następny punkt »


1. DWUKROTNE CAŁKI ITEROWANE

Definicja (obszar normalny względem osi Ox)

Obszarem normalnym względem osi Ox nazywamy obszar DÌ R2 postaci D= {(x,y) : a £ x £ b , p(x) £ y £ q(x)}, gdzie a < b, zaś p(x) i q(x) są ciągłymi funkcjami określonymi na przedziale [a, b] takimi, że p(x) £ q(x) dla każdego xÎ [a,b].

Analogicznie definiujemy obszar normalny względem osi Oy:

Definicja (obszar normalny względem osi Oy)

Obszarem normalnym względem osi Oy nazywamy obszar DÌ R2 postaci

D = {(x,y): c £ y £ d, r(y) £ x £ s (y)} gdzie a < b, zaś r(y) i s(y) są ciągłymi funkcjami określonymi na przedziale [c,d] takimi, że r(y) £ s(y) dla każdego

Uwaga

Intuicyjnie, domknięty i ograniczony obszar D jest normalny względem osi Ox jeśli każda prosta prostopadła do osi Ox przecinająca D przecina go wzdłuż odcinka (być może jednopunktowego). Zbiór górnych końców takich odcinków nazywamy górnym brzegiem obszaru D, natomiast zbiór dolnych końców takich odcinków dolnym brzegiem obszaru D.

Jeśli obszar D jest normalny względem osi Ox to

· rzutem zbioru D na oś Ox jest odcinek [a,b]

· dolny brzeg obszaru D jest krzywą o równaniu y=p(x)

· górny brzeg obszaru D jest krzywą o równaniu y=q(x).

Podobnie domknięty i ograniczony i obszar D jest normalny względem osi Oy jeśli każda prosta prostopadła do osi Oy przecinająca D przecina go wzdłuż odcinka (być może jednopunktowego). Zbiór lewych końców takich odcinków nazywamy lewym brzegiem obszaru D, natomiast zbiór prawych końców takich odcinków prawym brzegiem obszaru D.

Jeśli obszar D jest normalny względem osi Oy to

· rzutem zbioru D na oś Oy jest odcinek [c,d]

· lewy brzeg obszaru D jest krzywą o równaniu x=r(y)

· prawy brzeg obszaru D jest krzywą o równaniu x=s(y).

Przykłady

· Obszar D1 jest obszarem normalnym względem osi Ox, ale nie jest normalny względem osi Oy

Rys. 15.1

· Obszar D2 jest obszarem normalnym względem osi Oy, ale nie jest normalny względem osi Ox

Rys. 15.2

· Obszar D3 jest obszarem normalnym zarówno względem osi Ox, jak i osi Oy

Rys. 15.3

· Obszar D4 nie jest obszarem normalnym ani względem osi Ox, ani względem osi Oy

Rys. 15.4

Definicja (dwukrotna całka iterowana)

Niech funkcja f będzie ciągła na obszarze D = {(x,y) : a £ x £ b, p(x) £ y £ q(x)} normalnym względem osi Ox (z definicji obszaru normalnego względem osi Ox wynika, że funkcje p(x), q(x) są ciągłe na przedziale [a, b]).

Ustalamy element xÎ [a,b] i traktujemy funkcję f(x,y) jako funkcję argumentu y określoną na przedziale [p(x),q(x)]. Otrzymana w ten sposób funkcja zmiennej y (na ogół inna dla każdego x) jest ciągła w przedziale [p(x),q(x)], a zatem ma ona skończoną całkę Riemanna na tym przedziale oznaczaną

Można udowodnić, że funkcja A(x) zmiennej x określona wzorem

jest ciągła na przedziale [a,b], a zatem ma ona na nim skończoną całkę Riemanna

Podobnie, jeśli funkcja f jest ciągła na obszarze D = {(x,y) : c £ y £ d, r(y) £ x £ s(y)} normalnym względem osi Oy, to traktując zmienną y jako stałą możemy obliczyć całkę funkcji f(x,y) traktowanej jako funkcja zmiennej x w przedziale [r(y),s(y)] oznaczaną

Otrzymana w ten sposób funkcja B(y) zmiennej y określona wzorem

jest ciągła na przedziale [c,d], a zatem istnieje jej całka Riemanna na tym przedziale

Otrzymane w ten sposób całki

nazywamy (dwukrotnymi) całkami iterowanymi funkcji f.

Całkę oznacza się na ogół

W przypadku tej całki iterowanej całkę nazywamy całką wewnętrzną, zaś całkę (gdzie ) całką zewnętrzną.

Całkę oznacza się na ogół

W przypadku tej całki iterowanej całkę nazywamy całką wewnętrzną, zaś całkę (gdzie ) całką zewnętrzną.

Przykład

Obliczmy całkę iterowaną

Najpierw obliczamy całkę wewnętrzną całkując względem y i traktując zmienną x jako stałą :

Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (z otrzymanej w wyniku pierwszego całkowania funkcji zmiennej x):

otrzymując ostatecznie:

Przykład

Obliczmy całkę iterowaną

Najpierw obliczamy całkę wewnętrzną całkując względem x i traktując y jako stałą:

Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (z otrzymanej w wyniku pierwszego całkowania funkcji zmiennej y):

otrzymując ostatecznie:


 następny punkt »