« poprzedni punkt  następny punkt »


3. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Definicja

Mówimy, że funkcja f jest:

  1. ciągła w punkcie x0 , jeśli istnieje otoczenie O(x0) punktu x0 zawarte w dziedzinie Df oraz

    .

  2. prawostronnie ciągła w punkcie x0, jeśli istnieje prawostronne otoczenie punktu x0 zawarte w dziedzinie Df oraz

    .

  3. lewostronnie ciągła w punkcie x0, jeśli istnieje lewostronne otoczenie punktu x0 zawarte w dziedzinie Df oraz

    .

Przykład

Funkcja f(x) = 2x+1 jest ciągła w każdym punkcie.

Ciągłość funkcji f wynika z tego, że gdy ciąg (xn) jest zbieżny do liczby x0, to również ciąg (f(xn))=2xn+1 jest zbieżny do f(x0)=2x0+1 .

Gdy funkcja jest określona różnymi wzorami na prawo i na lewo od punktu x0 , to jej ciągłość w tym punkcie badamy stosując:

Twierdzenie

Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy istnieją obie jej granice jednostronne w x0 i ponadto

Przykład

Funkcja sgnx jest ciągła w każdym punkcie x0 > 0, bo

Podobnie funkcja sgnx jest ciągła w każdym punkcie x0 < 0. Natomiast nie jest ona ani prawostronnie ani lewostronnie ciągła w punkcie x0 = 0, gdyż

Przykład

Twierdzenie

Jeżeli funkcje f oraz g są ciągłe w punkcie x0 to funkcje:

  1. f + g, f - g

  2. fg

  3. af oraz af + bg , gdzie a,b Î R

  4. f/g (o ile g(x0) ¹ 0)

też są ciągłe w x0.

Analogiczne twierdzenie pozostaje prawdziwe dla funkcji jednostronnie ciągłych w x0.

Twierdzenie (o ciągłości złożenia)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 oraz funkcja g jest ciągła w punkcie f(x0), to funkcja złożona g(f(x)) jest ciągła w punkcie x0.

Definicja

Jeśli P jest przedziałem o końcach a i b (domkniętym, jednostronnie domkniętym, otwartym), to przedział otwarty (a, b) nazywamy wnętrzem przedziału P i oznaczamy Int P.

Definicja

Niech P Ì Df będzie przedziałem.

Jeśli P jest przedziałem otwartym, to mówimy, że funkcja f jest ciągła na przedziale P wtedy gdy f jest ciągła w każdym punkcie przedziału P.

Jeśli P = [ a, b] to mówimy, że funkcja f jest ciągła na P wtedy i tylko wtedy gdy f jest prawostronnie ciągła w punkcie a , lewostronnie ciągła w punkcie b oraz ciągła w każdym punkcie przedziału otwartego Int P = (a, b).

Jeśli P = [ a, b) to mówimy, że funkcja f jest ciągła na P wtedy i tylko wtedy gdy f jest prawostronnie ciągła w punkcie a oraz ciągła w każdym punkcie przedziału otwartego Int P = (a, b). Podobnie definiujemy ciągłość funkcji f na przedziale (a,b].

Poniższe twierdzenie mówi, że wiele z funkcji jest ciągłych.

Twierdzenie

Każda funkcja elementarna jest ciągła na każdym przedziale zawartym w swojej dziedzinie.

Mówiąc nieco nieściśle twierdzenie to mówi, że każda funkcja określona w całej dziedzinie jednym i tym samym wzorem w którym występują tylko stałe, funkcje potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne oraz cyklometryczne i ewentualnie operacja składania funkcji lub działania arytmetyczne jest ciągła.

Natomiast, jeśli na przykład funkcja jest określona różnymi wzorami na różnych przedziałach, to w końcach tych przedziałów może być nieciągła.

Przykład

Zbadajmy ciągłość funkcji

W przedziale (1, ¥ ) funkcja f(x) jest ciągła bo pokrywa się w nim z funkcją elementarną 1+4lnx która jest ciągła w każdym przedziale zawartym w swojej dziedzinie. Zatem f(x) jest ciągła w każdym punkcie przedziału (1, ¥ ).

Podobnie, ponieważ w przedziale (-¥ , 1] funkcja f(x) pokrywa się z funkcją elementarną x3 (która jest ciągła w każdym przedziale zawartym w swojej dziedzinie), to f(x) jest ciągła w każdym punkcie przedziału (-¥ , 1) oraz lewostronnie ciągła w punkcie 1.

Ponieważ

to f(x) jest prawostronnie ciągła w 1. Z lewostronnej i prawostronnej ciągłości f(x) w punkcie 1 wynika jej ciągłość w tym punkcie.

Przykład

Dla jakich wartości parametrów a, b funkcja

jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny?

Mamy Df = R. Ponieważ w przedziale otwartym (- ¥ , 1) funkcja f pokrywa się z funkcją elementarną arctg(1/ (1-x)) to funkcja f jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Podobnie funkcja f jest ciągła w każdym punkcie przedziału (1, ¥ ).

Aby funkcja f była ciągła potrzeba jeszcze, aby

Otrzymujemy układ równań

Stąd a=p /2, b=p /2.


« poprzedni punkt  następny punkt »