« poprzedni punkt | następny punkt » |
Najważniejszymi charakterystykami rozproszenia zmiennej losowej są wariancja, odchylenie standardowe i rozstęp międzykwartylowy.
Definicja
Zauważmy, że
Wynika to z twierdzenia o wartości średniej funkcji od zmiennej losowej.
Wariancja jest miarą rozproszenia wartości zmiennej losowej względem jej wartości średniej.
Innym oznaczeniem wariancji jest symbol Var(X).
Twierdzenie
Dowód
Wniosek
Bezpośrednio z twierdzenia otrzymujemy
Pytanie kontrolne
Zmienna losowa X jest liczbą wyrzuconych orłów w trzech niezależnych rzutach monetą symetryczną. Oblicz wariancję wyrzuconych orłów.
Zobacz odpowiedźPytanie kontrolne
Zmienna losowa X ma wariancję s
2X = 9. Oblicz wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej
Przykład
Porównajmy wariancje dwu zmiennych losowych X i Y mających funkcje prawdopodobieństwa określone tabelami
x |
- 1 |
0 |
1 |
PX(x) |
1/3 |
1/3 |
1/3 |
y |
- 3 |
0 |
3 |
PY(y) |
1/3 |
1/3 |
1/3 |
Obliczymy łatwo, że
m X = m Y = 0,
Wartości zmiennej losowej Y są bardziej rozproszone wokół zera niż wartości zmiennej losowej X.
Definicja
Miarą rozproszenia wartości zmiennej losowej X są też: rozstęp międzykwartylowy
IQR = q0,75 - q0,25
oraz odchylenie przeciętne od wartości średniej
Obliczmy teraz wartości poznanych wskaźników rozproszenia dla "trywialnej" zmiennej losowej, tzn. dla stałej, powiedzmy c.
Mamy p(c) = P(X=c) = 1. Stąd m X = c. Zatem obliczamy:
s 2X = E(X- c)2 = (c- c)2 p(c) = 0,
s X = 0,
E( | X- m X |) = E( | c- c| )= E(0) = 0.
Dystrybuanta stałej ma postać
Dla 0 < p < 1 mamy zatem qp = c. Stąd też rozstęp międzykwartylowy stałej wynosi 0.
Zgodnie z intuicją, wszystkie wskaźniki rozproszenia zmiennej losowej, która jest stałą są równe 0.
Zauważmy, że jeśli zmienna losowa przyjmuje co najmniej dwie różne wartości z dodatnimi prawdopodobieństwami, to
Ponieważ gdyby s 2X = 0, to x1 = x2 = ... = xK = m X, co przeczy założeniu x1 ¹ x2 ¹ ... ¹ xK.
Udowodniliśmy proste stwierdzenie
Stwierdzenie
s 2X = 0 Û P(X=c) = 1 dla pewnej stałej c.
Podobne stwierdzenie zachodzi dla odchylenia przeciętnego, ale nie rozstępu międzykwartylowego (dlaczego?)
Definicja
Niech kÎ {1, 2, ... }.
W szczególności:
« poprzedni punkt | następny punkt » |