« poprzedni punkt 


3. PRZYKŁADY ROZKŁADÓW PRAWDOPODOBIEŃSTWA DYSKRETNYCH ZMIENNEYCH LOSOWYCH

3.1. ROZKŁAD DWUPUNKTOWY

Zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli przyjmuje tylko dwie wartości z dodatnimi prawdopodobieństwami

P(X=x1) = p, P(X=x2) = q, q=1- p, 0<p<1.

Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X określona jest tabelą:

x

x1

x2

p(x)

p

q

Wartość średnia i wariancja rozkładu dwupunktowego mają postać

m X = x1 p + x2 q,

Najprostszym przykładem rozkładu dwupunktowego jest rozkład zero-jedynkowy (rozkład Bernoulli'ego z prawdopodobieństwem sukcesu p).

Zmienna losowa ma rozkład zero-jedynkowy, jeśli

P(X=1) = p, P(X=0) = 1- p = q.

Wówczas

m X = 0 ´ (1- p) + 1 ´ p = p,

s 2X = 12 ´ p + 02 ´ (1- p) - p2 = p - p2 = p ´ q.

Mówimy, że zmienna losowa ma rozkład jednostajny na k punktach, powiedzmy x1, x2, ..., xk, jeśli

P(X=x1) = P(X=x2) = ... = P(X=xk) = 1/k.

Wówczas

Na przykład liczba oczek w rzucie kostką sześcienną ma rozkład jednostajny na zbiorze {1,2,3,4,5,6}.

Pytanie kontrolne

Zmienne losowe X i Y mają rozkłady jednostajne na zbiorach punktów {- 1, 0, 1} oraz {- 2, 0, 2}. Obliczyć wartości średnie i wariancje zmiennych X i Y.

Zobacz odpowiedź


3.2. ROZKŁAD DWUMIANOWY

Wykonujemy n niezależnych jednakowych doświadczeń Bernoulli'ego z prawdopodobieństwem sukcesu p (w każdym doświadczeniu możliwy sukces z prawdopodobieństwem p lub porażka z prawdopodobieństwem 1-p). Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X będącej liczbą sukcesów ma postać

m X = np, s 2X = np(1- p).

Uzasadnienie: Jako przestrzeń zdarzeń elementarnych przyjmujemy S = {s=(x1, x2, ... , xn): xi Î {0, 1}}, gdzie 1 oznacza sukces, a 0 porażkę. Wówczas dla zdarzenia elementarnego s=(x1, x2, ... , xn) liczbą sukcesów jest

Dla dowolnego k=0, 1, ... , n, liczba zdarzeń elementarnych s, dla których

wynosi

gdyż tyle jest ciągów n-elementowych o wyrazach 0 lub 1, mających dokładnie k wyrazów równych 1. Stąd też

Zatem rozkładem dwumianowym z parametrami n i p, pÎ (0,1), nazywamy zbiór par (k, b(k; n, p)), k=0,1,..., n. Jeśli zmienna losowa ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, to zapisujemy ten fakt symbolicznie:

X ~ Bin(n, p).

Przykłady

Pytanie kontrolne

Urządzenie składa się z 14 identycznych pracujących niezależnie podzespołów. Ulegnie ono awarii, jeśli co najmniej 3 podzespoły będą niesprawne. Prawdopodobieństwo awarii podzespołu wynosi 0,1. Oblicz prawdopodobieństwo awarii urządzenia.

Zobacz odpowiedź


3.3. ROZKŁAD POISSONA

Niech Xt oznacza liczbę zdarzeń określonego typu w przedziale czasu [0, t]. Xt+D - Xt jest wówczas liczbą zdarzeń, które zaszły w przedziale (t, t+D). Załóżmy, że

gdzie o(D)/D ® 0, gdy D ® 0.

Przyjmijmy ponadto, że liczby zdarzeń w rozłącznych przedziałach czasu [0,w), [w, t] są niezależne. Zatem prawdopodobieństwom że w dowolnym przedziale czasu o długości D zajdzie jedno zdarzenie jest w przybliżeniu równe l × D, natomiast prawdopodobieństwo tego, że w tym przedziale czasu nie zajdzie żadne zdarzenie jest w przybliżeniu równe 1- l × D. Można pokazać, że wówczas

Mówimy, że Xt ma rozkład Poissona z parametrem l t.

Przykładami zmiennych Xt są: liczba klientów zgłaszających się do systemu obsługi, liczba cząstek emitowanych przez substancję radioaktywną.

Definicja

Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem l, l >0, jeśli

co zapisujemy symbolicznie: X ~ P(l).

Można udowodnić

Twierdzenie

Jeśli X ~ P(l), to m X = l, s 2X = l.

Własności rozkładu Poissona

Dowód

gdy n ® ¥, bo (1 - l /n)n ® e- l.

Przyjmuje się, że przybliżenie rozkładu dwumianowego przez rozkład Poissona można stosować, gdy n³ 50, p£ 0,01 i np£ 20.

Przykład

Prawdopodobieństwo znalezienia błędu typograficznego na dowolnie wybranej stronie w książce liczącej 400 stron wynosi 0,005. Przyjmując, że liczby błędów na poszczególnych stronach są niezależne oszacować prawdopodobieństwo, że w książce będzie dokładnie jedna strona z błędami.

Niech X oznacza liczbę stron z błędami. Wówczas X ~ Bin(400, 0,005),

b(1, 400, 0,005) » p(1, 400´ 0,005) = p(1, 2) = e- 2 (2)1 / 1! = 0,270670,

podczas gdy dokładna wartość b(1, 400, 0,005) wynosi 0,270669.

Okazuje się natomiast, że dla dużej wartości l rozkład Poissona P(l) można przybliżać rozkładem normalnym.

Rys. 5.1 Rozkłady Poissona dla różnych wartości l.

Przykład

Liczba awarii sprzętu komputerowego supermarketu w ciągu losowo wybranego kwartału jest zmienną losową X o rozkładzie Poissona o średniej l = 36. Jakie jest w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że w ciągu kwartału będzie co najwyżej 30 awarii?

gdzie F (z), zÎ (- ¥, ¥), jest dystrybuantą rozkładu N(0,1).


3.4. ROZKŁAD GEOMETRYCZNY

Liczba niezależnych doświadczeń Bernoulli'ego z prawdopodobieństwem sukcesu p wykonanych aż do momentu wystąpienia pierwszego sukcesu, oznaczamy ją przez T, ma rozkład geometryczny z parametrem p, tzn.

P(T=i) = g(i,p) = (1- p)i- 1 p, dla i=1, 2, ... .

Zatem zmienna losowa T jest czasem oczekiwania na pierwszy sukces w serii niezależnych jednakowych doświadczeń Bernoulli'ego. Wartość średnia i wariancja T wynoszą


« poprzedni punkt