« poprzedni punkt |
Poznamy teraz najważniejszy przykład zmiennej dwuwymiarowej ciągłej.
Zmienna losowa (X,Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny, jeśli ma gęstość postaci:
gdzie
- ¥ < x < ¥, - ¥ < y < ¥. Stałe s X, s Y, r spełniają warunki s X > 0, s Y > 0, - 1 £ r £ 1, a stałe m X i m Y są dowolne.
Notacja: (X,Y) ~ N(m X, m Y, s X, s Y, r).
Twierdzenie
Jeśli (X,Y) ~ N(m X, m Y, s X, s Y, r), to
(i) X ~ N(m X, s X), Y ~ N(m Y, s Y).
(ii) Cov(X,Y) = r.
(iii) X, Y są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy r = 0.
Zatem parametry rozkładu normalnego oznaczają kolejno: wartości oczekiwane pierwszej i drugiej współrzędnej, odchylenia standardowe pierwszej i drugiej współrzędnej oraz współczynnik korelacji między zmiennymi brzegowymi.
Twierdzenie
Zmienna losowa (X,Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa aX + bY ma rozkład normalny i a, b są dowolnymi stałymi.
Zadanie
Niech zmienna losowa X oznacza dzienną wartość sprzedaży (w setkach zł) dyskietek a zmienna losowa Y dzienną wartość sprzedaży papieru kserograficznego (w setkach zł). Wiadomo, że dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma rozkład normalny o parametrach: m X = 5, m Y = 6, s X = 0,5, s Y = 0,2, r = 0,1.
Rozwiązanie
S10 = (X1 + Y1) + ... + (X10 + Y10).
E(S10) = 10´ [E(X) + E(Y)] = 10 (5 + 6) = 110 (w setkach zł.)
Średnia łączna wartość sprzedaży to 11000 zł.
Var(S10) = 10 ´ Var(X +Y) = 10 ´ [Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)] = 10 (0,52 + 0,22 + 2´ 0,1´ 0,5´ 0,2) = 30 (1002 zł.)
Na mocy twierdzenia S10 ma rozkład normalny ze średnią 110 i wariancją 30.
Uwaga: Uzasadnienie równości Var(S10) = 10 ´ Var(X +Y) znajdziemy w wykładzie IX.
Zatem po standaryzacji
skąd
= P(Z > - 1,8275) = 1 - F (- 1,8275) = 1 - [1 - F (1,8275)] = F (1,8275) = 0,966.
« poprzedni punkt |