następny punkt » |
Zajmiemy się teraz problemem obliczania wartości oczekiwanej Eg(X,Y), gdzie g jest pewną funkcją rzeczywistą dwóch argumentów.
Definicja
Wartością oczekiwaną (średnią) zmiennej losowej g(X,Y) nazywamy
gdy X, Y są dyskretne,
gdy X, Y są ciągłe.
Uwaga
Dla g(X,Y)=X lub g(X,Y)=Y otrzymujemy wartości oczekiwane brzegowych zmiennych losowych X lub Y, gdyż
Analogicznie otrzymujemy
Stwierdzenie
Niech c będzie dowolną stałą, a g(X,Y), g1(X,Y), g2(X,Y) zmiennymi losowymi jednowymiarowymi. Wówczas
E[c g(X,Y)] = c E[g(X,Y)],
E[g1(X,Y) + g2(X,Y)] = E[g1(X,Y)] + E[g2(X,Y)].
W szczególności, dla g1(X,Y)=X i g2(X,Y)=Y ostatnia równość ma postać
E( X + Y ) = EX + EY.
Stwierdzenie
Jeśli zmienne losowe X, Y są niezależne, to
E( X Y ) = EX ∙ EY.
Dowód
Niezależność zmiennych oznacza, że dla dowolnych x i y
f(x,y) = fX(x) fY(y).
Stąd i z definicji wartości oczekiwanej mamy
(a) (zmienne dyskretne)
czyli dla g(x,y) = x·y mamy
(b) (zmienne ciągłe) Dowód analogiczny - Sumowanie należy zastąpić całkowaniem.
Analogicznie uzasadnia się fakt ogólniejszy
Stwierdzenie
Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to dla dowolnych funkcji g i h
E( g(X) h(Y ) ) = E g(X) E h(Y).
Przykład
Niech (X,Y) będzie parą niezależnych zmiennych losowych takich, że X ma rozkład wykładniczy z parametrem l =2, a Y ma rozkład normalny N(0, 2). Obliczyć E(X Y 2).
Na podstawie twierdzenia
E(X Y 2) = EX EY 2 = 1/2 × 4 = 2,
gdyż E(Y 2) = Var Y + (EY )2 = 22 + 02 = 4.
następny punkt » |