Dowód:
Wykażemy najpierw, że ciąg (an) jest ciągiem rosnącym. Stosując wzór na dwumian Newtona otrzymujemy
=
,
skąd
Z powyższych wzorów widzimy, że kolejne składniki sumy określającej an są nie większe od pierwszych n składników sumy określającej an+1, której ostatni składnik o indeksie n +1 jest dodatni. Zatem an < an+1 , dla n = 1, 2, ... . Ciąg jest więc rosnący. Ponadto jest on ograniczony, gdyż
Ostatnia nierówność wynika za wzoru na sumę postępu (ciągu) geometrycznego:
Ciąg (an), jako rosnący i ograniczony, jest zbieżny. Udowodniliśmy istnienie liczby e.
Zamknij okno