« poprzedni punkt 


6. BADANIE FUNKCJI

W tej krótkiej części wykładu podsumujemy wcześniej uzyskane wiadomości o badaniu własności funkcji. Niektóre z pojęć użytych za chwilę (np. parzystość, okresowość) nie były zdefiniowane w żadnym z wykładów, ale z całą pewnością znają je Państwo ze szkoły.

Celem zbadania własności funkcji należy:

  1. Ustalić dziedzinę;
  2. Zbadać okresowość funkcji, wyznaczyć punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych;
  3. Obliczyć granice lub wartości funkcji na końcach przedziałów określoności;
  4. Znaleźć asymptoty;
  5. Obliczyć pochodną funkcji i na podstawie jej własności określić, gdzie funkcja jest rosnąca, malejąca oraz gdzie ma ekstrema lokalne;
  6. Obliczyć drugą pochodną funkcji i badając jej własności określić, gdzie funkcja jest wypukła, gdzie wklęsła i gdzie ma punkty przegięcia;
  7. Obliczyć drugie współrzędne punktów ekstremalnych i punktów przegięcia funkcji;
  8. Sporządzić wykres funkcji (ewentualnie wyniki otrzymane w punktach 1 - 7 można zebrać w tabelkę).

Przykład

  1. Dziedziną funkcji jest zbiór D = (0, 1)È (1,¥ ) , ponieważ funkcja logarytm jest określona tylko dla liczb dodatnich i w mianowniku nie może być zera, a logarytm zeruje się w 1 .
  2. Łatwo zauważyć, że dana funkcja nie jest okresowa, parzysta ani nieparzysta i jej wykres nie przecina się z osiami współrzędnych.
  3. Mamy:

    1. Asymptoty pionowe.
      Z punktu 3) widać, że prosta x = 1 jest obustronną asymptotą pionową.

    2. Asymptota ukośna w - ¥ nie istnieje ze względu na dziedzinę funkcji.
    3. Asymptota ukośna w ¥.

      Otrzymujemy więc, że funkcja nie ma asymptoty ukośnej w ¥.

  4. Ponadto w przedziale ( e, ¥ ) pochodna jest dodatnia, zaś w przedziałach ( 0, 1) i ( 1, e) pochodna jest ujemna. Zatem w punkcie x1 = e pochodna zmienia znak. Uzyskane informacje pozwalają stwierdzić, że funkcja f jest rosnąca w przedziale ( e, ¥ ) , a malejąca w przedziałach ( 0, 1) i ( 1, e) oraz że w punkcie x1 = e funkcja ma minimum lokalne.

  5. Kolejne obliczenia :
  6. Widać, że f¢ ¢ (x) = 0 dla x = e2 oraz że druga pochodna funkcji f jest dodatnia w przedziale ( 1, e2) , ujemna w przedziałach ( 0, 1) i ( e2, ¥ ) oraz w punkcie x2 = e2 funkcja f¢ ¢ zmienia znak (punkt 1 nie należy do dziedziny funkcji f). Wynika stąd, że f jest wypukła w przedziale ( 1, e2) , wklęsła zaś w przedziałach ( 0, 1) i ( e2, ¥ ) oraz że punkt x2 = e2 jest jej punktem przegięcia.

  7. Obliczamy f(x1) = f(e) = e/ lne = e, f(x2) =e2/ lne2 = e2/ 2 .

  8. Pozostał do zrobienia wykres danej funkcji:

    Rys. 6.5


« poprzedni punkt