« poprzedni punkt  następny punkt »


3. PRZYKŁADY CIĄGŁYCH ZMIENNYCH LOSOWYCH

3.1. Zmienna losowa o rozkładzie normalnym

Definicja

Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami m, s (s > 0), co zapisujemy X~ N(m,s), jeśli X ma gęstość postaci

     

Twierdzenie

Niech

Wówczas

(a)    Z ~ N(0, 1).

Dowód

(a)

     

Obliczając całkę przy pomocy podstawienia y = (x - m) / s    otrzymujemy

gdzie F (×) jest dystrybuantą rozkładu standardowego normalnego N(0, 1).

(b) j (z)=j (- z), skąd - zj (z) = - zj (- z), bo funkcja podcałkowa jest nieparzysta. Stąd obliczamy

Ponadto można wykazać, że s 2Z = 1.

Z własności wartości średniej i wariancji wynika (b), gdyż po lewej stronie ostatniej równości

Zatem mamy

czyli E(X)=m,

Stąd s 2X = s.

Zadanie

Niech X ~ N(5, 2), Y = 3 X + 6. Znajdziemy wartość średnią i wariancję zmiennej Y.

E(Y) = E(3X+6) = 3E(X) + 6 = 3´ 5 + 9 = 21.

Var(Y) = Var(3X+6) = 9 Var(X) = 9´ 22 = 36.

Ponadto Y ~ N(21, 6), co wynika z poniższego twierdzenia:

Twierdzenie

Jeśli X ~ N(m, s), Y = aX + b, to

     


3.2. Zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym

Definicja

Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1], co zapisujemy skrótowo U(0, 1), jeśli X ma gęstość postaci:

Wyznaczymy dystrybuantę zmiennej X.

Definicja

Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a,b], co zapisujemy U(a,b), jeśli X ma gęstość

Łatwo obliczamy

     


3.3. Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym

Załóżmy, że dla ustalonego t > 0, zmienna losowa Xt jest liczbą zdarzeń określonego typu, które zajdą w przedziale [0, t]. Na przykład Xt może być liczbą klientów, którzy zgłoszą się do systemu masowej obsługi w okresie czasu [0, t] (bank, sieć komputerowa, centrala telefoniczna, ...).

Niech Xt ma rozkład Poissona P(lt). Wówczas czas oczekiwania na pierwsze zdarzenie jest zmienną losową T, taką że

Zmienna losowa T ma dystrybuantę

Definicja

Zmianna losowa T ma rozkład wykładniczy, jeśli ma gęstość postaci:

Zauważmy, że f(t)=F¢ (t), czyli dystrybuanta F(t) określona wzorem powyżej jest dystrybuantą zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym.

Obliczymy podstawowe wskaźniki sumaryczne.

Przykład

Czas oczekiwania na połączenie telefoniczne jest zmienną losową T o rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 10 (sek.). Jakie jest prawdopodobieństwo, że telefonująca osoba będzie czekała na połączenie nie krócej niż 5 i nie dłużej niż 10 (sek.).

m T = 1/l = 10. Stąd l = 0,1.

Pytanie kontrolne

Na wykresie gęstości zmiennej losowej T o rozkładzie wykładniczym z ostatniego przykładu zilustruj P(5£ T£ 10).

Zobacz odpowiedź

Przykład

Czas oczekiwania na połączenie z pewną siecią teleinformatyczną jest zmienną losową X o wartości średniej 0,5 (minut) i mającą rozkład wykładniczy. Znajdź:

(a) medianę i dolny kwartyl czasu oczekiwania X.

(b) prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania będzie dłuższy niż 3 minuty, jeśli wiadomo, że po 1 minucie jeszcze nie otrzymano połączenia.

(a) Dystrybuanta i wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem l są postaci

F(x)=1- e-l x, x>0, E(X)=1/l.

Stąd l

Analogicznie

Stąd

(b)

Uwaga

Obliczone prawdopodobieństwo warunkowe nie zależy od t. Jest to tzw. własność braku pamięci rozkładu wykładniczego.

W zadaniu: l = 2, t+h=3, t=1. Stąd h=2.

P(X > 3 | X ³ 1) = e- 4.

(c) W jakim zakresie czasu znajduje się 10% najdłużej trwających oczekiwań na połączenie z siecią?

Dystrybuanta określa jednoznacznie rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, bo istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy funkcjami p i F (dla dyskretnej zmiennej losowej) oraz f i F (dla ciągłej zmiennej losowej).

Uwaga

Mediana lepiej charakteryzuje najbardziej typowe wartości zmiennej (częściej przyjmowane) niż wartość średnia w przypadku rozkładów niesymetrycznych (w znacznym stopniu).

Wartość średnia może nie istnieć, mediana istnieje zawsze.

Oprócz wariancji, inne stosowane wskaźniki rozproszenia zmiennej losowej X, to

Odchylenie standardowe:

Odchylenie przeciętne:

Odstęp międzykwartylowy:

Współczynnik zmienności:

Powyżej, qp oznacza kwantyl rzędu p zmiennej losowej X. Zatem qp jest rozwiązaniem równania

Własności wartości oczekiwanej i wariancji

  1. E(c)=c,  c - dowolna stała.
  2. E(aX)=aE(X),  a - dowolna stała.
  3. E(X+b)=E(X)+b,  b - dowolna stała.
  4. E(X+Y)=E(X)+E(Y).
  5. X ³ Y Þ E(X) ³ E(Y).
  6. Var(X) ³ 0.
  7. Var(X) = 0 Û P(X=c) = 1.
  8. Var(aX) = a2 Var(X),  a - stała.
  9. Var(X+b) = Var(X).
  10. Var(X) = E(X2) - (E(X))2.

« poprzedni punkt  następny punkt »