« poprzedni punkt  następny punkt »


3. TESTOWANIE HIPOTEZ O WARTOŚCI ŚREDNIEJ ROZKŁADU NORMALNEGO, GDY NIEZNANA JEST WARIANCJA

Metoda postępowania w tym przypadku jest dokładnie taka sama jak w przypadku znanej wariancji rozkładu. Jedyna zmiana polega na zastąpieniu odchylenia standardowego jego estymatorem w definicji statystyki Z i konsekwentnym uwzględnieniu zmiany jej rozkładu przy spełnionej hipotezie H0.

Niech X1, X2, ..., Xn będzie prostą próbą losową z rozkładu N(m,s), gdzie s jest nieznane.

H0: m = m 0.

Statystyka testowa:

     

Jeśli H0 jest prawdziwa, to T ~ tn-1. (Porównaj wykład 10).

Model 1. H0: m = m 0, H1: m < m 0.

Wówczas przyjmujemy C = {t: t £ - t1- a ,n-1} jako zbiór krytyczny testu hipotezy H0 przeciw H1 na poziomie istotności a, gdzie

     

a t1- a ,n-1 jest kwantylem rzędu 1- a rozkładu t-Studenta z n- 1 stopniami swobody.

Model 2. H0: m = m 0, H1: m > m 0.

Wówczas przyjmujemy C = {t: t t1- a ,n-1} jako zbiór krytyczny testu hipotezy H0 przeciw H1 na poziomie istotności a, gdzie

     

Model 3. H0: m = m 0, H1: m ¹ m 0.

Wówczas przyjmujemy C = {t: |t| ³ t1- a /2, n-1} jako zbiór krytyczny, gdzie

Zadanie

Producent twierdzi, że jego nowy model samochodu ma wartość średnią przebiegu nie wymagającą żadnej interwencji 30000 (km). W teście dla 4 losowo wybranych samochodów uzyskano następujące przebiegi nie wymagające żadnego serwisu: 29000, 30000, 27000, 31000. Czy producent zawyżył wartość średnią bezawaryjnego przebiegu? Przyjmij poziom istotności a =0,05 oraz rozkład normalny bezawaryjnego przebiegu.

Rozwiązanie:

1. H0: m = 30000,

2. H1: m < 30000.

3. Statystyka testowa:

     

4. a = 0,05, 1- a = 0,95, liczba stopni swobody = n - 1 = 4 - 1 = 3, t0,95, 3 = 2,353.

Obszar krytyczny C = {t: t £ - 2,353}

5. n=4, z obliczeń

     

stąd wartość statystyki testowej

     

6. - 0,799 > - 2,353, więc nie ma podstaw do odrzucenia H0 na poziomie istotności a = 0,05.

Odpowiedź: Na poziomie istotności a = 0,05 stwierdzamy, że nie można odrzucić twierdzenia producenta.

Definicja

Najmniejszy poziom istotności, przy którym zaobserwowana wartość statystyki testowej prowadzi do odrzucenia hipotezy zerowej nazywamy p-wartością przeprowadzonego testu.

Z definicji: p-wartość ≤ a <=> wartość statystyki testowej należy do C.

Na przykład w ostatnim zadaniu

     

Zatem p-wartość odpowiadająca wartości statystyki t = - 0,799 wynosi 0,241. Oczywiście znając p-wartość, jesteśmy w stanie podjąć decyzję na dowolnym poziomie istotności. Ponieważ 0,05 < 0,241 w przykładzie podejmujemy decyzję o nieodrzuceniu H0 na poziomie istotności 0,05.

Im mniejsza jest p-wartość, tym mocniejsze staje się przekonanie testującego o fałszywości hipotezy zerowej i prawdziwości hipotezy alternatywnej.

Podanie p-wartości niesie ze sobą więcej informacji niż samo podanie decyzji (odrzucenie H0 lub nie) na danym poziomie istotności. Dlatego wszystkie pakiety statystyczne podają p-wartość jako rezultat procesu testowania.


« poprzedni punkt  następny punkt »