« poprzedni punkt |
Zachowanie się ciągłości funkcji przy operacji brania funkcji odwrotnej opisuje
Twierdzenie (o ciągłości funkcji odwrotnej)
Jeżeli dziedzina Df funkcji f jest przedziałem oraz f jest rosnąca lub malejąca i ciągła, to
(a) zbiór wartości f(Df ) funkcji f jest przedziałem
(b) funkcja odwrotna f- 1 do funkcji f jest ciągła na swojej dziedzinie f(Df ).
Twierdzenie (Weierstrassa o przyjmowaniu kresów)
Jeśli funkcja f jest ciągła na domkniętym przedziale ograniczonym [a; b] to istnieją punkty c, d Î [a; b] takie, że
f(c) £ f(x) £ f(d) " x Î [a, b].
Twierdzenie to oznacza, że w zbiorze f( [a; b] ) wartości funkcji ciągłej f na przedziale [a; b] istnieje element najmniejszy f(c) oraz element największy f(d).
Definicja
Mówimy, że funkcja f jest ograniczona na zbiorze P Ì Df, jeśli zbiór f(P) jest ograniczony tj. istnieje liczba M taka, że f(P) Ì [- M, M].
Z twierdzenia Weierstrassa wynika, że funkcja ciągła na ograniczonym przedziale
domkniętym jest na nim ograniczona.
Definicja
Mówimy, że liczba r leży między liczbami p oraz q jeśli p < r < q lub q < r < p.
Twierdzenie (Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich)
Jeśli funkcja f jest ciągła na domkniętym przedziale ograniczonym [a, b] oraz
f(a) ¹ f(b), to dla dowolnego w leżącego między f(a) a f(b) istnieje punkt c Î [a; b] taki, że
f(c) = w.
Jak wskazuje poniższy przykład w powyższych twierdzeniach nie można odrzucić założenia ciągłości funkcji.
Przykład
Funkcja
jest nieciągła na przedziale [-1, 1] oraz: nie ma własności Darboux, nie przyjmuje swoich kresów a nawet jest nieograniczona.
Z twierdzenia Darboux wynika następujący
Wniosek
Jeśli funkcja f jest ciągła na domkniętym przedziale ograniczonym [a, b] oraz
f(a)f(b)<0 to istnieje punkt c Î (a, b) taki, że f(c) = 0.
Twierdzenie Darboux lub wniosek z niego są często używane do wykazania, że równanie ma pierwiastek w danym przedziale.
Przykład
Wykażemy, że równanie
ma co najmniej jeden pierwiastek w przedziale (0, p /2).
Funkcja
jest ciągła w przedziale [0, p /2] i ponadto
Z wniosku z twierdzenia Darboux wynika, że istnieje c Î (0, p/2) takie, że
« poprzedni punkt |