następny punkt »


1. ROZKŁAD PARY ZMIENNYCH LOSOWYCH

Dwuwymiarową zmienną losową nazywamy parę zmiennych losowych (X,Y) określonych na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych S i przyjmujących wartości rzeczywiste. Symbolicznie

     (X,Y) : S´ S ® (- ¥, ¥) ´ (- ¥, ¥).

Np. X = obwód nadgarstka prawej ręki, Y = waga losowo wybranej osoby z pewnej populacji;

X = ocena z analizy, Y = ocena z baz danych studenta PJWSTK, ....

Definicja

Łącznym rozkładem prawdopodobieństwa (lub rozkładem łącznym) pary zmiennych losowych (X,Y) określonych na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych nazywamy przyporządkowanie

     A ® P((X,Y) Î A),

gdzie A - dowolny podzbiór zbioru par wartości zmiennych X, Y.

Definicja

Dystrybuantą zmiennej losowej (X,Y) nazywamy funkcję

     F(x,y) = P(X £ x, Y £ y),

gdzie - ¥ < x < ¥, - ¥ < y < ¥.

Tak więc dystrybuanta jest przyporządkowaniem

     (- ¥, x] ´ (- ¥, y] ® P( (X,Y) Î (- ¥, x] ´ (- ¥, y] ).

Twierdzenie

Łączny rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej (X,Y) określony jest jednoznacznie przez jej dystrybuantę.

Komentarz. Twierdzenie orzeka, że znając wartości dystrybuanty jesteśmy w stanie wyznaczyć prawdopodobieństwo, że (X,Y) przyjmuje wartości z dowolnego zbioru A.

Pytanie kontrolne

Sprawdź, że

P((X,Y) Î (0,1] ´ (2,3]) = F(1,3) - F(0,3) - F(1,2) + F(0,2).

Zobacz odpowiedź


 następny punkt »