Zadanie 1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) charakteryzuje losowo wybranego absolwenta pewnej uczelni technicznej. X oznacza ocenę na dyplomie, a Y liczbę zdanych egzaminów w I semestrze. Funkcję prawdopodobieństwa łącznego zmiennej (X,Y) określa tabela
y |
0 |
1 |
2 |
3 |
0,0 |
0,1 |
0,1 |
4 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
5 |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
a) Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że losowo wybrany absolwent ma na dyplomie ocenę 5, jeśli wiadomo, że w I semestrze zdał co najwyżej 1 egzamin.
b) Znajdź warunkową funkcję prawdopodobieństwa fX|Y(∙|1).
c) Znajdź funkcję prawdopodobieństwa zmiennej X.
Zadanie 2. Z talii 52 kart wylosowano jedną kartę. Niech X oznacza liczbę wylosowanych waletów, zaś Y liczbę wylosowanych trefli. Wyznacz rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej (X,Y).
Zadanie 3. Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y) ma postać
a) Wyznacz stałą C;
b) wyznacz dystrybuantę I>F(x,y);
c) wyznacz gęstości brzegowe fX(x) i fY(y);
d) czy zmienne X i Y są niezależne?
e) wyznacz gęstość warunkową fX|Y(x|y).
Zadanie 4. Rozwiąż zadanie 3 w przypadku, gdy gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y) jest równa C na zbiorze {(x,y): x2 + y2 ≤ 1 i x ≥ 0, y ≥ 0} i 0 poza nim.
Zadanie 5. Łączny czas pracy (X,Y) dwóch układów elektronicznych ma gęstość
a) Wyznacz P(X ≥ 3);
b) wyznacz P(czas pracy co najmniej jednego układu ≥ 3).