« poprzedni punkt |
Definicja 3.9. Nieliniowymi układami prądu stałego nazywamy układy zbudowane z idealnych źródeł napięciowych i prądowych, których parametry są stale w czasie oraz z elementów oporowych, wśród których co najmniej jeden jest elementem nieliniowym.
Element oporowy jest nieliniowy jeżeli jego charakterystyka jest opisana równaniem nieliniowym o postaci:
fR (u,i) = 0 | (3.25) |
Nieliniowe układy oporowe prądu stałego opisane są równaniami algebraicznymi, z których przynajmniej jedno jest równaniem nieliniowym. Ze względu na nieliniowy charakter układu równań, w analizie nie mogą znaleźć zastosowania pojęcia i metody wykorzystywane w analizie układów liniowych. Nie można się posługiwać pojęciem oporu zastępczego dwójnika , bowiem zależy on od punktu pracy, który w tym momencie jest nieznany. Nie znajdują zastosowania wzory na dzielniki, metody zamiany źródeł, metody superpozycji oraz metody źródeł zastępczych. Można je tylko wykorzystywać do uproszczeń w części liniowej układu.
Widać stad, że analiza układów nieliniowych wymaga stosowania odmiennych metod niż w przypadku układów liniowych. Metody analityczne maja w odniesieniu do tych układów ograniczony zasięg. Tylko w nielicznych przypadkach, przy prostych funkcjach opisujących, udaje się rozwiązać równania analitycznie do końca. Z reguły są to skomplikowane obliczenia i często prowadzi to do równań przestępnych. W takich przypadkach konieczne staje się skorzystanie z metod graficznych, graficzni-analitycznych bądź też numerycznych.
Na prostych przykładach pokazane zostaną metody analityczne analizy i łatwe metody graficzne.
Metoda analityczna polega na analitycznym rozwiązaniu równań nieliniowych opisujących układ nieliniowy. Jest możliwa, gdy charakterystyki elementów nieliniowych są prostymi funkcjami doprowadzającymi do równań nieliniowych dających się w sposób analityczny rozwiązać.
Najprostszymi układami nieliniowymi są takie układy, które zawierają jeden element nieliniowy. W takim przypadku korzystnie jest przyjąć ten element za obciążenie części liniowej, której zastąpienie znajdziemy metodami źródeł zastępczych np. przez źródło Thevenina. W stosunku do uproszczonej postaci układu (rys.3.18) sprowadzonej do postaci obwodu, można przeprowadzić rozwiązanie analityczne.
Rys. 3.18. Schemat zastępczy układu z jednym oporem nieliniowym
Przykład 3.17. Wyznaczmy prąd I płynący przez element nieliniowy w układzie jak na rys. 3.19a.
Do obliczeń przyjęto następujące dane: E = 5 V, R = 10 W, b = 3 A/A; charakterystyka oporu nieliniowego RN : u = a i 3, a = 2 V/A3.
Liniową cześć układu zastępujemy źródłem Thevenina o parametrach:
ET = UAB = = 4 V oraz RT = RAB =
= 2 W
W otrzymanym układzie zastępczym (rys.3.19b): ET = RT I + U i po podstawieniu U = a I3 mamy:
Rys. 3.19. Układ nieliniowy i jego schemat zastępczy
a I3 + RT I - ET = 0, a wstawieniu wartości; I3 + I - 2 = 0.
Rozwiązaniem rzeczywistym tego równania jest : I = 1 A.
Spośród metod analitycznych rozróżniamy dwie: metodę prostej oporu i metodę charakterystyk łącznych.
A. Metoda prostej oporu
W przypadku analizy układu nieliniowego metodą prostej oporu należy układ sprowadzić do prostej postaci zastępczej pokazanej na rys.3.18. Dla tego układu musi być określona charakterystyka elementu nieliniowego np. o postaci ( 3.25) i znany jej wykres. W układzie zastępczym obowiązuje równanie
UN = ET - RT IN | (3.26) |
które jest zależnością pierwszego stopnia względem zmiennych UN oraz IN. Wykreślając na jednym układzie współrzędnych krzywą, będąca charakterystyka oraz prostą (3.26) i wyznaczając ich punkt przecięcia otrzymujemy poszukiwane rozwiązanie, a więc punkt pracy P (UNP, INP). Przy przyjętym strzałkowaniu napięcia i prądu prosta o równaniu (3.26) jest jednocześnie charakterystyka dwójnika źródłowego ET, RT. Prostą ta najprościej się wyznacza przez punkty odcięcia z osiami:
IN = 0, to UN = ET oraz UN = 0 to IN = ![]() | (3.27) |
Przykład 3.18. Układ z przykł. 3.17 rozwiążemy metoda prostej oporu.
Na jednym układzie współrzędnych wyznaczymy charakterystykę oporu nieliniowego RN : u = a i 3 oraz odcinek prostej o współrzędnych: (0, 2 A) i (4 V, 0). Punkt przecięcia tych krzywych jest P(2V, 1 A) jest poszukiwanym rozwiązaniem.
Rys. 3.20. Rozwiązanie metodą prostej oporu
Metoda prostej oporu znajduje praktyczne zastosowanie przy wyznaczaniu punktu pracy na charakterystykach tranzystorów.
B. Metoda charakterystyki łącznej
Metoda charakterystyki łącznej polega na konstrukcji charakterystyki wypadkowej elementów połączonych ze sobą w sposób szeregowo-równoległy. Zasady szeregowego i równoległego połączenia oporów nieliniowych są takie same jak przedstawiono w wykładzie II 6.3. Dla połączenia szeregowego dwóch elementów konstrukcja charakterystyki łącznej jest następująca:
u = f1 ( i ) + f2 ( i ) | (3.28) |
W przypadku połączenia równoległego dwóch elementów konstrukcja charakterystyki łącznej ma postać:
i = j 1 ( u ) + j 2 ( u ) | (3.29) |
Przy połączeniu większej liczby elementów działania się powtarza z dalszym elementem. W przypadkach mieszanych połączeń stosuje się jedną z dwóch konstrukcji odpowiednio do rodzaju połączenia. Proces ten trwa tak długo, aż sprowadzi się układ nieliniowy do obwodowej postaci zastępczej. Rozwiązanie takie zastępczego układu jest już proste.
« poprzedni punkt |