1. RACHUNEK ZDARZEŃ LOSOWYCH
Dane, które analizujemy są zazwyczaj realizacjami pewnych zjawisk lub eksperymentów losowych. Elementy próbki nie są znane przed dokonaniem obserwacji realizacji doświadczenia.
Definicja
Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie takie, że
- może być ono powtarzane w tych samych warunkach,
- wynik nie jest znany przed wykonaniem doświadczenia,
- znany jest z góry zbiór wszystkich możliwych wyników, tzn. może być on opisany przed przeprowadzeniem doświadczenia.
Przykłady
Doświadczenie losowe |
Zbiór wyników |
Podanie lekarstwa |
{leczy, nie leczy} |
Czas życia elementu (procesora, ekranu monitora) |
[0, ∞) |
Czas naprawy elementu |
[0, ∞) |
Liczba błędów w aplikacji |
{0, 1, 2, ... } |
Liczba orłów w 100 rzutach monetą |
{0, 1, 2, ... , 100} |
Liczba samochodów na autostradzie w godzinach szczytu |
{0, 1, 2, ... } |
Definicja
- Przestrzenią zdarzeń elementarnych (przestrzenią próbkową) nazywamy zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego i oznaczamy symbolem S.
- Zdarzeniem elementarnym nazywamy każdy element przestrzeni S, co zapisujemy sÎ
S: (s jest pojedynczym wynikiem doświadczenia losowego).
- Zdarzeniem nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych S (zdarzenia oznaczamy dużymi literami alfabetu: A, B, C ...).
- Mówimy, że zdarzenie A zaszło, jeśli wynik doświadczenia losowego, będący zdarzeniem elementarnym, jest elementem zbioru A.
Przykłady
- Jeśli doświadczeniem losowym jest pojedynczy rzut monetą, to jako przestrzeń zdarzeń elementarnych przyjmiemy S = {O, R}. S jest skończona, a zdarzeniami są jej podzbiory: Æ, {O}, {R}, S.
- Niech doświadczeniem losowym będzie podwójny rzut kostką sześcienną. Wówczas przestrzeń zdarzeń elementarnych S = {(i,j): i,j=1,2,...,6} jest skończona. Przykładem zdarzenia jest A = {suma oczek nieparzysta i £
5}= {(1,2), (1,4), (3,2), (2,1), (4,1), (2,3)}.
- Jeśli doświadczeniem losowym jest obserwacja czasu obsługi klienta w systemie masowej obsługi (np. sieć telefoniczna, komputerowa) mierzonego w min., to S=[0,¥) składa się z nieprzeliczalnej liczby zdarzeń elementarnych. Przykładami zdarzeń są podprzedziały: I>A=[0,5), B=[0,T], C=(10,¥), np. zdarzenia A oznacza, że obsługa klienta trwa krócej niż 5 minut.
- Obserwujemy liczbę awarii urządzenia w określonym czasie. Wówczas S={0,1,2,...} jest nieskończona, ale przeliczalna.
Zdarzenia utożsamiamy ze zbiorami, stąd rachunek zdarzeń pokrywa się z rachunkiem zbiorów. W poniższej definicji podajemy określenia działań na zdarzeniach.
Definicja
- A¢
nazywamy dopełnieniem zdarzenia A, jeśli A¢
= S-
A
- Iloczynem zdarzeń A i B nazywamy iloczyn zbiorów AÇ
B
- Sumą zdarzeń A i B nazywamy sumę zbiorów AÈ
B
- Różnicą zdarzeń A i B nazywamy różnicę zbiorów A-
B
- Zdarzenia A i B wzajemnie się wykluczają, jeśli AÇ
B=Æ, gdzie Æ
jest zbiorem pustym.
Mówimy, że zajście zdarzenia A pociąga za sobą zajście zdarzenia B, jeśli AÌ
B.
Diagramy Venna na rys. 3.1 ilustrują działania na zdarzeniach.
Rys. 3.1 Diagramy Venna.
Przykłady
- Doświadczeniem jest dwukrotny rzut monetą. Wówczas S = {OO, OR, RO, RR}. Niech
A = { orzeł w I rzucie } = { OO, OR },
B = { reszka w II rzucie } = { OR, RR },
C = { orzeł w II rzucie } = { OO, RO }.
Jeśli otrzymano dwukrotnie orła OO, to zaszło A, a także C i AÈ
B.
AÈ
B = { OO, OR, RR }, AÇ
B = { OR }, AÈ
C = { OO, OR, RO }, AÇ
C = { OO }, AÈ
BÈ
C = S, BÈ
C = S, BÇ
C = Æ
, B-
A = { RR }.
Niech D = { orzeł w obu rzutach } = { OO }. DÌ
A, DÌ
C.
- Doświadczenie polega na rzutach monetą aż do momentu wypadnięcia orła po raz pierwszy.
S = { O, RO, RRO, RRRO, ...}.
A = { wykonano £
5 rzutów } = { O, RO, RRO, RRRO, RRRRO }.
B = {w ciągu rzutów wyrzucono reszkę} = S -
{O}.
Definicja
Zdarzenia A1, A2, ... wzajemnie się wykluczają, jeśli dowolne dwa zdarzenia Ai oraz Aj, i¹
j, wzajemnie się wykluczają.
Uwaga
Sumę dowolnych dwu zdarzeń można przedstawić jako sumę trzech zdarzeń wzajemnie wykluczających się, co ilustruje rys. 3.2:
AÈ
B = (AÇ
B) È
(A-
B) È
(B-
A),
A-
B = AÇ
B¢, B-
A = BÇ
A¢.
Rys. 3.2 Przedstawienie sumy dwóch zbiorów jako sumy trzech zbiorów rozłącznych.