« poprzedni punkt  następny punkt »


2. ZMIENNE LOSOWE DYSKRETNE

Rozpatrzmy sytuację, gdy X i Y przyjmują co najwyżej przeliczalną liczbę wartości, tzn. są dyskretnymi zmiennymi losowymi. Aby wyznaczyć łączny rozkład tych zmiennych wystarczy podać P(X=x, Y=y), gdzie x i y są wartościami zmiennej X i odpowiednio Y.

Definicja

Funkcją prawdopodobieństwa (łącznego) dwuwymiarowej zmiennej losowej dyskretnej nazywamy funkcję

     f(x,y) = P(X=x, Y=y).

Własności funkcji prawdopodobieństwa f oraz jej związek z dystrybuantą podajemy w punktach (i) - (iv).

  1. f(x,y) ³ 0 dla dowolnej pary wartości (x,y),
  2. gdzie sumowanie odbywa się po wszelkich możliwych parach wartości zmiennych X i Y odpowiednio,

Przykład

W każdym z dwóch etapów teleturnieju można otrzymać 0, 1, lub 2 punkty. Niech zmienne losowe X, Y oznaczają odpowiednio liczby punktów uzyskane w etapie I i II przez losowo wybranego uczestnika. Funkcję prawdopodobieństwa łącznego określa tabela:

   y
x

     0

     1

     2

0

     0,5

     0,05

     0,01

1

     0,2

     0,1

     0,06

2

     0,02

     0,03

     ?

Prawdopodobieństwo P(X=x i Y=y) podane jest na przecięciu wiersza X=x i kolumny Y=y, na przykład P(X=1 i Y=0) = 0,2.

Znajdziemy:

  1. f(2,2) = P(X=2, Y=2),
  2. P(Y=2),
  3. F(1,1).

Rozwiązanie.

  1. Wiemy, że suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych do uzyskania par punktów wynosi 1.

         

    Stąd

    f(2,2) = 1 - (0,5 + 0,05 + 0,01 + 0,2 + 0,1 + 0,06 + 0,02 + 0,03) = 1 - 0,97 = 0,03.

  2. Sumując po trzeciej kolumnie tablicy rozkładu łącznego otrzymamy

          = f(0,2) + f(1,2) + f(2,2) = 0,01 + 0,06 + 0,03 = 0,1.

  3. F(1,1) = P(X £ 1, Y £ 1) = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) + f(1,1) = 0,5 + 0,05 + 0,2 + 0,1 = 0,85.


« poprzedni punkt  następny punkt »