« poprzedni punkt |
Definicja
Niech (X, Y) będzie parą zmiennych losowych o rozkładzie określonym przez funkcję f(x,y) będącą funkcją prawdopodobieństwa łącznego lub gęstością. Zmienne losowe X, Y są niezależne, jeśli
f(x,y) = fX(x) fY(y),
dla wszystkich wartości x, y. Zmienne X i Y, które nie są niezależne nazywamy zależnymi zmiennymi losowymi.
Zauważmy, że definicja niezależności zmiennych jest w pełni zgodna z wprowadzoną poprzednio definicją niezależności zdarzeń. Niech na przykład X, Y - liczby oczek w dwóch niezależnych rzutach kostką. Łatwo sprawdzić, że f(x,y) = 1/36 dla 1 £ x, y £ 6 i fX(x) = 1/6 dla 1 £ x £ 6 i fY(y) = 1/6 dla 1 £ y £ 6. Zatem f(x,y) = fX(x) fY(y) dla wszystkich (x,y), czyli X, Y są niezależne.
Twierdzenie
Poniższe warunki są równoważne:
(i) Zmienne losowe X, Y są niezależne.
(ii) f(x|y) = fX(x), ¥ < x < ¥, dla wszystkich y takich, że fY(y) > 0.
(iii) f(y|x) = fY(y), ¥ < y < ¥, dla wszystkich x takich, że fX(x) > 0.
(iv) F(x,y) = FX(x) FY(y), x,y Î (- ¥, ¥ ).
Zwróćmy uwagę na intuicyjność warunków (ii) i (ii) mówiących, że zmienne losowe X i Y są niezależne, gdy rozkłady brzegowe f(x|y) i f(y|x) nie zależą od warunkowania i x odpowiednio. Zatem, gdy pewna cecha rozkładu warunkowego f(x|y) np. zakres zmienności istotnie zależy od y, to zmienne X i Y nie mogą być niezależne.
Przykład (kontynuacja)
Czy liczby punktów uzyskane w I i II etapie teleturnieju przez losowo wybranego uczestnika są niezależnymi zmiennymi losowymi?
y |
0 |
1 |
2
|
|
0 |
0,5 |
0,05 |
0,01 |
0,56 |
1 |
0,2 |
0,1 |
0,06 |
0,36 |
2 |
0,02 |
0,03 |
0,03 |
0,08 |
fY(y) |
0,72 |
0,18 |
0,1 |
0,03 |
fX (0) = f(0,0) + f(0,1) + f(0,2) = 0,5 + 0,05 + 0,01 = 0,56.
fY (0) = f(0,0) + f(1,0) + f(2,0) = 0,5 + 0,2 + 0,02 = 0,72.
Stąd f(0,0) = 0,5 ¹ 0,56 ´ 0,72 = fX(0) fY(0).
Zmienne losowe X, Y nie są niezależne, zatem są zależne.
Przykład (kontynuacja)
Czy X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, jeśli ich łączna gęstość ma postać:
Dla (x,y) Î [- 1,1] ´ [- 1,1]
fX(x) = (3x2 +1) / 4 oraz fY(y) = (3y2 +1) / 4,
f(x,y) ¹ fX(x) fY(y).
Stąd X, Y są zależnymi zmiennymi losowymi.
Przykład
Czasy poprawnej pracy dwu podzespołów są niezależnymi zmiennymi losowymi X, Y o rozkładach wykładniczych z parametrami l 1, l 2, odpowiednio. Średnie czasy pracy podzespołów wynoszą 500 (godzin) i 600 (godzin). Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia takiego, że żaden podzespół nie ulegnie awarii przed upływem 800 godzin.
E(X) = 1 / l 1 = 500 (godz.),
E(Y) = 1 / l 2 = 600 (godz.).
Stąd l 1=1/500 (1/godz.), l 2=1/600 (1/godz.).
P(X ³ 800, Y ³ 800) = P(X ³ 800) P(Y ³ 800) =
Obliczmy teraz prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden z podzespołów będzie pracował co najmniej 800 godzin.
P(X ³ 800 lub Y ³ 800) = P(X ³ 800) + P(Y ³ 800) - P(X ³ 800, Y ³ 800) = 0,2019 + 0,2636 - 0,0532 = 0,4123.
Lub inaczej
P(X ³ 800 lub Y ³ 800) = 1 - P(X < 800 i Y < 800) =
= 1 - P(X < 800) P(Y < 800) = 1 - (1 - 0,2019)(1 - 0,2636) = 0,4123.
Zauważmy, że w przykładzie wyprowadziliśmy następujące związki, które sformułujemy jako twierdzenie.
Twierdzenie
Dla niezależnych zmiennych X i Y
P(min(X,Y) ³ t) = P(X ³ t) × P(Y ³ t),
P(max(X,Y) ³ t) = 1 - P(X < t) × P(Y < t).
« poprzedni punkt |