« poprzedni punkt  następny punkt »


4. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA WARIANCJI ROZKŁADU NORMALNEGO

Zastanówny się teraz nad problemem, jak oceniać precyzję szacowania nieznanej wariancji s 2 za pomocą wariancji próbkowej s2.

Sytuacja 5 (przedział ufności dla wariancji).

Zaczniemy od definicji rozkładu (chi-kwadrat z n stopniami swobody), który wykorzystuje się do analizy zachowania s2.

Definicja

Niech X1, X2, ..., Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach N(0, 1). Wówczas zmienna losowa

     

ma rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody.

Notacja:

Rozkład ma gęstość prawdopodobieństwa przyjmującą wartości dodatnie tylko dla nieujemnych argumentów, średnia tego rozkładu wynosi n, a wariancja 2n.

Niech X1,X2,...,Xn będzie prostą próbą losową z rozkładu normalnego N(m,s), m, s są nieznane. Zauważmy, że po standaryzacji, zmienne losowe

są niezależne o rozkładach N(0, 1). Stąd

     

Okazuje się, że zastępując nieznaną wartość średnią m przez średnią z próby losowej nie zmieniamy typu rozkładu, a jedynie jego liczbę stopni swobody, która zmniejsza się o 1:

     

Stąd, ponieważ

     

gdzie

są kwantylami rzędu a /2, 1- a /2, odpowiednio, rozkładu .

Wzór (4) zapisujemy równoważnie obliczając odwrotności wyrażeń w nim występujących, zmieniając kierunki nierówności i mnożąc obie strony przez (n- 1 )S2:

     

Stąd, przedział ufności na poziomie ufności 1- a dla wariancji s 2 rozkładu normalnego ma postać

     

Przedział ufności dla odchylenia standardowego otrzymamy obliczając pierwiastki kwadratowe dla końców powyższego przedziału

     

Pytanie kontrolne

Zanotowano następujące czasy (w godz.) rozwiązania zadań w konkursie z programowania przez sześciu losowo wybranych uczestników konkursu:

     2,1, 2,7, 1,6, 1,8, 2,5, 1,9.

Znajdź 95% przedział ufności dla wariancji, zakładając rozkład normalny czasu rozwiązania zadań przez losowo wybranego uczestnika konkursu.

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »