Dowód

Wykażemy, że długość łuku krzywej jest granicą odpowiednio skonstruowanego ciągu sum całkowych.

Rozważmy podział Pn odcinka [a, b]

Pn = { x0 , x1 , x2 , ..., xn }

Przybliżamy łuk krzywej przez łamaną (rys.10.6) tzn. sumę odcinków postaci

[(xk-1, f(xk-1)), (xk, f(xk)], 1 £ k £ n.

Rys. 10.6

Z twierdzenia Pitagorasa długość k - tego odcinka łamanej wynosi

zaś suma długości odcinków (długość łamanej) jest równa:

Ponieważ f'(x) istnieje na [a, b], z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej (patrz Wykład V) mamy

f(xk) - f(xk-1) = f'(x k) (xk - xk-1), gdzie x k Î (xk-1, xk).

Stąd długość łamanej jest równa sumie całkowej postaci

Przechodząc do granicy otrzymujemy

Zamknij okno