« poprzedni punkt |
Niech X ~ N(m, s). Wówczas na podstawie stwierdzenia w sekcji 2.2
Niech xp oraz zp będą kwantylami rzędu p gęstości cech X oraz Z, odpowiednio. Zatem:
(ze wzoru na całkowanie przez podstawienie, podstawiamy (xp - m) / s = zp)
Z równości (1) i (2) otrzymujemy
Gęstość normalna j (z) > 0, zÎ (- ¥, ¥). Zatem górne granice dwóch ostatnich całek są sobie równe:
Równoważnie:
Stąd dla p = i/n, i=1,2,...,n- 1, mamy xi/n = m + s ´ zi/n.
Niech
będą uporządkowanymi elementami próbki x1, x2, ... , xn (x(i)= xi:n ), i = 1,..,n). Dla dużego n mamy
gdyż częstość obserwacji w próbce nie większych od xi:n wynosi w przybliżeniu i/n.
Stąd punkty wykresu kwantylowego
są bliskie punktom
które leżą na prostej
gdyż xp = m + s ´ zp, p = i/n, i=1,2,...,n- 1.
Zatem punkty wykresu kwantylowego są położone blisko prostej x = m + s ´ z, przy założeniu, że elementy próbki są obserwacjami cechy o rozkładzie normalnym N(m, s), otrzymywanymi niezależnie, oraz n jest duże.
Stąd też, jeśli punkty wykresu kwantylowego nie układają się wzdłuż pewnej prostej, to podejrzewamy, że cecha nie ma gęstości normalnej.
Rysunek 2.7 przedstawia wykres kwantylowy dla próbki o liczności 100 otrzymanej z populacji, której cecha ma rozkład N(0,1).
Rys. 2.7. Wykres kwantylowy dla próbki o liczności 100 z populacji, której cecha ma rozkład N(0,1).
« poprzedni punkt |