« poprzedni punkt  następny punkt »


2. Reprezentacja funkcji boolowskich za pomocą map Karnaugha

Dotychczas omawialiśmy zasadę budowy map Karnaugha i jej właściwości. Teraz pokażemy w jaki sposób można reprezentować funkcje logiczne za pomocą map Karnaugha. Przede wszystkim przypomnijmy, że poszczególnym pozycjom kodów pól możemy przypisać argumenty funkcji. Przykład pokazano na rysunku II.7.

Rys. II.7. Powiązanie między argumentami funkcji a kodem pola

Argumenty a i b odpowiadają odpowiednio pozycjom kodu wiersza natomiast argumenty c i d odpowiadają odpowiednio pozycjom kodu kolumny. Ten sposób przyporządkowania argumentów kodom wierszy i kolumn jest zaznaczony w opisie mapy Karnauha u góry z lewej strony. (Naturalnie możliwe jest inne przyporządkowanie argumentów kodom wierszy i kolumn.) Przy takiej konwencji, jeżeli w pełnym iloczynie czterech zmiennych, występującym w postaci kanonicznej sumacyjnej, występuje zmienna , to pole reprezentujące ten iloczyn musi być jednym z pól znajdujących się w dwóch dolnych wierszach mapy Karnaugha. Gdyby w iloczynie występowała negacja zmiennej , to pole reprezentujące iloczyn byłoby w górnych dwóch wierszach. Podobnie w przypadku pozostałych argumentów. Na rysunku II.8 poglądowo zaznaczono przypisanie argumentów odpowiednim wierszom lub kolumnom.

Rys. II.8. Przypisanie argumentów wierszom albo kolumnom w mapie Karnaugha

Na rysunku II.9 pokazano przykłady pełnych iloczynów i odpowiadające im pola w mapie Karnaugha.

Rys. II.9. Przykłady odwzorowywania pełnych iloczynów na pola w mapie Karnaugha

Załóżmy, że funkcja boolowska jest opisana za pomocą tablicy prawdy. Można zauważyć, że dla każdej kombinacji zmiennych z tablicy prawdy w odpowiedniej mapie Karnaugha (o takiej samej liczbie zmiennych) istnieje pole o takim samym kodzie dwójkowym. Stąd wniosek, że wartości funkcji z tablicy prawdy można przenieść do odpowiednich pól mapy Karnaugha. Należy przy tym uważać na sposób zapisania (kolejność) argumentów w tablicy prawdy i w mapie Karnaugha. Przykład pokazano na rysunku II.10.

Rys. II.10. Reprezentacja funkcji boolowskiej czterech zmiennych za pomocą: a) tablicy prawdy, b) mapy Karnaugha

Na rysunku II.11 pokazano przykłady przedstawiania w postaci mapy Karnaugha funkcji zapisanych w postaci kanonicznej sumacyjnej, odpowiednio o trzech i czterech argumentach

Rys. II.11. Przykłady przedstawiania za pomocą mapy Karnaugha funkcji boolowskich zapisanych w postaci kanonicznej sumacyjnej. a) Funkcja o trzech argumentach, b) funkcja o czterech argumentach

Funkcja boolowska nie zawsze jest zapisana w postaci kanonicznej. Jak wtedy przenieść ją do mapy Karnaugha? Najprościej jest sprowadzić funkcje do postaci kanonicznej. Można to zrobić korzystając z reguły, którą można łatwo uzasadnić za pomocą praw algebry Boole'a przypomnianych w pierwszym rozdziale

Zastosujmy tę regułę do niepełnego iloczynu , w którym nie występuje zmienna . Otrzymamy, że .
(W tym przekształceniu oraz ).

Przykład

Przedstawić funkcję trzech zmiennych w postaci kanonicznej sumacyjnej oraz za pomocą mapy Karnaugha.

Najpierw przekształcamy funkcję do postaci kanonicznej, korzystając trzy razy z podanej wyżej reguły

Teraz możemy już przejść do mapy Karnaugha. Można jednak zauważyć, że otrzymana postać funkcji jest tożsama z funkcją z rysunku II.11a.


« poprzedni punkt  następny punkt »