następny punkt »


1. WARTOŚCI OCZEKIWANE ZWIĄZANE Z PARĄ ZMIENNYCH LOSOWYCH

Zajmiemy się teraz problemem obliczania wartości oczekiwanej Eg(X,Y), gdzie g jest pewną funkcją rzeczywistą dwóch argumentów.

Definicja

Wartością oczekiwaną (średnią) zmiennej losowej g(X,Y) nazywamy

     

gdy X, Y są dyskretne,

     

gdy X, Y są ciągłe.

Uwaga

Dla g(X,Y)=X lub g(X,Y)=Y otrzymujemy wartości oczekiwane brzegowych zmiennych losowych X lub Y, gdyż

  1. w przypadku dyskretnym

  2. w przypadku ciągłym

Analogicznie otrzymujemy

Stwierdzenie

Niech c będzie dowolną stałą, a g(X,Y), g1(X,Y), g2(X,Y) zmiennymi losowymi jednowymiarowymi. Wówczas

     E[c g(X,Y)] = c E[g(X,Y)],

     E[g1(X,Y) + g2(X,Y)] = E[g1(X,Y)] + E[g2(X,Y)].

W szczególności, dla g1(X,Y)=X i g2(X,Y)=Y ostatnia równość ma postać

E( X + Y ) = EX + EY.

Stwierdzenie

Jeśli zmienne losowe X, Y są niezależne, to

     E( X Y ) = EXEY.

Dowód

Niezależność zmiennych oznacza, że dla dowolnych x i y

f(x,y) = fX(x) fY(y).

Stąd i z definicji wartości oczekiwanej mamy

(a) (zmienne dyskretne)

czyli dla g(x,y) = x·y mamy

     

(b) (zmienne ciągłe) Dowód analogiczny - Sumowanie należy zastąpić całkowaniem.

Analogicznie uzasadnia się fakt ogólniejszy

Stwierdzenie

Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to dla dowolnych funkcji g i h

     E( g(X) h(Y ) ) = E g(X) E h(Y).

Przykład

Niech (X,Y) będzie parą niezależnych zmiennych losowych takich, że X ma rozkład wykładniczy z parametrem l =2, a Y ma rozkład normalny N(0, 2). Obliczyć E(X Y 2).

Na podstawie twierdzenia

E(X Y 2) = EX EY 2 = 1/2 × 4 = 2,

gdyż E(Y 2) = Var Y + (EY )2 = 22 + 02 = 4.


 następny punkt »