« poprzedni punkt  następny punkt »


3. TWIERDZENIA O GRANICACH

Bezpośrednią konsekwencją definicji granicy ciągu jest poniższe stwierdzenie, które łatwo uzasadnimy, jeśli przypomnimy sobie interpretację (sens) granicy.

Stwierdzenie

Jeśli ciąg (an) jest zbieżny do granicy g, to każdy ciąg (bn) powstały z ciągu (an) poprzez usunięcie, dołączenie, lub zamianę skończonej liczby wyrazów jest zbieżny do granicy g.

Twierdzenie (o ograniczoności ciągu zbieżnego)

Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Dowód

Załóżmy, że ciąg (an) jest zbieżny do granicy g. Niech e = 1. Istnieje taka liczba natualna d, że dla n > d mamy ï an - gï < 1. Stąd oraz z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy dla n > d nierówności:

Przyjmując A = max {ï a1ï , ï a2ï , ..., ï ad ï ,1+ï gï } otrzymujemy

Twierdzenie (o zbieżności ciągu monotonicznego i ograniczonego)

Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

Zobacz dowód

Pytanie kontrolne 1.7

Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym wykaż, że zbieżny jest ciąg

Zobacz odpowiedź

Twierdzenie (o granicy podciągu)

Jeśli ciąg (an) jest zbieżny do granicy g, to każdy jego podciąg jest zbieżny do granicy g.

Pytanie kontrolne 1.8

Czy ciąg ( ( - 1 )n 2 ) jest zbieżny ?

Zobacz odpowiedź

Twierdzenie (o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów)

Jeżeli ciągi (an), (bn) są zbieżne oraz

to zachodzą wzory:

przy założeniu w ostatnim wzorze, że bn ¹ 0 dla każdego n oraz b ¹ 0.

Zobacz dowód

Jako wniosek ze wzoru 3 ostatniego twierdzenia na granicę iloczynu ciągów otrzymujemy:

Stwierdzenie

Dla dowolnej stałej c oraz ciągu zbieżnego (an)

Dowód

Wystarczy przyjąć bn = c oraz zastosować wzór 3 tezy twierdzenia, gdyż

, co jest bezpośrednią konsekwencją definicji granicy.

Uwaga

Wzor 1 (wzór 3) prawdziwy jest dla dowolnej liczby składników (czynników).

Przykłady

Twierdzenie (o trzech ciągach)

Jeśli an £ bn £ cn , dla wszystkich n większych od pewnego naturalnego n0, oraz

to

Zobacz dowód

Graficzna ilustracja twierdzenia o trzech ciągach.

Rys.1.5 Graficzna ilustracja twierdzenia o trzech ciągach

Przykład

Obliczymy granicę ciągu:

Z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że

Stwierdzenie

Zobacz dowód

Pytanie kontrolne 1.9

Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »