« poprzedni punkt 


4. ROZKŁAD CZĘSTOŚCI

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Bernoulli'ego, tzn.

      P(X=1) = p, i P(X=0) = q = 1- p.

W zastosowaniach często p´ 100% oznacza procent elementów badanej populacji posiadających określoną własność. Wówczas p nazywamy proporcją lub wskaźnikiem struktury.

Niech X1, X2, ..., Xn będzie prostą próbą losową z rozkładu zmiennej X (Xi = 1 (0) jeśli i-ty wylosowany element ma (nie ma) określoną własność). Zmienną losową

nazywamy częstością wystąpienia (elementów o danej własności) w prostej próbie losowej. Pamiętajmy, że jest funkcją próby, a zatem również jej liczności, choć nie uwidocznione to jest w zapisie.

Z prawa wielkich liczb wynika, że

     

dla liczności próby dążącej do nieskończoności dla dowolnego dodatniego e. Rozkład otrzymujemy na podstawie twierdzenia Moivre'a-Laplace'a. Ponieważ ESn=np i Var(Sn)=np(1- p), to mamy

Ponieważ Xi jest zmienną dyskretną (przyjmuje tylko dwie wartości) przy przybliżaniu rozkładu średniej przez rozkład normalny stosujemy poprawkę. Z twierdzenia Moivre'a-Laplace'a mamy:

gdy n® ¥ , oraz na mocy wzoru (2)

Prawdziwe jest też:

Twierdzenie

Dla dowolnych liczb a, b, a ≤ b,

Zadanie

W populacji dorosłych Polaków 30% ma kłopoty ze snem. Oszacować prawdopodobieństwo, że wśród 160 losowo wybranych dorosłych Polaków nie więcej niż 50 osób ma kłopoty ze snem.


« poprzedni punkt