« poprzedni punkt | następny punkt » |
Definicja (pochodna kierunkowa)
Niech f : D ® R, DÌ Rm, A = (a1,a2,..., am)Î IntD oraz niech v = (v1,v2,..., vm) będzie wektorem niezerowym. Pochodną kierunkową funkcji f w kierunku wektora v nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona)
oznaczaną
lub fv(A).
Przykład
Niech
Mamy
Uwaga 1
Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są szczególnym przypadkiem pochodnej kierunkowej. Dokładniej: jeśli ek=(0,...,0,1,0,...,0) (1 jest na k-tym miejscu) jest k-tym wektorem bazy kanonicznej Rm, to .
Rzeczywiście
Uwaga 2
Z istnienia wszystkich pochodnych kierunkowych funkcji f w punkcie A nie wynika ciągłość funkcji w A. Pokazuje to poniższy przykład.
Przykład
Niech .
Funkcja f nie jest ciągła w punkcie (0,0), bo
(por. definicję funkcji ciągłej).
Natomiast dla dowolnego wektora v=(v1,v2) ¹
(0,0) istnieje gdyż
Znajomość gradientu funkcji pozwala łatwo wyznaczyć jej pochodne kierunkowe.
Twierdzenie (wzór do obliczania pochodnej kierunkowej)
Niech D Ì
Rm oraz niech f : D ¾®
R będzie funkcją posiadającą pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu punktu A, ciągłe w A. Wtedy
dla dowolnego niezerowego wektora v Î
Rm.
Przykład
·
Wyznaczymy dla funkcji
, gdy A=(0,1,3), v=(-1,1,2).
Wiemy, że (pierwszy przykład po definicji gradientu). Zatem
.
·
Niech . Wyznaczmy
.
Mamy , zatem
. Stąd
.
« poprzedni punkt | następny punkt » |