następny punkt »


1. WSKAŹNIKI POŁOŻENIA DYSKRETNEJ ZMIENNEJ LOSOWEJ

Podstawowym wskaźnikiem położenia zmiennej losowej są wartość średnia i mediana.

Definicja

Wartością średnią ( wartością oczekiwaną) dyskretnej zmiennej losowej X o funkcji prawdopodobieństwa p(x), xÎ {x1, x2, ... }, nazywamy liczbę

     

W przypadku, gdy zmienna losowa przyjmuje skończoną liczbę różnych wartości x1, x2, ..., xk, powyższą sumę rozumiemy jako sumę k składników, wówczas

     

Oprócz m X używamy też oznaczeń E(X) lub m gdy wiemy, o którą zmienną losową chodzi.

Przykłady

Pytanie kontrolne

Zmienna losowa X ma dystrybuantę F postaci

Oblicz m X.

Zobacz odpowiedź

Czasem interesują nas zmienne losowe, które są funkcjami od zmiennych losowych, tzn. postaci Y=f(X), gdzie f jest funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze wartości zmiennej losowej X.

Przykład

W zależności od liczby wykonanych projektów informatycznych miesięczny dochód firmy (w tys. zł.) jest zmienną losową X mającą funkcję prawdopodobieństwa p określoną tabelą

x

100

200

300

p(x)

0,4

0,4

0,2

Dochód netto po odliczeniu podatku i innych kosztów jest zmienną losową Y = 0,9X - 20. Obliczymy średni miesięczny dochód netto, czyli m Y.

Zauważmy, że Y=f(X), gdzie f(x)=0,9x - 20. Funkcja f jest różnowartościowa. Zatem każdej wartości x przyjmowanej przez zmienną losową X odpowiada dokładnie jedna wartość y=0,9x- 20 zmiennej losowej Y. Zatem znajdujemy funkcję prawdopodobieństwa pY zmiennej Y

x

100

200

300

y=0,9x- 20

70

160

250

p(x)=pY(y)

0,4

0,4

0,2

m Y = 70´ 0,4 + 160´ 0,4 + 250´ 0,2 = 142.

Średni miesięczny dochód netto wynosi 142000 zł.

Pytanie kontrolne

x

- 1

0

1

2

p(x)

0,1

0,3

0,1

0,5

Znajdź pY - funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y=X2 oraz m Y.

Zobacz odpowiedź

Wartość średnią m Y=m f(X) zmiennej losowej Y=f(X), gdzie X jest dyskretną zmienną losową można obliczyć wykorzystując poniższe twierdzenie.

Twierdzenie

Jeśli X jest dyskretną zmienną losową o rozkładzie prawdopodobieństwa

(x1, p(x1)), (x2, p(x2)), ... , (xK, p(xK)),

a f: { x1, x2, ... , xK} ® R1 jest funkcją rzeczywistą, to zmienna losowa f(X) ma wartość średnią

gdzie K=¥, jeśli X przyjmuje nieskończoną przeliczalną liczbę wartości lub K=k, gdy X przyjmuje k różnych wartości.

Dowód

Jeśli f jest różnowartościowa, to wzór wynika z definicji wartości średniej dla zmiennej Y=f(X), ponieważ P(Y=f(xi)) = p(xi).

W ogólnym przypadku trzeba wykorzystać własności prawdopodobieństwa.

Przykłady

Zatem wartość średnia Y nie istnieje w tym przykładzie.

Pytanie kontrolne

Zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa p określoną tabelą

x

- 1

0

1

3

p(x)

0,1

0,1

0,2

0,6

Oblicz wartość średnią zmiennej losowej Y = 2X2 + 4.

Zobacz odpowiedź

Definicja

Poniższe przykłady ilustrują fakt, że mediana nie musi być jednoznacznie określona.

Przykłady

Twierdzenie

Jeśli q0,5 = q0,5(X) jest medianą zmiennej losowej X, oraz a>0,
bÎ (- ¥, ¥), to liczba aq0,5(X)+b jest medianą zmiennej losowej Y=aX+b.

Dowód

Jeśli a>0, to dla dowolnego xÎ (- ¥, ¥) zdarzenia {aX+b £ ax+b}, {X £ x} są tymi samymi zdarzeniami. Zatem, ponieważ dystrybuanta jest odpowiednim prawdopodobieństwem, mamy

     FY(ax+b) = FX(x).

Wykorzystując definicję mediany zmiennej losowej Y widać, że liczba aq0,5(X)+b jest medianą zmiennej Y.

Wymienimy jeszcze raz zauważone własności wartości średniej i mediany.

Własności wartości średniej zmiennej losowej X:

Własności mediany zmiennej losowej X:


 następny punkt »