Dowód:

Wykażemy powyższą równość dla a > 1. Niech e > 0. Trzeba znaleźć d takie, że dla każdego n > d spełniona jest nierówność: ï an - 1ï < e, która jeśli jest prawdziwa dla e < 1, to jest też prawdziwa dla e ³ 1. Wystarczy założyć zatem, że 0 < e < 1. Mamy wówczas:

ï an - 1ï < e Û 1 - e < a1/n < 1 + e Û log(1- e ) < (1/n)× log(a) < log(1 + e ).

Ostatnia podwójna nierówność, na mocy założenia 0 < e < 1, jest spełniona dla

co należało wykazać.

Zamknij okno