« poprzedni punkt 


4. WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH

Zachowanie się ciągłości funkcji przy operacji brania funkcji odwrotnej opisuje

Twierdzenie (o ciągłości funkcji odwrotnej)

Jeżeli dziedzina Df funkcji f jest przedziałem oraz f jest rosnąca lub malejąca i ciągła, to

(a) zbiór wartości f(Df ) funkcji f jest przedziałem

(b) funkcja odwrotna f- 1 do funkcji f jest ciągła na swojej dziedzinie f(Df ).

Twierdzenie (Weierstrassa o przyjmowaniu kresów)

Jeśli funkcja f jest ciągła na domkniętym przedziale ograniczonym [a; b] to istnieją punkty c, d Î [a; b] takie, że

f(c) £ f(x) £ f(d) " x Î [a, b].

Twierdzenie to oznacza, że w zbiorze f( [a; b] ) wartości funkcji ciągłej f na przedziale [a; b] istnieje element najmniejszy f(c) oraz element największy f(d).

Definicja

Mówimy, że funkcja f jest ograniczona na zbiorze P Ì Df, jeśli zbiór f(P) jest ograniczony tj. istnieje liczba M taka, że f(P) Ì [- M, M].

Z twierdzenia Weierstrassa wynika, że funkcja ciągła na ograniczonym przedziale

domkniętym jest na nim ograniczona.

Definicja

Mówimy, że liczba r leży między liczbami p oraz q jeśli p < r < q lub q < r < p.

Twierdzenie (Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich)

Jeśli funkcja f jest ciągła na domkniętym przedziale ograniczonym [a, b] oraz

f(a) ¹ f(b), to dla dowolnego w leżącego między f(a) a f(b) istnieje punkt c Î [a; b] taki, że

f(c) = w.

Jak wskazuje poniższy przykład w powyższych twierdzeniach nie można odrzucić założenia ciągłości funkcji.

Przykład

Funkcja

jest nieciągła na przedziale [-1, 1] oraz: nie ma własności Darboux, nie przyjmuje swoich kresów a nawet jest nieograniczona.

Z twierdzenia Darboux wynika następujący

Wniosek

Jeśli funkcja f jest ciągła na domkniętym przedziale ograniczonym [a, b] oraz

f(a)f(b)<0 to istnieje punkt c Î (a, b) taki, że f(c) = 0.

Twierdzenie Darboux lub wniosek z niego są często używane do wykazania, że równanie ma pierwiastek w danym przedziale.

Przykład

Wykażemy, że równanie

ma co najmniej jeden pierwiastek w przedziale (0, p /2).

Funkcja

jest ciągła w przedziale [0, p /2] i ponadto

Z wniosku z twierdzenia Darboux wynika, że istnieje c Î (0, p/2) takie, że


« poprzedni punkt