« poprzedni punkt | następny punkt » |
W dalszym ciągu tego wykładu omówimy niektóre zastosowania pochodnych funkcji. Na początek wprowadzimy definicje pojęć używanych w dalszym ciągu.
Definicja
Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Powiemy, że funkcja f jest na przedziale P:
Analogicznie definiuje się funkcję nierosnącą i funkcję malejącą.
Jeśli funkcja f jest niemalejąca albo rosnąca, albo nierosnąca, albo malejąca, to mówimy, że funkcja f jest monotoniczna.
Zastosujemy pochodne funkcji do badania jej monotoniczności.
Uwaga
Niech f będzie różniczkowalna w x0. Wówczas
Następne twierdzenie podaje warunki wystarczające monotoniczności funkcji.
Twierdzenie
Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale P i różniczkowalną w jego wnętrzu.
Wówczas
Dowód. Przykładowo udowodnimy punkt (1). Dowody pozostałych punktów są podobne. Niech a, b Î P, a < b. Zastosujmy Twierdzenie Lagrange'a do przedziału [a, b]. Mamy:
dla pewnego c Î (a, b) Ì P. Z założenia f' (c) > 0 i b - a > 0 , a zatem również f(b) - f(a) > 0.
Uwaga
Warunek (f' (x) > 0 dla każdego x Î Int P) nie jest warunkiem koniecznym na to, aby funkcja f była rosnąca na P.
Przykład
Weźmy funkcję f(x) = x3.Wiadomo, że jest to funkcja rosnąca w R, ale f' (x) = 3x2 czyli f' (x) ³ 0.
Warunek konieczny i dostateczny na to, aby funkcja była rosnąca na przedziale P podaje następujące
Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale P, różniczkowalna we wnętrzu P, to funkcja f jest rosnąca w przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki
Przykład
Funkcja f(x) = x- sin x jest rosnąca w przedziale P = (-¥, ¥ ).
Rzeczywiście jest ona ciągła w przedziale P oraz f' (x) = 1-cos x ³ 0 dla każdego xÎ IntP = P, przy czym funkcja f' nie jest tożsamościowo równa zero w żadnym niepustym przedziale otwartym zawartym w P.
« poprzedni punkt | następny punkt » |