« poprzedni punkt | następny punkt » |
Niech
będą dwiema niezależnymi prostymi próbami losowymi odpowiednio z rozkładów normalnych
Sytuacja 3.
Załóżmy, że znane są odchylenia standardowe s 1, s 2 w odpowiednich populacjach.
Średnie z obu prób losowych są niezależnymi zmiennymi losowymi odpowiednio o rozkładach normalnych
Z własności rozkładu normalnego wynika, że ma rozkład normalny. Obliczmy średnią i wariancję tego rozkładu.
Zatem dokonując standaryzacji (odejmując od jej wartość średnią i dzieląc przez odchylenie standardowe) otrzymamy
Postępując dokładnie tak samo jak w przypadku jednej próby (przedział ufności miał postać
otrzymamy przedział ufności dla m 1 - m 2 na poziomie ufności 1- a :
Sytuacja 4.
Załóżmy, że nieznane są odchylenia standardowe s1, s2. Konstrukcję przedziału ufności przeprowadzimy w szczególnym przypadku, gdy nieznane odchylenia standardowe są równe,
(przypominamy, że wariancje w obu populacjach są równe s2).
Podstawowym problemem jest skonstruowanie estymatora wariancji s2 na podstawie obu prób łącznie. W tym celu liczymy sumę kwadratów odchyleń od średniej próbkowej w pierwszej próbie
i dodajemy do analogicznej sumy dla drugiej próby
Otrzymujemy w ten sposób połączoną (ang. "pooled") sumę kwadratów. Estymator s2 otrzymamy dzieląc ją przez sumę liczności prób n1+n2 pomniejszoną o 2
(indeks p pochodzi od "pooled").
Na podstawie (3) odchylenie standardowe będziemy szacować przez
Okazuje się, że jeśli we wzorze określającym Z zastąpimy s przez Sp otrzymamy statystykę
mającą rozkład Studenta z n1+n2- 2 stopniami swobody.
Analogicznie jak w modelu 3 otrzymujemy przedział ufności dla m 1 - m 2 na poziomie ufności 1- a :
gdzie:
jest kwantylem rzędu 1- a /2 rozkładu t Studenta z n1+ n2 −2 stopniami swobody.
Przykład
Dla realizacji 2 niezależnych prób losowych z rozkładów normalnych otrzymano:
Znajdziemy 90% przedział ufności dla różnicy wartości średnich tych rozkładów.
sp=7,249, a =0,1, 1- a /2=0,95, n1+n2-2=22 to liczba stopni swobody, t0,95, 22=1,717,
« poprzedni punkt | następny punkt » |