następny punkt » |
Definicja (gradient funkcji)
Niech f : D ¾®
R, D Ì
Rm, AÎ
IntD. Jeżeli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f w punkcie A, to wektor
nazywamy gradientem funkcji f w punkcie A i oznaczamy gradf(A) lub Ñ
f(A). Symbolem gradf (lub Ñ
f) oznaczamy funkcję przyporządkowującą każdemu punktowi A w którym gradient jest określony, wektor gradf(A) czyli
.
Przykład
·
Niech . Wyznaczymy grad f oraz grad f(0,1,3).
Mamy:
,
,
.
Zatem
.
·
Wyznaczymy teraz gradf oraz gradf(2,5) dla funkcji .
Mamy:
,
,
zatem
Następne twierdzenie i wniosek z niego pozwalają łatwo wyznaczać przybliżone wartości funkcji przy użyciu jej gradientu.
Twierdzenie
Niech f : D ¾® R, D Ì Rm . Jeśli funkcja f ma wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie AÎ IntD i pochodne te są ciągłe w punkcie A, to
gdzie oznacza iloczyn skalarny tych wektorów, zaś
oznacza długość wektora v.
Wniosek
Jeśli funkcja f : D ¾® R, D Ì Rm ma w pewnym otoczeniu punktu A ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, to dla punktów X bliskich A mamy
.
Niestety oszacowanie błędu tego przybliżenia przekracza ramy tego wykładu.
Przykład
Niech f(x,y) = xy. Obliczamy
.
· Dla A=(1,2), X =(1,02; 1,99) mamy
(z kalkulatora odczytujemy, że 1,021,99» 1,04019...).
· Dla A=(2,2), X =(1,98; 2,02) mamy
(z kalkulatora odczytujemy, że 1,982,02» 3,9743...).
Przykład
Wyznaczymy gradient funkcji i stosując go obliczymy w przybliżeniu wartość wyrażenia
Mamy
Ponadto a=f(X), gdzie X=(1,06; 1,97) oraz dla punktu A=(1;2) (bliskiego X) mamy f(A)=3. Zatem
Interpretacja gradientu
Uzasadnimy jedynie punkt (1) (punkty (2) i (3) wymagają zbyt wiele rozważań geometrycznych).
Wielkość
dla punktów XÎ
D bliskich A oraz należących do półprostej {A+tv : t>0 } można uznać za miarę wzrostu wartości funkcji f w kierunku v.
Tymczasem z poprzedniego twierdzenia łatwo wynika, że
Zatem wielkość ta jest maksymalna, gdy wektory gradf(A) oraz v są równoległe i mają taki sam zwrot oraz jest minimalna, gdy wektory te są równoległe i mają przeciwny zwrot.
Przykład
· Napiszmy równanie płaszczyzny stycznej w punkcie A=(2,2,2) do powierzchni S o równaniu
Mamy
Zatem płaszczyzna styczna do powierzchni S w punkcie A=(2,2,2) ma równanie
· Wyznaczmy równanie płaszczyzny stycznej w punkcie A=(1,-1,4) do powierzchni S o równaniu
Przepisujemy równanie powierzchni w postaci f(x,y,z)=0, gdzie
Mamy
Zatem płaszczyzna styczna do powierzchni S w punkcie A=(1,-1,4) ma równanie
· Napisz równanie prostej stycznej w punkcie A=(2,-1) do krzywej K o równaniu
Mamy
Zatem prosta styczna do krzywej K w punkcie A=(2,-1) ma równanie
następny punkt » |