« poprzedni punkt | następny punkt » |
Bezpośrednią konsekwencją definicji granicy ciągu jest poniższe stwierdzenie, które łatwo uzasadnimy, jeśli przypomnimy sobie interpretację (sens) granicy.
Stwierdzenie
Jeśli ciąg (an) jest zbieżny do granicy g, to każdy ciąg (bn) powstały z ciągu (an) poprzez usunięcie, dołączenie, lub zamianę skończonej liczby wyrazów jest zbieżny do granicy g.
Dowód
Załóżmy, że ciąg (an) jest zbieżny do granicy g. Niech e = 1. Istnieje taka liczba natualna d, że dla n > d mamy ï an - gï < 1. Stąd oraz z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy dla n > d nierówności:
Przyjmując A = max {ï a1ï , ï a2ï , ..., ï ad ï ,1+ï gï } otrzymujemy
Twierdzenie (o zbieżności ciągu monotonicznego i ograniczonego)
Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Pytanie kontrolne 1.7
Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym wykaż, że zbieżny jest ciąg
Twierdzenie (o granicy podciągu)
Jeśli ciąg (an) jest zbieżny do granicy g, to każdy jego podciąg jest zbieżny do granicy g.
Pytanie kontrolne 1.8
Czy ciąg ( ( - 1 )n 2 ) jest zbieżny ?
Zobacz odpowiedź
Twierdzenie (o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów)
Jeżeli ciągi (an), (bn) są zbieżne oraz
to zachodzą wzory:
przy założeniu w ostatnim wzorze, że bn ¹ 0 dla każdego n oraz b ¹ 0.
Jako wniosek ze wzoru 3 ostatniego twierdzenia na granicę iloczynu ciągów otrzymujemy:
Dowód
Wystarczy przyjąć bn = c oraz zastosować wzór 3 tezy twierdzenia, gdyż
, co jest bezpośrednią konsekwencją definicji granicy.
Uwaga
Wzor 1 (wzór 3) prawdziwy jest dla dowolnej liczby składników (czynników).
Przykłady
Twierdzenie (o trzech ciągach)
Jeśli an £ bn £ cn , dla wszystkich n większych od pewnego naturalnego n0, oraz
to
Graficzna ilustracja twierdzenia o trzech ciągach.
Rys.1.5 Graficzna ilustracja twierdzenia o trzech ciągach
Przykład
Obliczymy granicę ciągu:
Z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że
Stwierdzenie
Pytanie kontrolne 1.9
Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym
« poprzedni punkt | następny punkt » |