Dowód

Niech x+ D x Î [a, b], wówczas

Stąd, ponieważ f jako funkcja całkowalna jest ograniczona, mamy

gdzie |f(t)| £ M, dla t Î [a, b].

Z ostatniej nierówności wynika, że ® 0, gdy D x® 0. Czyli F jest ciągła na [a, b].

Jeżeli f jest ciągła w punkcie x Î [a, b], to z twierdzenia o wartości średniej wynika istnienie takiego punktu x Î [x, x+ D x], że zachodzi równość

Gdy D x® 0, wówczas f(x ) oraz iloraz różnicowy mają granicę równą f(x). Zatem

F'(x) = f(x).

Zamknij okno