Dowód
Niech x+ D x Î [a, b], wówczas
Stąd, ponieważ f jako funkcja całkowalna jest ograniczona, mamy
gdzie |f(t)| £ M, dla t Î [a, b].
Z ostatniej nierówności wynika, że ®
0, gdy D
x®
0. Czyli F jest ciągła na [a, b].
Jeżeli f jest ciągła w punkcie x Î [a, b], to z twierdzenia o wartości średniej wynika istnienie takiego punktu x Î [x, x+ D x], że zachodzi równość
Gdy D x® 0, wówczas f(x ) oraz iloraz różnicowy mają granicę równą f(x). Zatem
F'(x) = f(x).
Zamknij okno