następny punkt » |
Definicja
Zmienną losową X nazywamy ciągłą zmienną losową, jeśli istnieje nieujemna funkcja f, zwana gęstością, taka że dla dowolnych a, b, - ¥ £ a £ b £ ¥,
Zauważmy, że funkcja
jest dystrybuantą zmiennej losowej X, gdyż F(x) = P(X£ x), dla każdego x. Ponadto, mamy proste
Stwierdzenie 1
Dowód
(1) P({sÎ S: X(s)Î (- ¥, ¥ )}) = P(S) = 1
(2) Wynika bezpośrednio z definicji, lub z następującego faktu: jeśli całka z funkcji f po dowolnym przedziale [a, b] jest nieujemna, to funkcja f jest nieujemna: f(x)³ 0 dla każdego x
(3) co jest bezpośrednią konsekwencją definicji całki oznaczonej.
Stwierdzenie 2
Dla ciągłej zmiennej losowej o dystrybuancie F zachodzi
P(a<X<b) = P(a<X£ b) = P(a£ X<b) = P(a£ X£ b) = F(b)- F(a).
Dowód
Z (3) P(X=b) = P(X=a) = 0. Zatem dołączenie lub usunięcie brzegu przedziału nie wpływa na wartość prawdopodobieństwa, np.
[a, b] = (a, b) È {a} È {b} pociąga, że
P(a£ X£ b) = P(a<X£ b) + P(X=a) = P(a<X<b) + P(X=a) +P(X=b).
Zatem fakt, że F(b)- F(a) = P(a<X£ b) oraz (3) i własności prawdopodobieństwa kończą dowód.
Uwaga
Funkcja gęstości określa rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej, tzn. wszystkie prawdopodobieństwa zdarzeń {sÎ S:X(s)Î B}={XÎ B}:
gdzie BÌ (- ¥, ¥) jest dowolnym podzbiorem zbioru wartości ciągłej zmiennej losowej X.
Przykład
Dla jakiej wartości stałej A funkcja
jest gęstością zmiennej losowej?
Na mocy stwierdzenia 1 gęstość f musi spełniać:
(1) f(x)³0. Stąd A³0. Ponadto (2)Z (1) i (2) otrzymujemy A = 3.
Twierdzenie
Jeśli gęstość zmiennej losowej X jest funkcją ciągłą, to dla każdego x zachodzi
F¢ (x) = f(x).
Dowód
Wykorzystujemy własność całki
Zatem: F¢ (x) = f(x).
Przykład
Zmienna losowa X ma gęstość
Znajdziemy dystrybuantę F(x), xÎ (- ¥, ¥).
Dystrybuanta F może być zatem zapisana w postaci
W szczególności możemy obliczyć wielkości:
P( X > 1) = 1 - P(X£ 1) = 1 - F(1) = 0,5,
Przykład
Niech gęstość f zmiennej losowej X ma postać
Znajdziemy:
Stąd C = 3/4.
Niech 0 £ x £ 1. Wówczas
F(1) = P(X £ 1) = 1. Stąd F(x) = 1, dla x ³ 1, ponieważ dystrybuanta jest funkcją niemalejącą i ograniczoną z góry przez 1. Ostatecznie mamy
Powyższy wynik możemy uzyskać szybciej wykorzystując definicję dystrybuanty:
P(X > 0,2) = 1 - P(X £ 0,2) = 1 - F(0,2) = 1 - 0,152 = 0,848.
= 0,848 / 0,92475 = 0,917.
następny punkt » |