Dowód:
Udowodnimy wzory na granicę sumy i iloczynu ciągów zbieżnych.
Niech e > 0 będzie dowolną liczbą dodatnią. Z założonej zbieżności ciągów istnieją liczby naturalne d 1, d 2 takie że:
ï an - aï < (1/2) e, dla n > d 1 (1)
ï bn - bï < (1/2) e, dla n > d 2 (2)
Stąd oraz z nierówności ï x + yï £ ï xï + ï yï , prawdziwej dla dowolnych liczb x, y, otrzymujemy, wstawiając x = an - a oraz y = bn - b,
ï (an + bn ) - ( a + b )ï £ ï an - aï + ï bn - bï < e.
Znaczy to, że ciąg (an + bn) jest zbieżny do granicy a + b.
an bn - ab = an bn - an b + an b - ab = an( bn - b) + b( an - a).
Ciąg (an ) jest zbieżny, zatem jest ograniczony, czyli istnieje liczba M taka, że dla dowolnego n zachodzi ï an ï < M. Stąd oraz z ostatniej równości, wykorzystując nierówności dla bezwzględnej wartości sumy i iloczynu, otrzymujemy
ï an bn - ab ï £ ï an( bn - b)ï + ï b( an - a)ï £ Mï bn - bï + ï b ï ï an - aï (3)
Niech teraz e > 0 będzie dowolną ustaloną liczbą oraz niech
Z założonej zbieżności ciągów istnieją liczby d 1, d 2 takie, że
Stąd oraz nierówności (3) dla n > d = max { d 1, d 2 } mamy
ï an bn - abï < (1/2)e + (1/2)e = e, co kończy dowód.
Zamknij okno