« poprzedni punkt  następny punkt »


2. BADANIE MONOTONICZNOŚCI FUNKCJI

W dalszym ciągu tego wykładu omówimy niektóre zastosowania pochodnych funkcji. Na początek wprowadzimy definicje pojęć używanych w dalszym ciągu.

Definicja

Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Powiemy, że funkcja f jest na przedziale P:

  1. niemalejąca, jeśli dla dowolnych x1 ,x2 Î P warunek x1 < x2 implikuje warunek f(x1) £ f(x2),

  2. rosnąca, jeśli dla dowolnych x1 ,x2 Î P warunek x1 < x2 implikuje warunek f(x1)< f(x2).

Analogicznie definiuje się funkcję nierosnącą i funkcję malejącą.

Jeśli funkcja f jest niemalejąca albo rosnąca, albo nierosnąca, albo malejąca, to mówimy, że funkcja f jest monotoniczna.

Zastosujemy pochodne funkcji do badania jej monotoniczności.

Uwaga

Niech f będzie różniczkowalna w x0. Wówczas

  1. Jeśli funkcja f jest niemalejąca w pewnym otoczeniu punktu x0, to f' (x0) ³ 0.

  2. Jeśli funkcja f jest nierosnąca w pewnym otoczeniu punktu x0, to f' (x0) £ 0.

Następne twierdzenie podaje warunki wystarczające monotoniczności funkcji.

Twierdzenie

Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale P i różniczkowalną w jego wnętrzu.

Wówczas

  1. jeśli f' (x) > 0 dla każdego x Î Int P, to f jest rosnąca na P;
  2. jeśli f' (x) ³ 0 dla każdego x Î Int P, to f jest niemalejąca na P;
  3. jeśli f' (x) < 0 dla każdego x Î Int P, to f jest malejąca na P;
  4. jeśli f ' (x) £ 0 dla każdego x Î Int P, to f jest nierosnąca na P.

Dowód. Przykładowo udowodnimy punkt (1). Dowody pozostałych punktów są podobne. Niech a, b Î P, a < b. Zastosujmy Twierdzenie Lagrange'a do przedziału [a, b]. Mamy:

dla pewnego c Î (a, b) Ì P. Z założenia f' (c) > 0 i b - a > 0 , a zatem również f(b) - f(a) > 0.

Uwaga

Warunek (f' (x) > 0 dla każdego x Î Int P) nie jest warunkiem koniecznym na to, aby funkcja f była rosnąca na P.

Przykład

Weźmy funkcję f(x) = x3.Wiadomo, że jest to funkcja rosnąca w R, ale f' (x) = 3x2 czyli f' (x) ³ 0.

Warunek konieczny i dostateczny na to, aby funkcja była rosnąca na przedziale P podaje następujące

Twierdzenie

Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale P, różniczkowalna we wnętrzu P, to funkcja f jest rosnąca w przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki

  1. f' (x) ³ 0 dla każdego x Î Int P
  2. funkcja f' nie jest tożsamościowo równa zero w żadnym niepustym przedziale otwartym zawartym w P.

Przykład

Funkcja f(x) = x- sin x jest rosnąca w przedziale P = (-¥, ¥ ).

Rzeczywiście jest ona ciągła w przedziale P oraz f' (x) = 1-cos x ³ 0 dla każdego xÎ IntP = P, przy czym funkcja f' nie jest tożsamościowo równa zero w żadnym niepustym przedziale otwartym zawartym w P.


« poprzedni punkt  następny punkt »