następny punkt »


1. OKREŚLENIE SUMY CAŁKOWEJ I CAŁKI OZNACZONEJ RIEMANNA

Rozważmy przedział domknięty [a, b].

Definicja

Podziałem odcinka [a, b] na n części (podprzedziałów), gdzie nÎ N, nazywamy każdy zbiór punktów

Pn = { x0, x1, x2 , ..., xn }

spełniających warunek

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.

Długość podprzedziału [x k-1, x k], dla k=1,2,..., n, oznaczamy przez D xk, to znaczy

Definicja

Średnicą podziału Pn nazywamy liczbę

tj. długość najdłuższego z podprzedziałów [x k-1, x k].

Definicja

Ciąg podziałów (Pn) nazywamy normalnym, jeżeli

Przykłady

Rys. 9.1

Rys. 9.2

Niech f będzie funkcją ograniczoną na przedziale [a, b], zaś x k punktami spełniającymi warunek

x k-1 £ x k £ x k, 1≤ k ≤ n

Definicja

Sumę

nazywamy sumą całkową funkcji f na przedziale [a, b].

Zgodnie z przytoczonym wzorem każdy składnik sumy całkowej możemy interpretować jako pole prostokąta o podstawie D xk i wysokości f(ξk ), zaś suma całkowa jest sumą pól takich prostokątów. Na rys. 9.3 zacienione pola prostokątów reprezentują sumę całkową dla n = 3.

Rys. 9.3

Ciąg sum całkowych funkcji f zależy zatem od przyjętego ciągu podziałów (Pn) jak i od wyboru punktów ξk.

Definicja

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału [a, b] i dowolnego wyboru argumentów ξk, ciąg sum częściowych S(Pn ) ma tę samą granicę skończoną, to granicę tę nazywamy całką oznaczoną Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy symbolem

czyli

O funkcji f mówimy, że jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a, b] (lub krócej całkowalna, gdy z kontekstu wynika o jaką całkę chodzi).

Liczbę a nazywamy dolną, zaś b górną granicą całkowania.


 następny punkt »