« poprzedni punkt | następny punkt » |
Zastanówny się teraz nad problemem, jak oceniać precyzję szacowania nieznanej wariancji s 2 za pomocą wariancji próbkowej s2.
Sytuacja 5 (przedział ufności dla wariancji).
Zaczniemy od definicji rozkładu (chi-kwadrat z n stopniami swobody), który wykorzystuje się do analizy zachowania s2.
Definicja
Niech X1, X2, ..., Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach N(0, 1). Wówczas zmienna losowa
ma rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody.
Notacja:
Rozkład ma gęstość prawdopodobieństwa przyjmującą wartości dodatnie tylko dla nieujemnych argumentów, średnia tego rozkładu wynosi n, a wariancja 2n.
Niech X1,X2,...,Xn będzie prostą próbą losową z rozkładu normalnego N(m,s), m, s są nieznane. Zauważmy, że po standaryzacji, zmienne losowe
są niezależne o rozkładach N(0, 1). Stąd
Okazuje się, że zastępując nieznaną wartość średnią m
przez średnią z próby losowej nie zmieniamy typu rozkładu, a jedynie jego liczbę stopni swobody, która zmniejsza się o 1:
Stąd, ponieważ
gdzie
są kwantylami rzędu a
/2, 1-
a
/2, odpowiednio, rozkładu .
Wzór (4) zapisujemy równoważnie obliczając odwrotności wyrażeń w nim występujących, zmieniając kierunki nierówności i mnożąc obie strony przez (n- 1 )S2:
Stąd, przedział ufności na poziomie ufności 1- a dla wariancji s 2 rozkładu normalnego ma postać
Przedział ufności dla odchylenia standardowego otrzymamy obliczając pierwiastki kwadratowe dla końców powyższego przedziału
Pytanie kontrolne
Zanotowano następujące czasy (w godz.) rozwiązania zadań w konkursie z programowania przez sześciu losowo wybranych uczestników konkursu:
2,1, 2,7, 1,6, 1,8, 2,5, 1,9.
Znajdź 95% przedział ufności dla wariancji, zakładając rozkład normalny czasu rozwiązania zadań przez losowo wybranego uczestnika konkursu.
Zobacz odpowiedź« poprzedni punkt | następny punkt » |