« poprzedni punkt  następny punkt »


3. RÓWNANIA JEDNORODNE

Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na nim warunek f(u) ¹u.

Definicja

Równaniem różniczkowym jednorodnym nazywamy równanie, które można zapisać w postaci

Równanie to za pomocą podstawienia

sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych.

Istotnie, różniczkując równość

dostajemy

Wstawiając do równania mamy

Rozdzielając zmienne otrzymujemy równanie

Po jego rozwiązaniu wracamy do wyjściowej funkcji y, podstawiając u=y/x.

Uwaga

Jeżeli warunek f(u)≠u nie jest spełniony, należy dodatkowo rozważyć równanie f(u)=u.

Przykład

Rozwiążemy równanie

Podstawiamy

Stąd

Wstawiając do równania dostajemy

Dla f(u)≠u, czyli gdy rozdzielamy zmienne i całkujemy

Czyli

Dla f(u)=u mamy

Stąd dostajemy dodatkowe rozwiązanie y≡0.

Często, w celu identyfikacji równania jednorodnego niezbędne jest wykonanie pewnych przekształceń.

Przykład

Rozwiążemy równanie

Mnożąc licznik i mianownik prawej strony równania przez 1/x2 otrzymujemy

Jest to równanie jednorodne. Podstawiając u = y/x dostajemy

Dla u≠0 rozdzielając zmienne i całkując obustronnie mamy

Podstawiając u = y/x dostajemy rozwiązanie ogólne równania w postaci uwikłanej

Dodatkowo z warunku f(u)=u (czyli u2=0) dostajemy rozwiązanie y≡0.

Pytanie kontrolne 11.2

Wyznacz rozwiązanie ogólne równania różniczkowego

dla x > 0 i y > 0.

Zobacz odpowiedź

Pytanie kontrolne 11.3

Rozwiąż zagadnienie Cauchy'ego

Zobacz odpowiedź

Do równania o zmiennych rozdzielonych można też sprowadzić równanie typu

gdzie f jest funkcją ciągłą, a, b, c stałymi a ¹ 0, b ¹ 0, stosując podstawienie

(gdy a = 0, lub b = 0 równanie jest równaniem o zmiennych rozdzielonych).

Mamy

Stąd

Rozdzielając zmienne (przy założeniu a+bf(u)≠0) dostajemy równanie

Po jego rozwiązaniu, z równości

wyznaczamy funkcję y.

Przypadek a+bf(u)=0 sprawdzamy oddzielnie.

Przykład

Znajdziemy całkę szczególną równania

spełniającą warunek początkowy y(0) = 1.

Podstawiamy

u=x+y+1,

stąd

Rozwiązujemy równanie

Stąd

gdzie C jest dowolną liczbą.

Podstawiając u=x+y+1 mamy

Jest to szukana całka ogólna równania. Obejmuje ona również rozwiązanie równania dla u+1=0, tzn. y=-x-2, które dostajemy kładąc c=0.

Uwzględniając warunek początkowy y(0) = 1 dostajemy

Zatem szukana całka szczególna jest równa

Pytanie kontrolne 11.4

Wyznacz całkę ogólną równania różniczkowego

y' = 2x + y.

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »