« poprzedni punkt  następny punkt »


3. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA RÓŻNICY WARTOŚCI ŚREDNICH DWÓCH ROZKŁADÓW NORMALNYCH

Niech

     

będą dwiema niezależnymi prostymi próbami losowymi odpowiednio z rozkładów normalnych N(m1,s1) oraz N(m2,s2) i zostały pobrane niezależnie od siebie.

Sytuacja 3.

Załóżmy, że znane są odchylenia standardowe s 1, s 2 w odpowiednich populacjach.

Średnie z obu prób losowych są niezależnymi zmiennymi losowymi odpowiednio o rozkładach normalnych

Z własności rozkładu normalnego wynika, że ma rozkład normalny. Obliczmy średnią i wariancję tego rozkładu.

Zatem dokonując standaryzacji (odejmując od jej wartość średnią i dzieląc przez odchylenie standardowe) otrzymamy

     

Postępując dokładnie tak samo jak w przypadku jednej próby (przedział ufności miał postać

otrzymamy przedział ufności dla m 1 - m 2 na poziomie ufności 1- a :

Sytuacja 4.

Załóżmy, że nieznane są odchylenia standardowe s1, s2. Konstrukcję przedziału ufności przeprowadzimy w szczególnym przypadku, gdy nieznane odchylenia standardowe są równe, s1=s2=s. Z analizy sytuacji 3 wiemy, że

(przypominamy, że wariancje w obu populacjach są równe s2).

Podstawowym problemem jest skonstruowanie estymatora wariancji s2 na podstawie obu prób łącznie. W tym celu liczymy sumę kwadratów odchyleń od średniej próbkowej w pierwszej próbie

     

i dodajemy do analogicznej sumy dla drugiej próby

     

Otrzymujemy w ten sposób połączoną (ang. "pooled") sumę kwadratów. Estymator s2 otrzymamy dzieląc ją przez sumę liczności prób n1+n2 pomniejszoną o 2

     

(indeks p pochodzi od "pooled").

Na podstawie (3) odchylenie standardowe będziemy szacować przez

     

Okazuje się, że jeśli we wzorze określającym Z zastąpimy s przez Sp otrzymamy statystykę

     

mającą rozkład Studenta z n1+n2- 2 stopniami swobody.

Analogicznie jak w modelu 3 otrzymujemy przedział ufności dla m 1 - m 2 na poziomie ufności 1- a :

gdzie:

jest kwantylem rzędu 1- a /2 rozkładu t Studenta z n1+ n2 −2 stopniami swobody.

Przykład

Dla realizacji 2 niezależnych prób losowych z rozkładów normalnych otrzymano:

Znajdziemy 90% przedział ufności dla różnicy wartości średnich tych rozkładów.

sp=7,249, a =0,1, 1- a /2=0,95, n1+n2-2=22 to liczba stopni swobody, t0,95, 22=1,717,


« poprzedni punkt  następny punkt »