« poprzedni punkt | następny punkt » |
Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), zaś g funkcją ciągłą i różną od zera na przedziale (c, d).
Definicja
Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie, które można przedstawić w postaci
![]() |
Twierdzenie
Jeżeli f jest funkcją ciągłą na przedziale (a, b), zaś g funkcją ciągłą i różną od zera na przedziale (c, d), to
![]() |
gdzie G jest funkcją pierwotną funkcji g na przedziale (c, d), zaś F funkcją pierwotną funkcji f na przedziale (a, b),
![]() |
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Z punktu a) tezy twierdzenia wynika, że wyznaczenie rozwiązania ogólnego równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych wymaga znalezienia całek nieoznaczonych funkcji f, oraz g. (Nie przypadkowo więc rozwiązywanie równań różniczkowych bywa nazywane całkowaniem).
W praktyce stosowne obliczenia wykonujemy w następujący sposób.
Procedura wyznaczania rozwiązania ogólnego równania o zmiennych rozdzielonych
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
gdzie G jest funkcją pierwotną funkcji g na przedziale (c, d), zaś F funkcją pierwotną funkcji f na przedziale (a, b).
Ostatnia równość zazwyczaj określa funkcję y w sposób uwikłany. Często się zdarza, że związku tego nie udaje się rozwikłać.
Przykład
Wyznaczymy całkę szczególną równania różniczkowego
spełniającą warunek początkowy y(0) = 0.
Rozdzielając zmienne i całkując obustronnie wyznaczamy całkę ogólną równania
Zatem funkcję y dało się wyznaczyć w sposób jawny.
Wyznaczamy całkę szczególną dla x = 0 i y = 0
Stąd C = 1 i całka szczególna spełniająca warunek początkowy y(0) = 0,
Przykład
Wyznaczymy krzywą całkową równania różniczkowego
przechodzącą przez punkt (1, 1).
Metodą rozdzielenia zmiennych wyznaczamy całkę ogólną równania
Rozdzielamy zmienne
Całkujemy obustronnie
Stąd
Całka ogólna jest jednoparametrową rodziną okręgów (a więc krzywych!) o równaniach
(półokręgi: górne - dla y>0 i dolne - dla y<0 , są wykresami funkcji spełniających to równanie różniczkowe).
Uwzględniając warunek początkowy y(1) = 1 dostajemy C = 2, zatem szukana krzywa całkowa jest opisywana równaniem
Przykład
Rozwiążemy zagadnienie Cauchy'ego
Metodą rozdzielenia zmiennych całkujemy równanie różniczkowe
Otrzymaliśmy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego, w którym poszukiwana funkcja y występuje w postaci uwikłanej (i związku tego nie da się rozwikłać).
Z przytoczonego twierdzenia wynika istnienie i jednoznaczność rozwiązania zagadnienia Cauchy'ego. Zatem wstawiając x = 1 i y = 2 do rozwiązania równania dostajemy
4 + ln2 = 1 + C, czyli C = 3 + ln2.
Rozwiązaniem zagadnienia Cauchy'ego jest więc funkcja określona w sposób uwikłany
Pytanie kontrolne 11.1
Rozwiąż zagadnienie Cauchy'ego
Do równań o zmiennych rozdzielonych można sprowadzić równania różniczkowe innych typów. Należą do nich równania jednorodne oraz równania postaci y' = f(ax + by + c).
« poprzedni punkt | następny punkt » |