« poprzedni punkt  następny punkt »


2. PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Eksperyment Karla Pearsona (1857-1936) polegał na wykonaniu 24000 rzutów monetą i zaobserwowaniu liczby orłów. Oznaczmy:

N = (24000) liczba rzutów monetą, n = liczba orłów w N rzutach. Częstość wystąpienia orła wyniosła n/N = 0,5005.

Jeśli moneta jest "symetryczna", to intuicyjnie stwierdzimy, że szansa (prawdopodobieństwo) wyrzucenia orła w jednym rzucie wynosi 0,5, jest więc bliska zaobserwowanej częstości w opisanym eksperymencie. Doświadczenie Pearsona ilustruje empiryczny fakt, że szansa zajścia zdarzenia A jest równa granicznej częstości wystąpienia A przy nieograniczenie rosnącej liczbie powtórzeń doświadczenia losowego.

Stąd też własności granicy pozwalają nam postulować podstawowe własności prawdopodobieństwa podane w definicji poniżej, które ze względu na ich ważność nazywamy aksjomatami.

Definicja (aksjomaty prawdopodobieństwa)

Jeżeli każdemu zdarzeniu A przyporządkowana jest liczba oznaczana symbolem P(A) oraz spełnione są aksjomaty (A1), (A2) oraz (A3), to mówimy, że określone jest prawdopodobieństwo zdarzeń P(A), A Ì S.

(A1) Dla każdego A, AÌ S

0 £ P(A) £ 1

(A2) P(S) = 1, P(Æ ) = 0

(A3) Jeśli zdarzenia A1, A2, A3, ... wzajemnie się wykluczają, to

P(A1È A2È A3È ... ) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ...

W szczególności dla skończonej liczby zdarzeń wykluczających się zachodzi równość

P(A1È A2È ... È An) = P(A1) + P(A2) + ... +P(An).

Stwierdzenie (jednakowo prawdopodobne wyniki doświadczenia)

Niech S = {s1, s2, ... , sM}, M jest ustaloną liczbą naturalną. Wówczas

Przykład

Obliczymy P(A), gdzie A oznacza wypadnięcie orła po raz pierwszy za trzecim razem w trzech rzutach monetą symetryczną. Zakładamy, że każdy rezultat trzech rzutów jest jednakowo prawdopodobny.

S = {OOO, OOR,ORO, ROO, ORR, ROR, RRO, RRR}. Liczebność S = 23 = 8, liczebność A = 1. Zatem

P(A) = 1/8.

Uwaga

Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń będących podzbiorami skończonej przestrzeni zdarzeń elementarnych ułatwiają wzory obliczeniowe kombinatoryki, np.

jest liczbą możliwych sposobów wyborów k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego, przyjmujemy 0! = 1.

Przykład

Liczba możliwych wyborów 2 asów z talii 52 kart wynosi

jest liczbą k-elementowych wariacji bez powtórzeń n-elementowego zbioru, k £ n, k różnych elementów można rozmieścić na n różnych pozycjach na V(n,k) sposobów.

Przykład

Ile jest możliwych sposobów opuszczenia windy przez 5 osób w bloku 10-cio piętrowym w taki sposób, że nie ma osób wysiadających na tych samych piętrach?

V(10,5) = 10 ´ 9 ´ 8 ´ 7 ´ 6 = 30240.

Przykład (KM, str. 77)

Losujemy 5 kart z talii 52 kart (np. w pokerze). Zakładamy, że wylosowanie każdego zestawu pięciu kart jest jednakowo prawdopodobne. Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania pięciu pików wynosi

Prawdopodobieństwo wylosowania 4 kart tej samej wysokości wśród pięciu wybranych kart wynosi

Prawdopodobieństwo, że wśród pięciu kart wybranych z talii 52 kart znajdą się 2 pary tej samej wysokości (np. para waletów i para asów, ale nie 4 asy) wynosi

Liczbę możliwych wyborów 5-ciu kart z talii 52 kart, wśród których są 2 pary tej samej wysokości ustaliliśmy następująco:

Z definicji prawdopodobieństw zdarzeń (aksjomaty (A1) - (A3)) wynikają ważne własności prawdopodobieństw zdarzeń, które ułatwiają ich obliczanie. Podane są one w poniższych trzech twierdzeniach.

Twierdzenie

Niech A Ì S. Wówczas P(A') = 1 − P(A).

Dowód

Na mocy (A3) i (A2) mamy

Przykład

Prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednego orła w trzech rzutach monetą symetryczną wynosi 1 - 1/8 = 7/8.

Twierdzenie

Niech A Ì S i B Ì S oraz A Ì B. Wówczas P(A) ≤ P(B).

Dowód

B = A È (BA) oraz A Ç (BA) = Æ.

Na mocy (A3) mamy

P(B) = P(A) + P(BA) ≥ P(A), bo P(BA) ≥ 0.

Twierdzenie

Niech A Ì S i B Ì S. Wówczas P(A È B) = P(A) + P(B) − P(A Ç B).

Dowód

A È B = (A Ç B) È (AB) È (BA)

jest sumą trzech zdarzeń wzajemnie się wykluczających. Stąd oraz z (A3)

P( A È B) = P(A Ç B) + P(AB) + P(BA)      (1)

Ponadto wykorzystując własności działań na zbiorach mamy

A = A Ç S = A Ç (B È B') = (A Ç B) È (A Ç B').

Stąd wykorzystując (A3) otrzymujemy

bo

Zatem

więc podobnie

Podstawiając prawe strony powyższych dwu równości do (1) otrzymujemy tezę twierdzenia.


« poprzedni punkt  następny punkt »