« poprzedni punkt |
Wyznaczenie funkcji pierwotnej w wielu przypadkach jest bardzo trudne, lub wręcz niemożliwe. W szczególności dotyczy to funkcji, które nie są całkowalne elementarnie oraz funkcji definiowanych za pomocą tablicy wartości, dla których pojęcie funkcji pierwotnej, w ścisłym tego słowa znaczeniu, traci sens. W takich przypadkach jesteśmy skazani na stosowanie metod umożliwiających obliczenie przybliżonej wartości całki.
Podstawową ideą metod przybliżonych (zwanych też metodami numerycznymi) jest zastąpienie funkcji podcałkowej funkcją, której całkowanie jest prostsze. Zwykle jest nią wielomian, który w wybranych punktach przedziału całkowania, zwanych węzłami całkowania, przyjmuje wartości identyczne z funkcją podcałkową. Można wykazać, że gdy x0, x1, x2, ... ,xn, są węzłami całkowania, to otrzymany w ten sposób wzór przybliżający całkę oznaczoną ma postać
![]() |
przy czym współczynniki Ak nie zależą od funkcji f.
Wzór ten nazywamy kwadraturą.
Przybliżenie funkcji jest tym lepsze, im wyższy jest stopień wielomianu. Niemniej trudności z oszacowaniem błędu przybliżenia oraz mniejsza odporność na błędy zaokrągleń, pojawiające się w trakcie obliczeń sprawiają, że w praktyce wykorzystuje się głównie kwadratury oparte na wielomianach niskiego stopnia. Aby w tej sytuacji osiągnąć wymaganą dokładność obliczeń stosuje się kwadratury złożone, w których przedział całkowania dzieli się na pewną liczbę podprzedziałów, w każdym z nich stosuje kwadraturę niskiego stopnia, po czym otrzymane wyniki sumuje.
W przypadku równomiernego rozłożenia węzłów największe znaczenie praktyczne mają wzory złożone trapezów i parabol (Simpsona), które omówimy szczegółowo.
Metoda trapezów
Przedział całkowania [a, b] dzielimy na n podprzedziałów (n > 1) o długości
![]() |
Na każdym z podprzedziałów zastępujemy funkcję podcałkową wielomianem stopnia pierwszego (funkcją liniową). Wartość całki na podprzedziale jest wówczas równa polu trapezu, zaś na przedziale [a, b] jest sumą pól n trapezów (rys. 10.12).
Rys. 10.12
Stosunkowo proste przekształcenia dają wzór
![]() |
gdzie
![]() |
Jest to tzw. złożony wzór trapezów.
Oszacowanie bezwzględnego błędu przybliżenia (różnicy między dokładną i przybliżoną wartością całki) dla tej metody podaje następujące twierdzenie.
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f ma na przedziale [a, b] ciągłą drugą pochodną, to błąd przybliżenia Rn spełnia nierówność
![]() |
gdzie
![]() |
Wymaganą dokładność przybliżenia można zatem osiągnąć dobierając dostatecznie dużą wartość n. Niemniej oszacowanie drugiej pochodnej, niezbędne dla precyzyjnej oceny błędu, może okazać się trudne.
Przykład
Za pomocą złożonego wzoru trapezów wyznaczymy przybliżoną wartość całki
przyjmując n = 5, oszacujemy błąd tego przybliżenia, a następnie obliczymy liczbę węzłów, dla której bezwzględny błąd przybliżenia jest mniejszy od 0,01.
Poniższa tablica zawiera wartości funkcji podcałkowej yk w równomiernie rozłożonych węzłach całkowania xk.
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
xk |
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1 |
yk |
e0= 1 |
e0,04 ≈ 1,0408 |
e0,16 ≈1,1735 |
e0,36 ≈1,4333 |
e0,64 ≈1,8965 |
e1,0 ≈2,7183 |
Po podstawieniu do wzoru dostajemy
.
Oszacujemy błąd kwadratury.
Druga pochodna funkcji podcałkowe jest równa
Na przedziale całkowania [0, 1] osiąga ona wartość maksymalną w punkcie 1 równą f''(1) = 6e. Możemy zatem przyjąć M2 = 6e, wówczas błąd bezwzględny kwadratury nie przekracza
Jeżeli błąd przybliżenia ma być mniejszy od 0,01, to musi zachodzić warunek
czyli
Stąd n = 12, a zatem kwadratura powinna liczyć 13 węzłów.
Metoda Simpsona (parabol)
W metodzie Simpsona przedział całkowania [a, b] dzielimy na 2n podprzedziałów o długości
![]() |
Na każdym z podprzedziałów [a, a + 2h], ... , [a +(2n - 2)h, b], o długości 2h zastępujemy funkcję podcałkową wielomianem stopnia drugiego (parabolą). Wartość całki na podprzedziale jest wówczas równa polu otrzymanego trapezu "parabolicznego". Przybliżona wartość całki na przedziale [a, b] jest zatem sumą n pól owych trapezów (rys. 10.13).
Rys. 10.13
Po uporządkowaniu składników suma ta przyjmuje postać
![]() |
gdzie
![]() |
Jest to tzw. złożony wzór Simpsona.
Oszacowanie błędu przybliżenia dla tej metody podaje następujące twierdzenie.
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f ma na przedziale [a, b] ciągłą czwartą pochodną, to błąd przybliżenia Rn spełnia nierówność
![]() |
gdzie
![]() |
Kwadratury z węzłami równoodległymi nazywamy kwadraturami Newtona-Cotesa.
Alternatywnym rozwiązaniem jest stosowanie kwadratur o węzłach rozłożonych w ten sposób, by otrzymać dokładny wynik całkowania wielomianu jak najwyższego stopnia. Noszą one nazwę kwadratur Gaussa.
Algorytmy komputerowe
Całkowanie numeryczne jest zadaniem czasochłonnym, szczególnie gdy wymagana jest duża dokładność przybliżenia. Dlatego do realizacji obliczeń, wykorzystuje się odpowiednie programy komputerowe. Są one dostępne w większości bibliotek matematycznych.
Teoretycznie (jak to pokazaliśmy w przykładzie) można określić liczbę węzłów kwadratury wymaganą do osiągnięcia założonej dokładności przybliżenia. W praktyce, ze względu na trudności z oszacowaniem pochodnej funkcji podcałkowej, zadanie to jest często niewykonalne. Dlatego algorytmy realizujące kwadratury mają na ogół charakter iteracyjny. Przybliżone wartości całki są obliczane dla wzrastającej liczby podprzedziałów (zazwyczaj podwajanej), aż do uzyskania stabilizacji w kolejnych dwóch przybliżeniach, bądź osiągnięcia dopuszczalnej liczby iteracji.
« poprzedni punkt |