następny punkt » |
Definicja 3.1. Liniowymi układami prądu stałego nazywamy układy zbudowane z idealnych niezależnych źródeł napięciowych i prądowych, których siły elektromotoryczne i wydajności prądowe są stałe w czasie oraz liniowych elementów oporowych, do których należą: opory liniowe i źródła sterowane.
Układy te są opisane wyłącznie liniowymi równaniami algebraicznymi, w których niewiadome są stałymi funkcjami czasu (liczbami). Elementy takie jak indukcyjności (indukcyjności sprzężone) i pojemności pełnią w układach prądu stałego rolę trywialną: zwarcia lub rozwarcia odpowiednio, co wynika z faktu, że napięcia stałe na indukcyjnościach i prądy stałe w pojemnościach są równe zeru.
Dyskusję metod analizy układów liniowych prądu stałego rozpoczniemy od przedstawienia w kolejnym punkcie kilku charakterystycznych rozwiązań, które ułatwiają ogólna analizę układów.
Pojęcie elementu zastępczego lub elementu równoważnego pojawiło się po raz pierwszy w rozważaniach dotyczących łączenia elementów (wykł. II 6.3).
Definicja 3.2. Mówimy, że elementy są równoważne, jeśli maja ten sam opis zaciskowy.
Oznacza to, ze związki miedzy prądem i oraz napięciem u elementów równoważnych są identyczne. W analizie stałoprądowej pojecie to odnosi się do oporów, chociaż w analogicznym sensie można mówić o innych elementach równoważnych jak np. źródłach zastępczych, indukcyjnościach czy pojemnościach
Definicja 3.3. Oporem zastępczym rezystancyjnego dwójnika bezźródłowego D jak na rys. 3.1a (bez źródeł niezależnych) nazywa się stosunek napięcia do prądu na jego zaciskach:
RAB = ![]() | (3.1) |
O wyznaczaniu oporu zastępczego dla połączenia samych oporów mówiliśmy w wykł. II 6.3 i w problemie II.10. Definicja jest jednak ogólniejsza bowiem obejmuje również dwójniki zawierające źródła sterowane. Opór RAB nie zależy oczywiście od wielkości zaciskowych, tylko jest równy ich stosunkowi. Równanie dwójnika zapiszemy w postaci:
U = RAB I | (3.2) |
Rezystancyjny dwójnik bezźródłowy możemy zastąpić równoważnym jednoelementowym dwójnikiem o oporze RAB (rys.3.1b).
Rys. 3.1. Bezźródłowy dwójnik rezystancyjny i jego opór zastępczy
Przykład 3.1. Wyznaczyć opór zastępczy dwójnika rezystancyjnego pokazanego na rys. 3.2, zawierającego źródło sterowane.
Rys.3.2. Dwójnik rezystancyjny ze źródłem sterowanym
W tym przypadku opór zastępczy wyznaczymy z wzoru (3.1). przyjmując oznaczenia jak na rysunku można zapisać następujące równania dwójnika:
U = R2 I2, U = R1 I1 + r I2, I = I1 + I2
Po wyznaczenie prądów I2 oraz I1 odpowiednio z dwóch pierwszych równań otrzymamy:
RAB = =
W niektórych sposobach analizy np. opartych na twierdzeniach o źródłach zastępczych (pkt.1.4 tego rozdz.) zachodzi potrzeba obliczenia oporu zastępczego dla dwójnika bezźródłowego, powstałego z danego dwójnika źródłowego. Operacja ta polega na wyeliminowaniu wszystkich źródeł niezależnych, pozostawiając, w strukturze dwójnika, źródła sterowane niezmienione. Niezależne źródła napięciowe zastępujemy przy tym zwarciami, a niezależne źródła prądowe rozwarciami.
Przykład 3.2. Wyznaczmy opór zastępczy widziany z zacisków AB dwójnika źródłowego (rys.3.3a).
Rys.3.3. Dwójnik źródłowy i jego postać bezźródłowa
W najprostszej postaci dwójnika bezźródłowego zachodzi:
RAB = =
=
Problem równoważności pojawia się w przypadku niezależnych źródeł rzeczywistych, których opisy przedstawione zostały zależnościami (2.63) i (2.64), przy czym dla prądu stałego maja one postać:
U = E - Rw I, I =J - U/Gw | (3.3) |
Rozwiązując drugie równanie (3.3) względem napięcia U oraz porównując je z pierwszym zauważymy, że równania te będą identyczne względem obu zmiennych I,U wtedy i tylko wtedy, gdy:
Rw = 1/Gw, E = Rw J | (3.4) |
Równości (3.4) stanowią warunki równoważności źródeł. Przy spełnieniu tych warunków źródło napięciowe i źródło prądowe są równoważne (rys.3.4), bowiem można je opisać tym samym równaniem.
Rys.3.4. Równoważne źródła rzeczywiste
Oznacza to, że dla dowolnego obciążenia R jest obojętne (będzie płynął w nim ten sam prąd i pojawi się na nim to samo napięcie), czy jest ono zasilane ze źródła napięciowego, czy z równoważnego mu źródła prądowego. Korzystamy z tego często w praktyce zastępując jeden rodzaj źródła równoważnym mu drugim rodzajem źródła.
Przed wprowadzeniem do analizy układów metod przekształceń należy rozważyć najprostsze układy oporowe jakimi są dzielniki.
A. Dzielniki oporowe
Definicja 3.4. Dzielnikiem napięcia nazywamy układ dwóch oporów połączonych szeregowo (rys.3.5a), który dzieli napięcie wejściowe (zasilania) na napięcia na poszczególnych oporach.
Rys.3.5. Dzielniki oporowe: a) napięcia, b) prądu
Jeżeli na układ podamy napięcie U, to przez jego zaciski popłynie prąd:
I = ![]() | (3.5) |
który na oporach R1 i R2 wywołuje napięcia:
U1 = R1 I, U2 = R2 I | (3.6) |
Podstawiając (3.5) do wzorów (3.6) otrzymamy związki:
U1 = ![]() ![]() | (3.7) |
wyrażające napięcia U1 oraz U2 na oporach dzielnika od napięcia zasilającego U i wartości R1 i R2 . Napięcie U jest więc w układzie "podzielone" na napięcia U1 i U2 w stosunku określonym przez ilorazy oporów występujące we wzorach (3.7).
Definicja 3.5. Dzielnikiem prądu nazywamy układ dwóch oporów połączonych równolegle (rys.3.5b), który dzieli prąd wejściowy (zasilania) na prądy w poszczególnych oporach.
Jeżeli przez zaciski tego połączenia płynie prąd I, to powstaje na nim napięcie:
U = ![]() | (3.8) |
Napięcie U jest zarazem napięciem na R1 i na R2, a wiec:
I1 = ![]() ![]() | (3.9) |
Podstawiając zależność (3.8) do wzorów (3.9) otrzymany związki:
I1 = ![]() ![]() | (3.10) |
wyrażające prądy I1 oraz I2 w elementach dzielnika od prądu dopływającego i wartości oporów.
Umiejętne posługiwanie się wzorami opisującymi dzielniki umożliwia w bardzo wielu przypadkach wyraźne uproszczenie analizy układów.
Przykład 3.3. W układzie pokazanym na rys.3.6 obliczyć napięcie U na oporze R4 korzystając z dzielników napięcia.
Rys.3.6. Układ do przykł. 3.3
Obliczamy najpierw napięcie U2 na oporze R2
U2 = E =
E,
a następnie napięcie U2 jest ponownie dzielone w dzielniku utworzonym z oporów R3 i R4:
U = U2 =
B. Metoda zamiany źródeł
Metoda ta znajduje jedynie zastosowanie w układach o strukturach szeregowo-równoleglych. Metoda ta polega na zamianie (w ogólnym przypadku wielokrotnej) niezależnych rzeczywistych źródeł napięciowych na równoważne źródła prądowe (lub odwrotnie) oraz na ich odpowiednim łączeniu. Kolejność zamiany źródeł i kolejność ich łączenia wynikają ze struktury układu. W połączeniu szeregowym elementów należy do połączeń stosować postacie źródeł napięciowych, a przy równoległym postacie źródeł prądowych. W rezultacie kolejnych łączeń otrzymujemy coraz to prostsze układy równoważne ze względu na obliczany prąd lub napięcie. W końcu dochodzimy do obwodu w którym szukaną wielkość możemy wyznaczyć bezpośrednio.
Praktyczne zastosowanie metody zamiany źródeł pokazane zostanie na przykładzie.
Przykład 3.4. W układzie przedstawionym na rys. 3.7 obliczyć prąd I płynący w oporze 6 kW.
Rys. 3.7. Układ do przykładu 3.4
Źródło prądowe ze względu na połączenie szeregowe zamieniamy na równoważne źródło napięciowe (rys.3.7b) i po tej zamianie łączymy szeregowo źródła napięciowe (rys.3.7c). Teraz zamieniamy oba źródła napięciowe połączone równolegle na źródła prądowe i łączymy je (rys.3.7d). Po przejściu do postaci napięciowej w prosty sposób można obliczyć szukany prąd.
Metoda zamiany źródeł daje się stosować także w takich przypadkach układów o podanej wyżej strukturze, kiedy znajdują się w nich źródła sterowane, pod warunkiem jednak, ze w przekształceniach nie biorą udziału gałęzie, w których występują wielkości sterujące.
W stosunku do układów liniowych o dowolnej strukturze (nie tylko szeregowo-rownoleglej ale i również mostkowej), w których występują co najmniej dwa źródła niezależne można zastosować inną metodę analizy. Jest nią metoda superpozycji.
Twierdzenie 3.1. Prąd (lub napięcie) w wyróżnionej gałęzi układu liniowego, w którym występuje kilka źródeł niezależnych, można obliczyć jako sumę prądów (lub napięć) wywołanych w tej gałęzi przez każde z tych źródeł z osobna.
Działanie z osobna jednego ze źródeł niezależnych wiąże się z tym, ze wszystkie pozostałe niezależne źródła napięciowe zastępujemy zwarciami a prądowe rozwarciami. Źródła można również łączyć w grupy, z tym zastrzeżeniem, że każde z nich występuje w układzie tylko jeden raz. Należy podkreślić, że wszystkie występujące w układzie źródła sterowane należy pozostawić bez zmian.
W praktyce metoda ta sprowadza się do analizy kilku podukładów rozpatrywanego układu, w każdym z których działa jedno lub grupa źródeł niezależnych, a pozostałe są usunięte. Po usunięciu tych źródeł otrzymuje się z reguły układ znacznie prostszy dla przykładu z układu o strukturze mostkowej może powstać układ o strukturze szeregowo-rownoległej.
Przykład 3.5. W układzie pokazanym na rys.3.8a działają dwa źródła niezależne: napięciowe o SEM E = 24 V i prądowe o wydajności prądowej J = 1,2 A. Opór ma wartość R = 1 W. Obliczyć prąd I.
Rys. 3.8. Układ z dwoma źródłami niezależnymi
Korzystając z zasady superpozycji otrzymuję dwa układy (rys.3.8b) dla których:
I = I1 + I2
Poszczególne prądy są równe :
w pierwszym układzie I1 =
=
=
A
w drugim układzie I2 = = 0,6 A (ze względu na symetrię układu)
Ostatecznie: I = 2,4 + 0,6 = 3 A
Kolejny przykład pokazuje zastosowanie metody superpozycji do układu o strukturze mostkowej.
Przykład 3.6. W układzie jak na rys. 3.9. działają trzy źródła niezależne: E1 = 45V, E2 = 30V i J = 30 mA. Wartości oporów wynoszą: R1 = 6 kW, R2 = 2 kW, R3 = 4 kW, R4 = 12 kW. Obliczyć wartość prądu I w oporze R4.
Rys. 3.9. Układ o strukturze mostkowej
Zgodnie z zasada superpozycji otrzymujemy trzy odrębne układy, które maja już struktury szeregowo-równoległe i szukany prąd I jest suma trzech prądów płynących przez R4 w poszczególnych układach:
w pierwszym I1 = = 3 mA
w drugim I2 = - E2 mA
w trzecim I3 = J mA
Ostatecznie otrzymamy: I = I1 + I2 + I3 = 3 - 1 + 2 = 4 mA.
Koncepcję równoważności dwójników można rozszerzyć na dowolne liniowe oporowe dwójniki źródłowe i wykorzystać ją do obliczania prądu lub napięcia w wyróżnionej gałęzi układu. Równoważny dwójnik może mieć postać zastępczego źródła napięciowego lub zastępczego źródła prądowego.
Twierdzenie 3.2. Twierdzenie o zastępczym źródle napięciowym - twierdzenie Thevenina
Dowolny liniowy dwójnik oporowy jest równoważny rzeczywistemu źródłu napięciowemu (rys.3.10) o parametrach: sile elektromotorycznej ET i oporze wewnętrznym RT, przy czym:
- siła elektromotoryczna ET jest równa napięciu na rozwartych zaciskach dwójnika UAbr
ET = UAbr | (3.11) |
- opór wewnętrzny RT jest równy oporowi zastępczemu RAB widzianemu z zacisków AB dwójnika bezźródłowego otrzymanego w wyniku zastąpienia w rozważanym układzie wszystkich niezależnych źródeł napięciowych zwarciami i wszystkich niezależnych źródeł prądowych rozwarciami
RT = RAB | (3.12) |
Rys. 3.10. Zastępcze źródło napięciowe inaczej źródło Thevenina
Przykład 3.7. Dla układu z rys.3.3 wyznaczymy zastępcze źródło Thevenina.
Przy rozwarciu zacisków AB dwójnika z rys. 3.3a równania wynikające z praw Kirchhoffa mają postać:
UABr = R I0 + E - b R I0 I0 + J + b I0 =0
a po przekształceniach:
UABr = E + (1 - b) R I0 I0 =
Podstawiając wartość prądu do równania napięciowego otrzymamy:
UABr = E +
Ponieważ opór zastępczy dwójnika bezźródłowego wyznaczyliśmy w przykl.3.2, to parametry zastępczego źródła Thevenina są równe:
ET = UABr = E + oraz RT = RAB =
Warto również zauważyć , że zastępcze źródło napięciowe uzyskane w przykł. 3.4 (rys.3.7e), o wartościach E = 8 V i R = 2 kW, jest zastępczym źródłem Thevenina dla dwójnika obciążonego oporem 6 kW, w którym szukamy wartości płynącego prądu I.
Z przeprowadzonych rozważań wynika, że prąd (lub napięcie) w wyróżnionym obciążeniu (oporze R0) (rys.3.11) nie ulegnie zmianie, jeżeli cały układ na lewo od zacisków AB zastąpimy zastępczym źródłem Thevenina o parametrach zgodnych z wzorami (3.11) i (3.12). Dla układu zastępczego zachodzą następujące związki:
I = ![]() ![]() ![]() | (3.13) |
Rys.3.11. Równoważność układów w oparciu o twierdzenie Thevenina
Bardzo istotnym zastosowaniem metody Thevenina jest wykorzystanie jej w układach mostkowych. W tych strukturach usuniecie obciążenia (rozwarcie zacisków AB) usuwa konieczność stosowania przekształcenia "trójkąt - gwiazda". Przypadek ten zostanie zilustrowany na przykladzie.
Przykład 3.8. Stosując metodę Thevenina wyznaczymy prąd I płynący w przekątnej układu mostkowego (rys.3.12a) oraz podamy warunki, kiedy ten prąd przyjmuje wartość zero.
Rys. 3.12. Układ mostkowy
Do wyznaczenia zastępczego źródła napięciowego:
UABr = U2 - U1 =
RAB =
Prąd I wyznaczymy ze schematu zastępczego (rys.3.12a)
I =
Warunek, dla którego I = 0 jest następujący R2R4 = R1R3, co oznacza, że iloczyny oporów gałęzi leżących naprzeciw siebie musza być równe.
Ze względu na zasadę równoważności rzeczywistych źródeł napięciowego i prądowego istnieje drugie podejście do wprowadzenia źródła zastępczego, którym jest zastępcze źródło prądowe.
Twierdzenie 3.3. Twierdzenie o zastępczym źródle prądowym - twierdzenie Nortona
Dowolny liniowy dwójnik oporowy jest równoważny rzeczywistemu źródłu prądowemu (rys.3.13) o parametrach: wydajności prądowej JN i przewodności wewnętrznej GN, przy czym:
- wydajność prądowa JN jest równa prądowi zwarcia zaciskach dwójnika IAbz
JN = IAbz | (3.14) |
- przewodność wewnętrzna GN jest równa przewodności zastępczej GAB widzianej z zacisków AB dwójnika bezźródłowego otrzymanego w wyniku zastąpienia w rozważanym układzie wszystkich niezależnych źródeł napięciowych zwarciami i wszystkich niezależnych źródeł prądowych rozwarciami
GN = GAB | (3.15) |
Rys. 3.13. Zastępcze źródło prądowe, inaczej źródło Nortona
Wyznaczenie zastępczego źródła Nortona zilustrujemy na przykładzie.
Przykład 3.9. Dla układu z rys.3.3 wyznaczymy zastępcze źródło Nortona.
Po zwarciu zacisków AB dwójnika otrzymujemy układ jak na rys.3.14, a równania prądowe mają postać:
IABz + b I0 + I1 = 0 J + I0 - I1 = 0
Z drugiego równania wyznaczam I1 i wstawiam do równania pierwszego. Otrzymamy wtedy
IABz = J - (1 + b) I0
Do wyznaczenia prądu I0 posłużymy się napięciowym prawem Kirchhoffa
R I0 + E + R ( J + I0 ) = 0 stąd I0 = -
Po podstawieniu tej wartości do wzoru na IAbzuzyskujemy
IAbz =
Przewodność dwójnika GAB jest odwrotnością oporu widzianego z te samej pary zacisków.
Ostatecznie parametry zastępczego źródła Nortona wynoszą:
JN = IAbz = oraz GN = GAB =
Metoda analizy układów , wykorzystująca źródło Nortona sprowadza się do stwierdzenia, że: napięcie (lub prąd ) na wyróżnionym obciążeniu (rys.3.14) nie ulegnie zmianie, jeżeli usuniemy obciążenie, a za pozostały układ o zaciskach AB wprowadzimy zastępcze źródło Nortona zgodnie z twierdz. 3.3.
Rys. 3.14. Równoważność układów w oparciu o twierdzenie Nortona
Z układu równoważnego wynika:
U = =
lub I =
Zauważmy praktyczny związek jaki zachodzi dla parametrów źródeł zastępczych:
JN = ![]() ![]() | (3.16) |
oraz wynikającą z nich zależność na opór zastępczy dwójnika RAB, widziany z zacisków AB:
RAB = ![]() | (3.17) |
W praktycznych zastosowaniach metod źródeł zastępczych w analizie układów pojawia się problem wyboru między metoda Thevenina i metodą Nortona. Nie ma żadnych reguł przesądzających o wyższości jednej z nich nad drugą. Można tylko stwierdzić, że złożoność metody zależy od struktury analizowanego układu. Przy przewadze połączeń szeregowych względem zacisków AB prościej jest wyznaczyć napięcie na rozwartych zaciskach i zastosować metodę Thevenina. Natomiast przy przewadze połączeń równoległych względem wybranych zacisków łatwiej jest obliczyć prąd zwarcia tych zacisków i stosować metodę Nortona.
Omówione dotychczas metody analizy są użyteczne, gdy interesuje nas prąd (lub napięcie) w wyróżnionej gałęzi. Analiza układu polega jednak bardzo często na obliczeniu prądów lub napięć we wszystkich gałęziach układu. Mówimy wtedy o wyznaczeniu rozpływu prądów lub rozkładu napięć w układzie. W takich przypadkach znacznie efektywniejsze są metody sieciowe analizy, do których zaliczamy metodę prądów obwodowych i metodę napięć węzłowych.
Podstawy metod sieciowych określa się na gruncie właściwości strukturalnych układów. Charakterystyczne pojęcia występujące w opisie sieciowym to: gałąź, węzeł i obwód zamknięty (obwód). Pojęcia te zdefiniowane zostały w wykładzie II pkt.2. i będziemy się nimi posługiwali.
A. Równania gałęziowe
Gałąź (rys.3.15a) jest taką częścią struktury sieci (układu w opisie sieciowym), w którym wyróżniono prąd I oraz napięcie U, zwane odpowiednio prądem gałęziowym i napięciem gałęziowym. Gałąź w ujęciu sieciowym jest odpowiednikiem dwójnika.
Rys. 3.15. Ogólna postać gałęzi
Definicja 3.6. Równania wiążące napięcia gałęziowe Uk z prądami gałęziowymi Ik, odpowiednio dla wszystkich gałęzi k = 1,2,..., g, nazywamy równaniami gałęziowymi.
Gałąź może mieć postać napięciową (rys.3.15b) i jej równanie ma postać:
Uk = Rk Ik - Ek | (3.18) |
Drugą postacią gałęzi jest postać prądowa (3.15c) i wówczas równanie zapisuje się następująco:
Ik = Gk Uk + Jk = ![]() | (3.19) |
W stosunku do gałęzi zakładamy, że Rk ¹ 0 oraz Gk ¹ 0. W pewnych przypadkach może zachodzić: Ek = 0 lub Jk = 0, co oznacza, że w gałęzi występuje tylko opór.
Przykład 3.10. Rozważmy sieć przedstawiona na rys. 3.16., która zawiera g = 6 gałęzi (o numerach k = 1,2,...,6) w = 4 węzły (A,B,C,D) i jest siecią o m = 1 (jednoczęściową). Poszczególne gałęzie mają postać jak na rysunku.
Rys.3.16. Układ o 6 gałęziach w opisie sieciowym
Równania gałęziowe dla tej sieci maja postać:
U1 = R1 I1 - E1 U3 = R3 I3 U5 = R5 I5 - E5
U2 = R2 I2 - E2 U4 = R4 I4 U6 = R6 I6
B. Równania równowagi
Dla każdego węzła sieci musi być spełnione prądowe prawa Kirchhoffa (PPK). Podzbiór w-m równań jest zbiorem równań niezależnych. Podzbiór ten ma właściwość, że każdy z prądów Ik występuje co najmniej jeden raz w którymś z równań. Wynika stąd wniosek, że dla sieci możemy zapisać w-m równań z g niewiadomymi prądami Ik. Równania te noszą nazwę prądowych równań równowagi sieci. Zbiór węzłów dla których zapisano równania nazywamy węzłami niezależnymi, a pozostałe węzłami odniesienia.
Z drugiej strony dla każdego obwodu sieci musza być spełnione napięciowe prawa Kirchhoffa (NPK). W zbiorze wszystkich równań wynikających z NPK można wyróżnić na rożne sposoby liczbę g - w + m równań niezależnych z g niewiadomymi napięciami gałęziowymi Uk o tej właściwości, że każde napięcie występuje co najmniej raz w którymś z tych równań. Równania te nazywamy napięciowymi równaniami równowagi. Zbiór obwodów, dla których zapisano równania równowagi nazywamy zbiorem obwodów niezależnych. Z praktycznego punktu widzenia zbiorem obwodów niezależnych sieci jest zbiór jej oczek.
Wniosek podsumowujący: dla sieci o g gałęziach, w węzłach i m częściach daje się zapisać g równań równowagi sieci z 2g niewiadomymi prądami I1,...,Ig oraz napięciami U1,...,Ug, przy czym jest to w-m równań prądowych dla węzłów niezależnych i g -w + m równań napięciowych dla oczek.
Tworzenie równań równowagi pokażemy na następującym przykładzie.
Przykład 3.11. Rozważmy powtórnie sieć z rys.3.16. Ponieważ w - m = 3, to przyjmując węzeł D za węzeł odniesienia, prądowymi równaniami równowagi będą równania PPK dla węzłów: A,B i C. Sieć zawiera g - w + m = 3 obwody niezależne, to mogą być nimi trzy oczka O1,O2 i O3. Równania NPK dla tych oczek tworzą napięciowe równania równowagi. Zbiór równań równowagi jest zatem następujący:
Węzły niezależne - PPK | Oczka - NPK |
(A) I1 - I2 - I6 = 0 | (O1) U1 + U2 + U3 = 0 |
(B) I2 - I3 - I4 = 0 | (O2) - U3 + U4 + U5 = 0 |
C. Pełny opis sieciowy
Do zbioru równań równowagi, których jest razem g o liczbie niewiadomych 2g prądów gałęziowych i napięć gałęziowych, należy dołączyć g równań gałęziowych opisujących strukturę gałęzi, a jednocześnie wiążących prąd gałęziowy z napięciem gałęziowym w poszczególnych gałęziach. Bilans równań i niewiadomych wynosi wówczas 2g. Podstawiając równania gałęziowe do napięciowych równań równowagi otrzymamy układ g równań na g prądów gałęziowych, z których można wyznaczyć rozpływ prądów w sieci. Podobnie uwzględniając równania gałęziowe w prądowych równaniach równowagi uzyskamy układ g równań na g niewiadomych napięć gałęziowych, z których można wyznaczyć rozkład napięć w sieci.
W kolejnym przykładzie utworzony zostanie pełny opis sieciowy układu.
Przykład 3.12. Rozważając układ z rys.3.16 stworzymy pełny opis sieciowy. Mając rozwiązania dotyczące równań równowagi sieci (przykł. 3.11) wstawmy do nich równania gałęziowe (przykł. 3.10). Na podstawie równań napięciowych otrzymamy układ równań dla wszystkich prądów:
I1 - I2 - I6 = 0, I1 - I2 - I6 = 0, I4 - I5 + I6 = 0
R1 I1 + R2 I2 + R3 I3 = E1 + E2
- R3 I3 + R4 I4 + R5 I5 = E5
- R2 I2 - R4 I4 + R6 I6 = - E2
Natomiast po wstawieniu równań gałęziowych do równań prądowych uzyskamy układ równań dla wszystkich napięć:
U1 + U2 + U3 = 0, - U3 + U4 + U5 = 0, - U2 - U4 + U6 = 0
G1 U1 - G2 U2 - G6 U6 = - G1 E1 + G2 E2
G2 U2 - G3 U3 - G4 U4 = - G2 E2
G4 U4 - G5 U5 + G6 U6 = G5 E
gdzie Gk = 1/Rk dla k = 1,...,6.
W rozpatrywanych przykładach 3.10 - 3.12 sieć zawiera g = 6 gałęzi . Wyznaczenie rozpływu prądów lubi rozkładu napięć na podstawie pełnego opisu sieciowego sprowadza się do rozwiązania układu sześciu równań z sześcioma niewiadomymi. W ogólnym przypadku metoda ta wymaga rozwiązania g równań z g niewiadomymi, co przy sieciach wielogałęziowych metoda ta związana jest z dużym nakładem obliczeniowym. Dalsze rozważania muszą prowadzić do znacznego zmniejszenia liczby równań niezbędnych do znalezienia rozwiązania.
D. Metoda prądów obwodowych
Zakładamy, że każda gałąź sieci ma postać napięciową (rys.3.15b) i odpowiedni opis przedstawiony przez (3.18). Do zmniejszenia liczby równań sieciowych wprowadzamy jako niewiadome tzw. prądy obwodowe.
Definicja 3.7. Prądami obwodowymi (oczkowymi) nazywamy umowne prądy, które zamykają się w obwodach (oczkach) układu, o zwrotach zgodnych z przyjętym i jednakowym we wszystkich obwodach (oczkach) układu kierunkiem ich obiegu.
Za pomocą tych prądów można bez trudu wyrazić prądy gałęziowe. Prąd Ik jest sumą algebraiczną (z uwzględnieniem zwrotów) prądów obwodowych tych obwodów (oczek) do których gałąź ta jednocześnie należy.
Przykład 3.13. Wyraźmy prądy gałęziowe w gałęziach układu z rys. 3.16 przez prądy oczkowe.
W tym układzie mamy trzy oczka zatem występują odpowiednio trzy prądy oczkowe IO1, IO2, IO3. Prądy gałęziowe wyrażają się następująco:
I1 = - IO1 I4 = - IO2 + IO3
I2 = - IO1 + IO3 I5 = - IO2
I3 = - IO1 + IO2 I6 = - IO3
Jeżeli skorzystamy ze związków miedzy prądami gałęziowymi a prądami obwodowymi, to po wprowadzeniu ich do opisu sieciowego prądowe równania równowagi staną się tożsamościami, a napięciowe równania równowagi przejdą w równania obwodowe. Liczba równań zmniejszy się z liczby g do liczby g - w + m < g. Złożoność obliczeniowa w ten sposób ulega zmniejszeniu.
Przykład 3.14. Dokonajmy podstawienia związków miedzy prądami gałęziowymi a prądami oczkowymi (przykł. 3.13) do równań równowagi (przykł.3.12) układu z rys.3.16.
Prądowe równania przyjmują postać:
- IO1 + IO1 - IO3 + IO3 = 0, - IO1 + IO3 + IO1 - IO2 + IO2 - IO3 = 0, - IO2 + IO3 + IO2 - IO3 = 0
i staja się tożsamościami, a napięciowe równania równowagi tworzą układ trzech równań oczkowych z trzema niewiadomymi:
oczko
(O1) (R1 + R2 + R3) IO1 - R3 IO2 - R2 IO3 = - E1 - E2
(O2) - R3 IO1 + (R3 +R4 + R5) IO2 - R4 IO3 = - E5
(O3) - R2 IO1 - R4 IO2 + (R2 +R4 + R6) IO3 = E2
Otrzymane równania obwodowe można zapisać prościej w postaci macierzowej, która pozwoli później na uogólnienie i wprowadzenie formy uproszczonej metody prądów obwodowych. Równanie w postaci macierzowej można zapisać:
O1 O2 O3 | |
![]() |
![]() |
RO IO EO |
lub w postaci ogólnej:
RO IO = EO | (3.20) |
Występujące w równaniu macierzowym (3.20) wektory IO i EO są nazywane odpowiednio wektorem prądów obwodowych i wektorem sił elektromotorycznych obwodowych. Macierz RO jest nazywana macierzą oporów obwodowych. Dla układów o liczbie cyklomatycznej (obwodów niezależnych):
k = g - w + m | (3.21) |
wektory IO i EO maja wymiary (k,1), a macierz RO ma wymiar (k,k). Równanie (3.20) staje się podstawowym równaniem w metodzie prądów obwodowych. Od jego zapisu rozpoczyna się proces analizy.
Wobec założenia postaci napięciowej wszystkich gałęzi omawiana macierz i wektory wykazują pewne prawidłowości, co pozwala na utworzenie ich ze schematu układu, bez odwoływania się do równań równowagi. Przy założeniu ponumerowania obwodów sieci indeksem i = 1,..., k reguła tworzenia wektora EOjest następująca:
Przy tym samym założeniu i przyjęciu jednakowego kierunku obiegu we wszystkich obwodach macierz oporów obwodowych RO = [ Rij ], i,j = 1,...,k, jest macierzą symetryczną o elementach:
Podsumowując proces analizy można zalgorytmizować i doprowadzić do następujących kroków:
IO = RO-1 EO | (3.22) |
Mając te rozwiązania nie trudno znaleźć również rozkład napięć w sieci, posługując się równaniami gałęziowymi (3.18).
E. Metoda napięć węzłowych
Zakładamy, że każda gałąź sieci ma postać prądową (rys.3.15c) i odpowiedni opis przedstawiony przez (3.19). Do zmniejszenia liczby równań sieciowych wprowadzamy jako niewiadome tzw. napięcia węzłowe. W tym celu należy wybrać m węzłów odniesienia (po jednym w każdej z m - części układu) i stworzyć z pozostałych zbiór węzłów niezależnych.
Definicja 3.8. Napięciami węzłowymi nazywamy różnice potencjałów pomiędzy węzłem niezależnym a węzłem odniesienia.
Najczęściej potencjał węzła odniesienia przyjmuje się umownie za zerowy i napięcia węzłowe są wtedy napięciami węzłów niezależnych. Liczba tych napięć wynosi w - m . Za pomocą napięć węzłowych można bez trudu wyrazić napięcia gałęziowe dla wszystkich gałęzi. Napięcie Uk gałęzi k - tej jest różnicą napięcia węzłowego węzła początkowego k - tej gałęzi i napięcia węzłowego węzła końcowego tej gałęzi.
Przykład 3.15. Wyraźmy napięcia gałęziowe od napięć węzłowych w układzie z rys. 3.17, który został utworzony na podstawie układu z rys.3.16 przez zamianę postaci napięciowej na postać prądową gałęzi.
W tym układzie mamy trzy węzły niezależne A,B,C. Za węzeł odniesienia przyjęty został węzeł D. Napięciami węzłowymi są : UA, UB, UC. Napięcia gałęziowe w zależności od napięć węzłowych wyrażają się następująco:
U1 = - UA U4 = UB - UC
U2 = UA - UB U5 = UC
U3 = UB U6 = UA - UC
Jeżeli skorzystamy ze związków miedzy napięciami gałęziowymi a napięciami węzłowymi, to po wprowadzeniu ich do opisu sieciowego napięciowe równania równowagi staną się tożsamościami, a prądowe równania równowagi przejdą w równania węzłowe. Liczba równań zmniejszy się z liczby g do liczby w + m < g. Złożoność obliczeniowa w widoczny sposób zostaje zmniejszona.
Przykład 3.16. Dokonajmy podstawienia relacji miedzy napięciami gałęziowymi a napięciami węzłowymi (przykł. 3.15) do równań równowagi (przykł.3.12) układu z rys.3.16.
Napięciowe równania przyjmują postać:
- UA + UA - UB + UB = 0, - UB + UB - UC + UC = 0, - UA + UB - UB +- UC + UA - UC = 0
i staja się tożsamościami, a pradowe równania równowagi tworzą układ trzech równań węzłowych z trzema niewiadomymi:
węzeł
(A) (G1 + G2 +G6) UA - G2 UB - G6 UC = J1 - J2
(B) - G2 UA + (G2 + G3 + G4) UB - G4 UC = J 2
(C) - G6 UA - G4 UB + (G4 + G5 + G6) UC = - J5
Otrzymane równania węzłowe można zapisać prościej w postaci macierzowej, która pozwoli później na uogólnienie i wprowadzenie formy uproszczonej metody napięć węzłowych. Równanie w postaci macierzowej ma postać:
A B C |
![]() |
Gw Uw Jw |
lub w postaci ogólnej:
Gw Uw = Jw | (3.23) |
Występujące w równaniu macierzowym (3.23) wektory Uw i Jw są nazywane odpowiednio wektorem napięć węzłowych i wektorem wydajności prądowych węzłowych. Macierz Gw jest nazywana macierzą przewodności węzłowych. Dla układów o liczbie węzłów w i liczbie części układu m wektory UO i Jw maja wymiary (w-m,1), a macierz Gw ma wymiar (w-m,w-m).
Równanie (3.23) staje się podstawowym równaniem w metodzie napięć węzłowych. Od jego zapisu rozpoczyna się proces analizy. Wobec założenia postaci prądowej wszystkich gałęzi omawiana macierz i wektory wykazują pewne prawidłowości, co pozwala na utworzenie ich ze schematu układu, bez odwoływania się do równań równowagi. Przy założeniu ponumerowania węzłów niezależnych sieci indeksem i = 1,..., w-m reguła tworzenia wektora Jw jest następująca:
Przy tym samym założeniu macierz przewodności węzłowych Gw = [ Gij], i,j = 1,...,k, jest macierzą symetryczną o elementach:
Prowadząc pełny proces analizy można zalgorytmizować i doprowadzić do następujących kroków:
Uw = Gw-1 Jw | (3.24) |
Mając te rozwiązania nie trudno znaleźć również rozplyw pradow w sieci, posługując się równaniami gałęziowymi (3.19).
Na zakończenie tego punktu dokonamy porównania sieciowych metod analizy. Podstawowym kryterium wyboru metody jest stopień złożoności obliczeniowej. Z praktycznego punktu widzenia wybieramy metodę, która będzie prostsza pod względem obliczeniowym. Ponieważ najbardziej pracochłonnym krokiem jest obliczanie macierzy odwrotnej, to o wyborze decyduje rząd macierzy RO i Gw. Wnioski są następujące i oczywiste:
następny punkt » |