« poprzedni punkt  następny punkt »


5. ROZKŁADY WARUNKOWE

(a) Niech (X,Y) będzie dyskretną zmienną losową mającą funkcję prawdopodobieństwa f(x,y).

     Niech y - ustalone oraz fY(y) > 0, tzn. y jest jedną z wartości zmiennej Y.

Definicja

Korzystając z definicji f(x,y) i fY(y) otrzymujemy

Tak więc dla dyskretnej zmiennej losowej (X,Y) wartość warunkowej funkcji prawdopodobieństwa f(x | y) określona jest po prostu jako prawdopodobieństwo warunkowe, że X=x pod warunkiem Y=y.

Analogicznie:

     

Notacja:

f(x|y) = fX|Y(x|y),

f(y|x) = fY|X(y|x).

(b) Niech (X,Y) będzie ciągłą zmienną losową o łącznej gęstości f(x,y).

Niech y - ustalone oraz fY(y) > 0.

Definicja

Warunkową gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X pod warunkiem, że Y=y nazywamy funkcję

     

Przykład (kontynuacja)

Obliczyliśmy, że

Niech - 1 £ y £ 1, y - ustalone.

f(x | y) = 0, dla xÏ [- 1, 1].

Uwaga

Analogicznie określamy rozkład warunkowy zmiennej losowej Y pod warunkiem X = x. Mianowicie

gdzie y - dowolna wartość Y, x - ustalone, takie że fX(x) > 0.

Notacja:

f(y|x) = fY|X(y|x),

f(x|y) = fX|Y(x|y).

Przykład (kontynuacja)

(a) Znaleźć rozkład brzegowy zmiennej Y, liczby punktów uzyskanych w II etapie teleturnieju przez losowo wybranego uczestnika.

(b) Wyznaczyć rozkład warunkowy Y pod warunkiem, że w I etapie uzyskano 2 punkty, tzn. X = 2.

y

x

     0

     1

     2

     

0

     0,5

     0,05

     0,01

1

     0,2

     0,1

     0,06

2

     0,02

     0,03

     0,03

(a) Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y otrzymamy sumując prawdopodobieństwa w odpowiedniej kolumnie tabeli prawdopodobieństw

fY(y) = f(0,y) + f(1,y) + f(2,y). Stąd

y

0

1

2

fY(y)

0,72

0,18

0,1

(b)


« poprzedni punkt  następny punkt »