« poprzedni punkt 


4. POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Definicja (pochodna cząstkowa drugiego rzędu)

Niech f : D ® R, D Ì Rm, AÎ D. Jeżeli w pewnym otoczeniu V punktu A istnieje pochodna cząstkowa oraz istnieje pochodna , to pochodną tę nazywamy pochodną cząstkową drugiego rzędu funkcji f w punkcie A względem zmiennych xi, xk i oznaczamy

Jeżeli k = i, to zamiast piszemy .

Definicja (pochodna cząstkowa k-tego rzędu)

Niech f : D ® R, D Ì Rm, AÎ D. Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu V punktu A pochodną cząstkową rzędu k - 1 oraz pochodna ta ma pochodną cząstkową względem zmiennej w punkcie A, to pochodną nazywamy pochodną cząstkową k-tego rzędu funkcji f w punkcie A i oznaczamy . Zamiast mówić pochodna k-tego rzędu mówi się też pochodna rzędu k.

Jeżeli różniczkujemy funkcję kilka razy względem tej samej zmiennej, to oznaczamy to podobnie jak dla pochodnej rzędu 2. Na przykład

Symbolem oznaczamy funkcję określoną na zbiorze tych punktów AÎ D, dla których istnieje pochodna cząstkowa .

Przykład

Wyznaczmy pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji

Mamy

Zatem

Przykład

Wyznaczmy pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f(x,y)=ln(x2+2y) w punkcie A= (2,1).

Z wzoru na pochodną funkcji złożonej mamy:

Zatem

Pochodne cząstkowe rzędu 2 w punkcie (1,2) przyjmują więc wartości

Przykład

Wyznaczymy gdy

Mamy:

Zatem

Przykład

Czytelnik zauważył zapewne, że w powyższych przykładach pochodne cząstkowe różniące się tylko kolejnością różniczkowania były równe. Obserwację tą uogólnia następujące:

Twierdzenie (Schwarza)

Jeśli funkcja f n zmiennych rzeczywistych ma w pewnym obszarze otwartym wszystkie pochodne cząstkowe rzędu k i pochodne te są ciągłe w obszarze D to pochodne cząstkowe rzędu k funkcji f różniące się tylko kolejnością różniczkowania są w obszarze D równe.

Oznacza to np., że: gdy funkcja z=f(x,y) ma w D ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu to w obszarze tym zachodzi równość

Podobnie gdy funkcja w=f(x,y,z) ma w obszarze otwartym ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe rzędu 3 to w obszarze tym zachodzą równości:


« poprzedni punkt