« poprzedni punkt  następny punkt »


2. GRANICA CIĄGU

Definicja

Liczbę g nazywamy granicą ciągu (an ), jeśli dla dowolnej liczby istnieje taka liczba naturalna d, że dla każdego n > d zachodzi nierówność

ï an - gï < e.

Fakt, że ciąg (an ) ma granicę g zapisujemy:

Przy pomocy kwantyfikatorów dla każdego: " " " oraz istnieje: " $ " możemy równoważnie zapisać definicję granicy ciągu:

Definicja

Interpretacja granicy ciągu

Granicą ciągu (an ) nazywamy taką liczbę g, w której dowolnie małym otoczeniu, dokładniej w przedziale ( g - e, g + e ) o długości równej 2e znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu, to znaczy poza być może skończoną liczbą jego elementów. Innymi słowy, dla wszystkich n > d ( d na ogół zależy od e ) wszystkie wyrazy ciągu znajdują się w przedziale ( g - e, g + e ), gdyż ï an - gï < e Û an Î ( g - e, g + e ).

Stąd, na wykresie ciągu punkty (n, an ), n > d, leżą w pasie o szerokości 2e, tzw. pasie epsilonowym. Rys. 1.4 ilustruje tę sytuację.

Rys. 1.4 Graficzna ilustracja granicy ciągu

Przykład

Udowodnimy, że

Niech dana będzie dowolnie ustalona liczba e > 0. Trzeba znaleźć taką liczbę naturalną d , że dla każdego n > d zachodzi nierówność:

Niech d będzie ustaloną liczbą naturalną większą niż 1/e, na przykład

gdzie E(1/e) oznacza największą liczbę całkowitą nie większą niż 1/e.

Wówczas, jeśli n > d, to

co należało pokazać.

Stwierdzenie

Jeśli 0 < ï q ï < 1, to

Zobacz dowód

Stwierdzenie

Jeśli a > 0, to

.

Zobacz dowód

Pytanie kontrolne 1.4

Korzystając z definicji granicy ciągu wykaż, że

Zobacz odpowiedź

Bezpośrednio z definicji granicy wynika stwierdzenie.

Stwierdzenie

W szczególności:

Zobacz dowód

Pytanie kontrolne 1.5

Wykorzystując stwierdzenie uzasadnij, że

Zobacz odpowiedź

Jeśli istnieje granica g ciągu (an ), to mówimy, że ciąg (an ) posiada (ma) granicę g lub też, że ciąg (an ) jest zbieżny do granicy g. Każdy ciąg, który ma granicę nazywamy ciągiem zbieżnym. Na przykład wiemy już, że zbieżne do zera są ciągi 1/n, qn , dla ô qô < 1. Ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę.

Każdy ciąg, który otrzymamy po usunięciu niektórych wyrazów z danego ciągu nazywamy podciągiem tego ciągu. Na przykład ciąg liczb parzystych jest podciągiem ciągu liczb naturalnych.

Nie zawsze istnieje granica ciągu. Ciąg nie posiadający granicy nazywamy rozbieżnym.

Pytanie kontrolne 1.6

Korzystając z definicji granicy wykaż, że ciąg (( - 1)n )nie posiada granicy.

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »