« poprzedni punkt | następny punkt » |
Rzadko udaje się wyznaczyć sumę szeregu, ale w zastosowaniach może wystarczyć jedynie stwierdzenie, czy badany szereg jest zbieżny. Warunek konieczny i wystarczający zbieżności szeregu o wyrazach nieujemnych podaje:
Twierdzenie
Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest
Przykład
Zbadamy zbieżność szeregu
skąd dla każdego n mamy
więc ciąg jest ograniczony z góry. Szereg
ma wyrazy nieujemne i ciąg jego sum częściowych jest ograniczony. Na mocy ostatniego twierdzenia szereg jest zbieżny.
Poznamy teraz techniki badania zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich, tzw. kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich, które pozwalają roztrzygnąć w wielu przypadkach czy szereg jest zbieżny, czy też rozbieżny.
Twierdzenie (kryterium porównawcze)
Jeżeli wyrazy szeregów są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna d, że dla każdego n > d
jest spełniona nierówność an £
bn, to:
Poniższe dwa przykłady ilustrują wykorzystanie kryterium porównawczego zarówno w dowodzie zbieżności, jak i w dowodzie rozbieżności szeregu liczbowego.
Przykład
Szereg jest zbieżny, ponieważ dla każdego n
a szereg jest szeregiem geometrycznym o ilorazie q = 1/2, więc zbieżnym. Z kryterium porównawczego badany szereg jest zbieżny.
Przykład
Szereg jest rozbieżny, ponieważ dla każdego n
a szereg jest szeregiem harmonicznym, który jest rozbieżny.
Pytanie kontrolne 2.5
Czy zbieżny jest szereg
Szereg harmoniczny i szereg geometryczny przyjmujemy często za szeregi porównawcze. Równie często przyjmowany jest za szereg porównawczy tzw. szereg Dirichleta (nazywany też szeregiem harmonicznym rzędu a)
gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą.
Pytanie kontrolne 2.6
Korzystając z kryterium porównawczego wykaż, że rozbieżny jest szereg Dirichleta, jeśli a £ 1.
Zobacz odpowiedźPrzykład
Zbadamy zbieżność szeregu .
W oszacowaniu wyrazu an naszego szeregu wykorzystamy nierówność sin x £ x, prawdziwą dla każdej liczby x (uzasadnienie nierówności poznamy w póżnejszym wykładzie). Zatem dla każdego naturalnego n
przy czym szereg jest zbieżny, więc szereg
jest także zbieżny na mocy kryterium porównawczego.
Twierdzenie (kryterium d'Alemberta)
Jeżeli szereg ma wyrazy dodatnie oraz istnieje granica (właściwa albo niewłaściwa)
to szereg jest
(Jeśli g = 1, wówczas nie możemy nic powiedzieć o zbieżności tego szeregu).
Przykład
Zbadamy zbieżność szeregu
Mamy tu
Stąd
a więc szereg
jest zbieżny na mocy kryterium d'Alemberta.
Pytanie kontrolne 2.7
Zbadaj zbieżność szeregu
Twierdzenie (kryterium Cauchy'ego)
Jeśli szereg o wyrazach nieujemnych jest taki, że istnieje granica (właściwa albo niewłaściwa)
to szereg ten jest
(Jeśli g = 1, wówczas nie możemy nic powiedzieć o zbieżności tego szeregu).
Przykład
Zbadaj zbieżność szeregu .
Mamy tu an = 2n5 / 3n ³ 0 oraz
stąd
a więc szereg jest zbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego.
Pytanie kontrolne 2.8
Zbadaj zbieżność szeregu
« poprzedni punkt | następny punkt » |