« poprzedni punkt |
W wielu praktycznych sytuacjach może nas nie interesować konkretny wynik doświadczenia losowego opisany zdarzeniem elementarnym sÎ S, ale pewna wartość liczbowa przyporządkowana temu wynikowi, oznaczmy ją przez X(s). Regułę (funkcję) X: S ® (- ¥, ¥ ) nazwiemy zmienną losową.
Definicja
Funkcję X określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych S, o wartościach rzeczywistych, nazywamy zmienną losową.
Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami, np. X, Y, Z.
Mówimy, że zmienna losowa X jest dyskretna, jeśli zbiór jej wartości {X(s), sÎS} jest skończony lub nieskończony przeliczalny.
Przykłady
Zmienna losowa X jest liczbą sukcesów w n-krotnym powtórzeniu doświadczenia Bernoulliego. X jest dyskretną zmienną losową.
Definicja
Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F: (-
¥, ¥
) ®
[0,1], określoną wzorem
F(x) = P({sÎ
S: X(s)£
x}), xÎ
(-
¥, ¥
).
Stosujemy często skrócony zapis F(x) = P(X£ x).
Przykład 1
Załóżmy, że doświadczenie polega na wylosowaniu produktu z partii towaru o wadliwości p, tzn. p jest proporcją elementów wadliwych w badanej partii.
p = (liczba sztuk wadliwych) / (liczba wszystkich produktów w partii towaru).
Jeżeli każdy produkt ma jednakową szansę bycia wylosowanym, to prawdopodobieństwo wybrania produktu wadliwego wynosi p.
Niech n bedzie liczebnością partii towaru. Wówczas S = {s1,s2, ..., sn}, gdzie si oznacza i-ty produkt, i=1,...,n. Określmy zmienną losową
Zmienna losowa X przyjmuje tylko dwie wartości, 0 lub 1, oraz
P({sÎ S: X(s)=1}) = P(X=1) = p,
P({sÎ S: X(s)=0}) = P(X=0) = 1 - p.
Wyznaczymy dystrybuantę zmiennej losowej X.
Jeśli x < 0, to {X£ x} = Æ. Zatem P(X£ x) = 0.
Jeśli 0 £ x < 1, to {X£ x} = {X=0}. Zatem P(X£ x) = P(X=0) = 1 - p.
Jeśli x > 1, to {X£ x} = {X=0} È {X=1}.= S. Zatem P(X£ x) = P(S) = 1.
Reasumując
Przykład 2
Wybieramy losowo punkt s z przedziału S=[0,1], tzn. każdy punkt ma jednakową szansę bycia wybranym. Niech zmienna losowa X oznacza położenie losowo wybranego punktu, zatem
X(s)=s, sÎ
[0,1]. Niech A będzie dowolnym przedziałem zawartym w S, AÌ
S oraz niech P(A) będzie długością przedziału. Wówczas dla A=[0, x], 0<x£
1 mamy
P(X£ x) = P( {sÎ S: X(s)£ x} ) = P( [0, x] ) = x.
Jeśli x<0, to P(X£ x) = P(Æ ) = 0.
Jeśli x=0, to P(X=0) = P({0}) = 0.
Jeśli x>1, to P(X£ x) = P([0, 1]) = 1.
Zatem dystrybuantą zmiennej losowej X jest funkcja
Zauważmy, że prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrany punkt leży w konkretnym przedziale zależy jedynie od jego długości, a nie od usytuowania w [0, 1]. Zatem jest to model doświadczenia, w którym (mówiąc nieprecyzyjnie) każdy punkt ma jednakową szansę bycia wybranym. Mówimy, że wylosowano punkt z przedziału [0, 1] zgodnie z rozkładem jednostajnym, lub równoważnie, że zmienna losowa X ma rozkład jednostajny.
Z definicji dystrybuanty F, jej wartości są prawdopodobieństwami zdarzeń szczególnej postaci. Korzystając z własności prawdopodobieństwa otrzymujemy
Stwierdzenie (własności dystrybuanty)
Dowód
(i) Prawdopodobieństwo zdarzenia jest zawsze liczbą z przedziału [0, 1].
(iii) Niech x £ y. Mamy (- ¥, y] = (- ¥, x] È (x, y],
P(X£ y ) = P( { X£ x } È { XÎ (x, y] }) = P( X £ x ) + P( x < X £ y ) ³ P( X £ x ).
Dowody (ii), (iv) pomijamy.
Pytanie kontrolne
Zmienna losowa X ma dystrybuantę F oraz znamy F(2)=0,5, F(1)=0,2.
Oblicz P(X>1) oraz P(1< X £
2).
Wykorzystując własności prawdopodobieństwa i definicję dystrybuanty otrzymujemy
Stwierdzenie
Niech - ¥ < a < b < ¥. Wówczas
Dowód
(1) (- ¥, b] = (- ¥, a] È (a, b],
P( X £ b ) = P( X £ a ) + P( a < X £ b ).
Stąd F(b) = F(a) + P( a < X £ b ), skąd (1).
(2) (a, b] = (a, b) È {b},
P( a < X £ b ) = P( a < X < b ) + P( X=b ), czyli z (1) mamy
F(b) - F(a) = P( a < X < b ) + P( X=b ),
(3) [a, b] = {a} È (a, b].
P( a £ X £ b ) = P( X=a ) + P( a < X £ b ) = P( X=a ) + F(b) - F(a)
(4) [a, b) = [a, b) È {b},
P( a £ X £ b ) = P( a £ X < b ) + P( X=b ).
Stąd oraz (3) otrzymujemy wzór (4).
Definicja
Przykład
Niech zmienna losowa X będzie liczbą orłów w dwukrotnym rzucie monetą. Zakładamy, że moneta jest symetryczna i rzuty są niezależne. Wyznaczymy funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, jej dystrybuantę oraz rozkład prawdopodobieństwa.
Określmy najpierw przestrzeń probabilistyczną naszego doświadczenia losowego. Niech 0 oznacza otrzymanie reszki, a 1 otrzymanie orła. Wówczas S = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}, a zmienna losowa X określona jest następująco:
s |
(0,0) |
(0,1) |
(1,0) |
(1,1) |
X(s) |
0 |
1 |
1 |
2 |
Zatem
p(0) = P(X=0) = P({(0,0)}) = 1/4
p(1) = P(X=1) = P({(0,0), (1,0)}) = 2/4 = 1/2
p(2) = P(X=2) = P({(1,1)}) = 1/4.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest zbiorem {(0,¼), (1,½), (2,¼)}. Funkcja prawdopodobieństwa określona jest tabelą.
x |
0 |
1 |
2 |
p(x) |
1/4 |
1/2 |
1/2 |
Wyznaczymy dystrybuantę F(x), xÎ (- ¥, ¥).
Zatem
Zauważmy, że F jest funkcją schodkową.
Twierdzenie
Niech X będzie dyskretną zmienną losową, tzn. X : S ® {x1, x2, ... , xK}, gdzie K=¥ lub K=k jest liczbą różnych wartości zmiennej X, oraz niech p(xi)=P(X=xi), i=1,2, ... , K będzie funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, a F jej dystrybuantą. Wówczas
Dowód
Niech xÎ (- ¥, ¥ ).
gdzie wykorzystaliśmy fakt, że {X=xi}, i=1,2, ... ,K, wykluczają się oraz aksjomat prawdopodobieństwa (A3) mówiący, że prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykluczających się jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń.
Pytanie kontrolne
Rzucamy trzykrotnie monetą symetryczną. Rzuty są niezależne. Niech X będzie liczbą wyrzuconych orłów. Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa p oraz dystrybuantę F zmiennej losowej X.
Zobacz odpowiedź« poprzedni punkt |