« poprzedni punkt  następny punkt »


2. WSKAŹNIKI ROZPROSZENIA DYSKRETNEJ ZMIENNEJ LOSOWEJ

Najważniejszymi charakterystykami rozproszenia zmiennej losowej są wariancja, odchylenie standardowe i rozstęp międzykwartylowy.

Definicja

Zauważmy, że

Wynika to z twierdzenia o wartości średniej funkcji od zmiennej losowej.

Wariancja jest miarą rozproszenia wartości zmiennej losowej względem jej wartości średniej.

Innym oznaczeniem wariancji jest symbol Var(X).

Twierdzenie

Dowód

Wniosek

Bezpośrednio z twierdzenia otrzymujemy

Pytanie kontrolne

Zmienna losowa X jest liczbą wyrzuconych orłów w trzech niezależnych rzutach monetą symetryczną. Oblicz wariancję wyrzuconych orłów.

Zobacz odpowiedź

Pytanie kontrolne

Zmienna losowa X ma wariancję s 2X = 9. Oblicz wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej Y = 4 X + 5.

Zobacz odpowiedź

Przykład

Porównajmy wariancje dwu zmiennych losowych X i Y mających funkcje prawdopodobieństwa określone tabelami

x

- 1

0

1

PX(x)

1/3

1/3

1/3

y

- 3

0

3

PY(y)

1/3

1/3

1/3

Obliczymy łatwo, że

m X = m Y = 0,

Wartości zmiennej losowej Y są bardziej rozproszone wokół zera niż wartości zmiennej losowej X.

Definicja

Miarą rozproszenia wartości zmiennej losowej X są też: rozstęp międzykwartylowy

IQR = q0,75 - q0,25

oraz odchylenie przeciętne od wartości średniej

Obliczmy teraz wartości poznanych wskaźników rozproszenia dla "trywialnej" zmiennej losowej, tzn. dla stałej, powiedzmy c.

Mamy p(c) = P(X=c) = 1. Stąd m X = c. Zatem obliczamy:

s 2X = E(X- c)2 = (c- c)2 p(c) = 0,

s X = 0,

E( | X- m X |) = E( | c- c| )= E(0) = 0.

Dystrybuanta stałej ma postać

Dla 0 < p < 1 mamy zatem qp = c. Stąd też rozstęp międzykwartylowy stałej wynosi 0.

Zgodnie z intuicją, wszystkie wskaźniki rozproszenia zmiennej losowej, która jest stałą są równe 0.

Zauważmy, że jeśli zmienna losowa przyjmuje co najmniej dwie różne wartości z dodatnimi prawdopodobieństwami, to

Ponieważ gdyby s 2X = 0, to x1 = x2 = ... = xK = m X, co przeczy założeniu x1 ¹ x2 ¹ ... ¹ xK.

Udowodniliśmy proste stwierdzenie

Stwierdzenie

s 2X = 0 Û P(X=c) = 1 dla pewnej stałej c.

Podobne stwierdzenie zachodzi dla odchylenia przeciętnego, ale nie rozstępu międzykwartylowego (dlaczego?)

Definicja

Niech kÎ {1, 2, ... }.

W szczególności:


« poprzedni punkt  następny punkt »