« poprzedni punkt | następny punkt » |
W analizie układów elektrycznych podstawowe znaczenie maja dwa prawa Kirchhoffa sformułowane w 1845 r. i wynikające z warunków zachowania energii. Są to warunki, które musza być spełnione w każdym układzie skupionym, tj. układzie zbudowanym z elementów o stałych skupionych i dotyczą dowolnych połączeń tych elementów.
Prądowe prawo Kirchhoffa (PPK) nazywane czasem pierwszym prawem Kirchhoffa, dotyczy bilansu prądów w węźle i można go sformułować następująco: dla każdego węzła układu elektrycznego (rys.2.9a) algebraiczna suma prądów jest w każdej chwili równa zeru:
![]() | (2.16) |
W równaniu (2.16) prądom skierowanym jednakowo wobec węzła przypisuje się jeden znak, a pozostałym prądom znak przeciwny. Równanie to jest również słuszne w odniesieniu do dowolnego obszaru zamkniętego zawierającego elementy skupione (rys.2.9b).
Rys.2.9. Węzeł (a) i obszar zamknięty (b) z zaznaczeniem zwrotów występujących w nich prądów
Dla przykładu równania z PPK dla sytuacji przedstawionych na rys. 2.9 mają postać:
i1 + i2 + i3 -i4 = 0, i1 + i2 + i3 = 0 | (2.17) |
Nie trudno zauważyć, że prądowe prawo Kirchhoffa można sformułować nieco inaczej: dla każdego węzła układu elektrycznego suma prądów dopływających do węzła jest równa sumie prądów odpływających od węzła. W tym zapisie zawarta jest zasada bilansu prądów.
Napięciowe prawo Kirchhoffa (NPK) nazywane czasem drugim prawem Kirchhoffa, dotyczące bilansu napięć w obwodzie zamkniętym jest formułowane następująco: w każdym obwodzie zamkniętym (rys.2.10) algebraiczna suma napięć na elementach skupionych tworzących ten obwód jest równa zeru:
![]() | (2.18) |
Dla jednoznacznego zapisu równania (2.18) w obwodzie zamkniętym przyjmuje się umowny kierunek obiegu i napięcia zgodne z nim maja znak plus ( "+" ), a przeciwne znak minus ( "-" ). Przykładowo, dla obwodu pokazanego narys.2.10a, drugie prawo Kirchhoffa przyjmie postać:
u1 + u2 + u3 - u4 = 0 | (2.19) |
Rys.2.10. Obwód zamknięty jako fragment układu (a) oraz obwód zamknięty z wyróżnionymi elementami źródłowymi (b)
W obwodzie zamkniętym, w którym wyróżnimy napięcia źródłowe (siły elektromotoryczne SEM - e) i napięcia odbiornikowe (spadki napięć), jak na rys.2.10b, napięciowe prawo Kirchhoffa wyraża się: w obwodzie zamkniętym suma algebraiczna napięć źródłowych i napięć odbiornikowych jest równa zeru:
e1 - e3 - u1 + u2 + u3 - u4 = 0 | (2.20) |
W tym ostatnim sformułowaniu zawarta jest zasada bilansu napięć.
Istotnym problemem opisu układu elektrycznego jest określenie liczby równań niezależnych, które można zapisać z PPK i NPK. Dla układu o liczbie gałęzi - g, liczbie węzłów - w i liczbie części układu (utworzonych przez galwaniczne połączenia elementów) - m, wynikają dwa stwierdzenia:
kp = w-m | (2.21) |
kn = g - w + m | (2.22) |
Węzły lub obwody, dla których wybrano równania niezależne noszą nazwę węzłów lub obwodów niezależnych odpowiednio. Węzły, dla których pominięto zapisy z PPK noszą nazwę węzłów odniesienia. Natomiast za zbiór obwodów niezależnych dla układu płaskiego (tj. takiego, dla którego schemat na płaszczyźnie posiada punkty wspólne wyłącznie w węzłach) najwygodniej jest przyjąć zbiór wszystkich oczek układu.
Liczba równań niezależnych zapisach w oparciu o oba prawa jest równa liczbie gałęzi:
kp + kn = g | (2.23) |
Przykład 2.2. Rozważmy układ przedstawiony na rys. 2.11. Dla tego układu zapiszmy wszystkie równania wynikające z PPK i równania dla oczek na podstawie NPK. Układ składa się: z g = 6 gałęzi, w = 4 węzłów i m = 1 części niezależnych.
Rys. 2.11. Układ z przykł. 2.2.
Spośród czterech równań prądowych Kirchhoffa (2.14) dla poszczególnych węzłów:
(A) i1 - i2 - i6 = 0
(B) i2 - i3 - i4 = 0
(C) i4 - i5 + i6 = 0
(D) - i1 + i3 + i5 = 0
tylko: w - m = 3 są niezależne. Wystarczy dodać do siebie pierwsze trzy równania, aby otrzymać równanie czwarte pomnożone przez -1. Jeśli odrzucimy równanie czwarte, to uznajemy węzeł D za węzeł odniesienia, a węzły A, B i C za węzły niezależne. Liczba równań niezależnych z PPK jest zatem, zgodna z (2.21) i wynosi : kp = 3.
Oczka zaznaczono na rys. 2.11 symbolami O1, O2 i O3 wraz z kierunkami obiegu. Napięciowe równania Kirchhoffa (2.20) przyjmują dla nich postać:
(O1) e1 - u1 - u2 - u3 = 0
(O2) u3 - u4 - u5 = 0
(O3) u2 + u4 - u6 = 0
i tworzą niezależny układ równań. Liczba wszystkich otrzymanych równań jest wówczas zgodna z (2.23) i wynosi sześć, tyle co liczba gałęzi. Jednak występują w nich niewiadome prądy ik i niewiadome napięcia uk (k 1,2, ... 6), co stanowi liczbę dwukrotnie większą od liczby gałęzi. Do pełnego rozwiązania konieczne są związki pomiędzy prądami ik oraz napięciami uk (tzw. równania gałęziowe), o których będzie mowa poniżej.
« poprzedni punkt | następny punkt » |