« poprzedni punkt | następny punkt » |
Zajście jednego zdarzenia może wpływać na zajście innego zdarzenia. Zastanowimy się w jaki sposób określić prawdopodobieństwo P(B|A) zajścia zdarzenia B pod warunkiem, że zaszło zdarzenie A?
Niech przestrzeń zdarzeń elementarnych będzie skończona, a prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń elementarnych mają jednakowe prawdopodobieństwa. Zatem S = {s1, s2, ... , sM},
P({si}) = 1 / M, i=1,2, ... ,M. Niech A Ì
S i B Ì
S, oraz n(A), n(B), n(AÇ
B) oznaczają liczności zdarzeń elementarnych sprzyjających odpowiednim zdarzeniom czyli liczności zbiorów
A, B, AÇ
B. Intuicyjnie P(B|A) powinno w tym przypadku być równe stosunkowi n(AÇ
B) do n(A).
W szczególności
Wyżej określone prawdopodobieństwo warunkowe uogólniamy na przypadek dowolnej przestrzeni probabilistycznej.
Definicja
Niech A Ì S i B Ì S, P(A) > 0. Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B pod warunkiem zajścia zdarzenia A dane jest wzorem
Przykład
Obliczono, że 70% studentów zdało egzamin z matematyki w czasie sesji, natomiast 30% zdało egzamin z matematyki i angielskiego. Jakie jest prawdopodobieństwo, że student, który zdał egzamin z matematyki, zdał również z angielskiego?
Niech A oznacza zdarzenie, że losowo wybrany student zdał matematykę, a B zdarzenie, że losowo wybrany student zdał angielski. Wówczas
Przykład
Rozważmy dwukrotny rzut monetą symetryczną. Obliczymy prawdopodobieństwo warunkowe, że w drugim rzucie wypadnie orzeł, jeśli wiadomo, że w pierwszym rzucie wypadł orzeł. Niech
S = {OO, OR, RO, RR},
A = {orzeł w I rzucie} = {OO, OR},
C = {orzeł w II rzucie} = {OO, RO}.
Wówczas
Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego otrzymujemy natychmiast twierdzenie.
Twierdzenie
Niech A Ì S i B Ì S oraz P(A) > 0 i P(B) > 0. Wówczas
Przykład (KM, str. 78, 81)
Urna zawiera 8 kul czerwonych i 4 białe. Losujemy 2 kule bez zwracania. Niech A = { 2 kule czerwone }, B = { 1 kula czerwona i 1 kula biała }. Zatem, ponieważ wylosowanie każdej kuli jest jednakowo prawdopodobne, obliczamy
Obliczenia znacznie uproszczą się przy zastosowaniu twierdzenia.
Niech Ci = { w i-tym ciągnieniu kula czerwona },
Bi = { w i-tym ciągnieniu kula biała}, i=1,2.
Uwaga
Niech A Ì S, P(A) > 0. Prawdopodobieństwo warunkowe obliczane pod warunkiem zajścia zdarzenia A spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa (A1)-(A3), jeśli zastąpimy S przez A:
P(B1È B2È B3È ...| A ) = P(B1| A) + P(B2| A) + P(B3| A) + ....
Na mocy ostatniego twierdzenia oraz łączności iloczynu zdarzeń otrzymujemy regułę wielokrotnego warunkowania:
P(A Ç B Ç C) = P[C Ç (A Ç B)] = P(C | A Ç B) P(A Ç B) = P(C | A Ç B) P(B | A) P(A).
Ogólnie dla k zdarzeń losowych mamy
Przykład
Niech
A1 = {losowo wybrany Polak uprawiał sport wyczynowo},
A2 = {losowo wybrany Polak ma problemy z kręgosłupem},
A3 = {losowo wybrany Polak ma problemy ze snem}.
Wiadomo, że
P(A1) = 0,05, P(A2 | A1) = 0,6, P(A3 | A1 Ç A2) = 0,65.
Obliczmy P(A1 Ç A2 Ç A3) = 0,65.
Na mocy reguły wielokrotnego warunkowania wynosi ono
P(A1) × P(A2 | A1) × P(A1 | A2 Ç A3) = 0,05 ´ 0,6 ´ 0,65 = 0,0195.
« poprzedni punkt | następny punkt » |