdało egzamin z matematyki w czasie sesji, natomiast 30% zdało egzamin z matematyki i angielskiego. Jakie jest prawdopodobieństwo, że student, który zdał egzamin z matematyki, zdał również z angielskiego?

Niech A oznacza zdarzenie, że losowo wybrany student zdał matematykę, a B zdarzenie, że losowo wybrany student zdał angielski. Wówczas

Przykład

Rozważmy dwukrotny rzut monetą symetryczną. Obliczymy prawdopodobieństwo warunkowe, że w drugim rzucie wypadnie orzeł, jeśli wiadomo, że w pierwszym rzucie wypadł orzeł. Niech

S = {OO, OR, RO, RR},

A = {orzeł w I rzucie} = {OO, OR},

C = {orzeł w II rzucie} = {OO, RO}.

Wówczas

Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego otrzymujemy natychmiast twierdzenie.

Twierdzenie

Niech A Ì S i B Ì S oraz P(A) > 0 i P(B) > 0. Wówczas

     

Przykład (KM, str. 78, 81)

Urna zawiera 8 kul czerwonych i 4 białe. Losujemy 2 kule bez zwracania. Niech A = { 2 kule czerwone }, B = { 1 kula czerwona i 1 kula biała }. Zatem, ponieważ wylosowanie każdej kuli jest jednakowo prawdopodobne, obliczamy

Obliczenia znacznie uproszczą się przy zastosowaniu twierdzenia.

Niech Ci = { w i-tym ciągnieniu kula czerwona },

Bi = { w i-tym ciągnieniu kula biała}, i=1,2.

Uwaga

Niech A Ì S, P(A) > 0. Prawdopodobieństwo warunkowe obliczane pod warunkiem zajścia zdarzenia A spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa (A1)-(A3), jeśli zastąpimy S przez A:

  1. 0 £ P(B|A) £ 1, dla każdego zdarzenia B,

  2. P(A|A) = 1, P(Æ) = 0,

  3. Jeśli zdarzenia B1, B2, B3, ... wzajemnie się wykluczają, to

    P(B1È B2È B3È ...| A ) = P(B1| A) + P(B2| A) + P(B3| A) + ....

Na mocy ostatniego twierdzenia oraz łączności iloczynu zdarzeń otrzymujemy regułę wielokrotnego warunkowania:

P(A Ç B Ç C) = P[C Ç (A Ç B)] = P(C | A Ç B) P(A Ç B) = P(C | A Ç B) P(B | A) P(A).

Ogólnie dla k zdarzeń losowych mamy

Przykład

Niech

A1 = {losowo wybrany Polak uprawiał sport wyczynowo},

A2 = {losowo wybrany Polak ma problemy z kręgosłupem},

A3 = {losowo wybrany Polak ma problemy ze snem}.

Wiadomo, że

P(A1) = 0,05, P(A2 | A1) = 0,6, P(A3 | A1 Ç A2) = 0,65.

Obliczmy P(A1 Ç A2 Ç A3) = 0,65.

Na mocy reguły wielokrotnego warunkowania wynosi ono

P(A1) × P(A2 | A1) × P(A1 | A2 Ç A3) = 0,05 ´ 0,6 ´ 0,65 = 0,0195.


« poprzedni punkt  następny punkt »