Dowód:
Dla dowolnego n, niech Rn oznacza sumę szeregu
. Stąd
Niech
Z twierdzenia o działaniach arytmetycznych dla granic ciągów
S = a1 + a2 + ...+ an- 1 + an + Rn (1)
Podobnie, wstawiając n - 1 zamiast n, mamy
S = a1 + a2 + ...+ an- 2 + an- 1 + Rn-1.
Odejmując stronami ostatnie dwie równości otrzymujemy po uporządkowaniu
an = Rn- 1 - Rn .
Szereg jest zbieżny do sumy S,
więc z (1) mamy
Stąd
, zatem