« poprzedni punkt | następny punkt » |
Przed wprowadzeniem opisu immitancyjnego dwójników rozważymy związki miedzy napięciem i prądem na pojedynczych elementach R,L i C, w przypadku wymuszenia sinusoidalnie zmiennego.
Opór
Do zacisków oporu R, jak na rys.4.3a, przyłożono napięcie
uR = Um cos w t | (4.26) |
Wartość prądu wynika z zależności
![]() | (4.27) |
dla której amplituda prądu jest
![]() | (4.28) |
Rys. 4.3. Analiza przebiegów napięcia i prądu na oporze R
W przypadku wymuszenia prądowego
iR = Im cos w t | (4.29) |
napięcie wyraża się wzorem
uR = R i = R Im cos w t = Um cos w t | (4.30) |
przy czym amplituda napięcia jest
Um = R Im | (4.31) |
Z porównania przebiegów wynika też, że na oporze napięcie i prąd są proporcjonalne ze współczynnikiem R i w fazie (przesunięcie fazowe miedzy nimi j = 0). Na rys. 4.3b pokazano wykresy czasowe napięcia i prądu.
Przyjmując w opisie zespolonym, dla przebiegu (4.26), amplitudę zespoloną
UR = Um ej0 | (4.32) |
otrzymuje się na podstawie (4.5)
![]() | (4.33) |
lub dla amplitudy napięcia
![]() | (4.34) |
Wykres wektorowy amplitud zespolonych prądu i napięcia pokazano na rys. 4.3c.
Indukcyjność
Do zacisków indukcyjności L, jak na rys.4.4a, przyłożono napięcie
uL = Um cos w t | (4.35) |
Rys.4.4 Analiza napięć i prądów na indukcyjności L
Wartość prądu wynika z zależności
![]() | (4.36) |
dla której amplituda prądu jest równa
![]() | (4.37) |
i przesunięcie fazowe prądu
![]() | (4.38) |
W przypadku wymuszenia prądowego
iL = Im cos w t | (4.39) |
napięcie wyraża się wzorem
![]() | (4.40) |
W tym przypadku amplituda napięcia
Um = w L Im | (4.41) |
a przesunięcie fazowe napięcia
![]() | (4.42) |
Z porównania przebiegów wynika też, że na indukcyjności napięcie i prąd są przesunięte w fazie o kąt ± p /2. Miedzy amplitudami napięcia i prądu współczynnik proporcjonalności jest w L, a prądu i napięcia 1/w L. Na rys. 4.4b pokazano wykresy czasowe napięcia i prądu.
Przyjmując w opisie zespolonym, dla przebiegu (4.35), amplitudę zespoloną
UL = Um ej0 | (4.43) |
otrzymuje się na podstawie (W4.6 - 4.7)
![]() | (4.44) |
lub dla amplitudy napięcia
![]() | (4.45) |
Wykres wektorowy amplitud zespolonych prądu i napięcia pokazano na rys. 4.4c.
Pojemność
Do zacisków pojemności C, jak na rys.4.5a, przyłożono napięcie
uC = Um cos w t | (4.46) |
Rys.4.5 Analiza napięć i prądów na pojemności C
Wartość prądu wynika z zależności
![]() | (4.47) |
co prowadzi do równości dla amplitud
Im = w C Um | (4.48) |
oraz faz
![]() | (4.49) |
W przypadku wymuszenia prądowego
iL = Im cos w t | (4.50) |
napięcie wyraża się wzorem
![]() | (4.51) |
Wówczas amplituda napięcia jest
![]() | (4.52) |
a faza
![]() | (4.53) |
Z porównania przebiegów wynika też, że na pojemności prąd i napięcie są przesunięte w fazie o kąt odpowiednio ± p /2. Miedzy amplitudami prądu i napięcia współczynnik proporcjonalności jest w C, a i napięcia i prądu 1/w C. Na rys. 4.5b pokazano wykresy czasowe napięcia i prądu.
Przyjmując w opisie zespolonym, dla przebiegu (4.46), amplitudę zespoloną
UC = Um ej0 | (4.54) |
otrzymuje się na podstawie (4.6 - 4.7)
IC = j w C UC | (4.55) |
oraz
![]() | (4.56) |
Wykres wektorowy amplitud zespolonych prądu i napięcia pokazano na rys. 4.5c.
Równania (4.34), (4.45) oraz (4.56) w dziedzinie zespolonej mają wspólną cechę, a mianowicie wyrażają amplitudę zespoloną napięcia od amplitudy zespolonej prądu.
Definicja 4.3. Zespolone współczynniki proporcjonalności amplitud zespolonych napięć i prądów przyjmują odpowiednio wartości:
![]() ![]() ![]() | (4.57) |
i noszą nazwę impedancji elementu, wyrażanej w omach [W].
W stosunku do równań (4.33), (4.44) i (4.55) istnieje podobna własność, mówiąca o odwrotności tego stosunku amplitud.
Definicja 4.4. Zespolone współczynniki proporcjonalności pomiędzy amplitudami zespolonymi prądów i napięć na elementach:
![]() ![]() ![]() | (4.58) |
noszą nazwę admitancji elementów i wyrażają się w simensach [S].
Spośród tych wartości impedancja i admitancja oporu ma wyłącznie część rzeczywistą (przyjmuje wartości rzeczywiste), a impedancje i admitancje indukcyjności i pojemności mają tylko cześć urojoną (przyjmują wartości czysto urojone).
Przedstawione wyżej definicje (4.57) i (4.58) można traktować jako rozszerzenie prawa Ohma dla elementów w opisie zespolonym.
Obecnie pojecie impedancji i admitancji poszczególnych elementów układu rozszerzymy na dowolne dwójniki (rys.4.6).
Definicja 4.5. Impedancją dwójnika nazywamy stosunek amplitudy zespolonej napięcia panującego na jego zaciskach do prądu płynącego przez dwójnik i oznaczamy
![]() | (4.59) |
Impedancja dwójników SLS jest funkcją zespoloną pulsacji w.
Rys. 4.6. Dwójnik
Definicja 4.6. Cześć rzeczywistą impedancji R(w) ³ 0 nosi nazwę rezystancji dwójnika, a część urojona impedancji X (w ) - reaktancji dwójnika, która może przyjmować zarówno wartości dodatnie jak i ujemne.
Jednostka impedancji oraz rezystancji i reaktancji jest om [W].
Impedancję możemy zapisać w innej postaci
![]() | (4.60) |
przy czym moduł i argument wyrażają się wzorami
![]() ![]() | (4.61) |
Wartości argumentu impedancji ograniczone są do przedziału , a zatem impedancja przyjmuje wartości z prawej półpłaszczyzny zmiennej zespolonej (wraz z osią urojoną).
Składowe impedancji tworzą trójkąt impedancji (rys.4.7). W przypadku X(w
) > 0 argument jest dodatni j
>
0 i dwójnik ma charakter indukcyjny. Natomiast jeżeli X(w
) < 0, to j
<
0 i dwójnik ma charakter pojemnościowy. Dla X(w
) = 0 dwójnik przyjmuje charakter rezystancyjny (rzeczywisty).
Rys. 4.7. Trójkąt impedancji dwójnika
Dla przypadku R(w
) =0 dwójnik nosi nazwę dwójnika reaktancyjnego i jest to dwójnik bezstratny.
Przykład 4.4. Na zaciskach dwójnika panuje napięcie V
i prąd A
(z przykl.4.2.) Wyznaczyć jego impedancję oraz rezystancję i reaktancję.
Zgodnie z (4.59)
[W]
R = 20 cos 26050' = 17,85 W, X = 20 sin 26050' = 9,03 W
Prawa łączenia impedancji są takie same jak prawa łączenia oporów.
Definicja 4.7. Admitancją dwójnika (rys.4.6) nazywamy stosunek amplitudy zespolonej prądu płynącego w dwójniku do amplitudy zespolonej napięcia panującego na jego zaciskach i oznaczamy
![]() | (4.62) |
Admitancja dwójników SLS jest funkcją zespoloną pulsacji w i jest odwrotnością impedancji
![]() | (4.63) |
Definicja 4.8. Cześć rzeczywistą admitancji G(w ) ³ 0 nosi nazwę konduktancji dwójnika, a część urojona admitancji B (w ) - susceptancji dwójnika, która może przyjmować zarówno wartości dodatnie jak i ujemne.
Jednostką admitancji oraz konduktancji i susceptancji jest simens [S].
Admitancję możemy zapisać w innej postaci
![]() | (4.64) |
przy czym moduł i argument wyrażają się wzorami
![]() ![]() | (4.65) |
Wartości argumentu admitancji ograniczone są do przedziału , a zatem admitancja przyjmuje wartości z prawej półpłaszczyzny zmiennej zespolonej (wraz z osią urojoną). Składowe admitancji tworzą trójkąt admitancji (rys.4.8). W przypadku B(φ) > 0 argument jest dodatni φ
>
0 i dwójnik ma charakter pojemnościowy. Natomiast jeżeli B(φ) < 0, to φ
<
0 i dwójnik ma charakter indukcyjny. Dla B(φ) = 0 dwójnik przyjmuje charakter konduktancyjny (rzeczywisty).
Rys.4.8. Trójkąt admitancji dwójnika
Dla przypadku G(w
) =0 dwójnik nosi nazwę dwójnika konduktancyjnego i jest to dwójnik bezstratny.
Prawa łączenia admitancji są takie same jak prawa łączenia przewodności.
Przykład 4.5. Na zaciskach dwójnika panuje napięcie i prąd o wartościach jak w przykł.4.4. Wyznaczyć jego admitancję oraz konduktancję i susceptancję.
Zgodnie z (4.62)
S
G = 0,05 cos 26050' = 0,045 S, B = - 0,05 sin 26050' = 0,023 S.
Na podstawie (4.63) admitancję dwójnika można wyznaczyć na podstawie znanej jego impedancji. Zachodzi bowiem
![]() | (4.66) |
a więc
![]() ![]() | (4.67) |
Dla wspólnego określenia funkcji impedancji lub admitancji stosuje się termin immitancji dwójnika. Pojęcia tego używa się w celu zwrócenia uwagi na jedną z tych funkcji, nie wyszczególniając o którą chodzi w rozważanym problemie.
« poprzedni punkt | następny punkt » |