« poprzedni punkt  następny punkt »


2. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE RZĘDU DRUGIEGO O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH

Rozwiązywanie równania różniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu polega na wyznaczeniu CORJ, a następnie zastosowaniu metody uzmiennienia stałej, bądź przewidywań.

(Dla równań wyższych rzędów schemat postępowania jest taki sam.) W niniejszym wykładzie ograniczymy się do prezentacji ważnych w zastosowaniach równań o stałych współczynnikach.

Równanie liniowe jednorodne rzędu drugiego o stałych współczynnikach

Definicja

Równanie typu

y''+ py' + qy = 0,

gdzie p oraz q są stałymi nazywamy równaniem liniowym jednorodnym rzędu drugiego o stałych współczynnikach.

Jego rozwiązania poszukujemy w postaci

gdzie s dobieramy tak, by równanie było spełnione.

Po wyznaczeniu pochodnych i podstawieniu do równania dostajemy

Zatem równanie różniczkowe będzie spełnione dla każdego x wtedy i tylko wtedy, gdy s będzie pierwiastkiem otrzymanego równania kwadratowego.

Definicja

Równanie

nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego

Wielomian po lewej stronie równania charakterystycznego nazywamy wielomianem charakterystycznym.

Pierwiastki równania charakterystycznego są zdeterminowane wartością wyróżnika D = p2 - 4q.

Przypadek I (D > 0)

Równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste s1 i s2. Zatem każda z funkcji

jest rozwiązaniem równania różniczkowego. Funkcje te tworzą tzw. układ podstawowy całek równania, a to oznacza, że CORJ ma postać

gdzie C1 i C2 są dowolnymi stałymi.

Przypadek II (D = 0)

Równanie ma podwójny pierwiastek rzeczywisty s0. Można sprawdzić (wstawiając do równania), że oprócz funkcji

również funkcja

jest rozwiązaniem równania różniczkowego. Ponadto obie funkcje stanowią układ podstawowy całek, zatem CORJ ma w tym przypadku postać

gdzie C1 i C2 są dowolnymi stałymi.

Przypadek III (D < 0)

Równanie ma dwa różne pierwiastki zespolone, sprzężone s1 = a + ib oraz s2 =a - ib . Można wykazać, że CORJ ma w tym przypadku postać

gdzie C1 i C2 są dowolnymi stałymi.

Przykład

Rozwiążemy równania

Równanie liniowe niejednorodne rzędu drugiego o stałych współczynnikach

Definicja

Równanie postaci

y''+ py' + qy = f(x),

gdzie p oraz q są stałymi, zaś f(x) nie jest tożsamościowo równa zeru na przedziale (a, b), nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym rzędu drugiego o stałych współczynnikach.

Jak wspomnieliśmy wcześniej, schemat postępowania prowadzącego do znalezienia CORN jest analogiczny jak w przypadku równania liniowego rzędu pierwszego. W pierwszej kolejności wyznaczamy CORJ, a następnie metodą uzmiennienia stałej, bądź metodą przewidywań znajdujemy CORN. Zagadnienie Cauchy'ego rozwiązujemy dobierając stałe w CORN.

Przykład

Rozwiążemy zagadnienie Cauchy'ego

Z poprzedniego przykładu wiadomo, że CORJ ma postać

CSRN wyznaczymy metodą przewidywań, poszukując jej w postaci wielomianu stopnia drugiego tzn. y1 = Ax2 + Bx +C. Stąd y1''= 2A, i po wstawieniu do równania dostajemy

Równość ta będzie spełniona dla dowolnego x wtedy i tylko wtedy, gdy A = 1, B = 0, C = -2. Wówczas y1 = x2 - 2, i CORN ma postać

Stałe C1 i C2 wyznaczamy z warunków początkowych. Obliczamy pierwszą pochodną

i zapisujemy warunki początkowe

Stąd C2 = 2, C1 = 1 i całka szczególna spełniająca warunki początkowe ma postać


« poprzedni punkt  następny punkt »