« poprzedni punkt  następny punkt »


3. POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Definicja (drugiej pochodnej, pochodnej rzędu 2 )

Jeśli pochodna f¢ funkcji f istnieje w pewnym przedziale i jest w nim różniczkowalna, to jej pochodną nazywamy pochodną drugiego rzędu funkcji f i oznaczamy f¢ ¢ (x). Zatem f¢ ¢ (x) = (f¢ )¢ (x).

Inne oznaczenia drugiej pochodnej:

.

Przykład

Niech y = sin(2x). Wtedy y¢ = 2cos(2x), y ¢ ¢ = (y¢ )¢ = -4sin(2x).

Definicja (n-tej pochodnej, pochodnej rzędu n)

Pochodną rzędu n funkcji f (oznaczaną f(n)(x)) definiujemy jako pochodną pochodnej rzędu n-1 funkcji f , o ile te pochodne istnieją. Zatem f(n)(x) = (f(n-1))¢ (x).

Definicja

Powiemy, że funkcja f jest k-krotnie różniczkowalna w przedziale (a , b), jeśli istnieją (właściwe) pochodne f¢ (x), f¢ ¢ (x) , ..., f (k)(x) w każdym punkcie x z przedziału (a , b).

Przykład

Niech f(x) = x3. Mamy f¢ (x) = 3x2, f¢ ¢ (x) = 6x, f (3) (x) = (f¢ ¢ (x))¢ = 6, f(n)(x) = 0 dla wszystkich n ³ 4. Zatem funkcja f jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna.


« poprzedni punkt  następny punkt »