następny punkt » |
Będziemy rozważać zdefiniowane w wykładzie XI równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego tzn. równanie postaci
![]() |
gdzie p(x) i f(x) są funkcjami ciągłymi na przedziale (a, b), i funkcja f nie jest tożsamościowo równa zeru na rozważanym przedziale. Nazywamy je wówczas równaniem niejednorodnym (RN).
Rozwiązywanie równania niejednorodnego jest realizowane w dwóch etapach. W pierwszym rozwiązujemy odpowiadające mu równanie jednorodne (tzn. równanie, które otrzymujemy kładąc f(x) º 0). Stosujemy w tym celu metodę rozdzielenia zmiennych, bądź korzystamy z wzoru (zobacz wykład XI) określającego całkę ogólną równania liniowego jednorodnego. W etapie drugim stosujemy metodę uzmiennienia stałej, lub metodę przewidywań.
W metodzie tej opieramy się na całce ogólnej równania jednorodnego (CORJ), która ma zawsze postać
![]() |
gdzie P(x) jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji p(x).
Całka ogólna równania niejednorodnego (CORN) wyraża się podobnym wzorem, z tą różnicą, że zamiast stałej C występuje w nim pewna funkcja zmiennej x. Aby ją znaleźć, zastępujemy stałą C nieznaną funkcją, którą oznaczamy C(x) (nazywamy to uzmiennieniem stałej), a następnie staramy się dobrać ją tak, by wzór
![]() |
definiował rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego.
Procedura wyznaczania funkcji C(x) przedstawia się następująco.
Różniczkujemy ostatnią równość
![]() |
i wstawiamy do RN otrzymując
![]() |
Redukując wyrazy podobne dostajemy
![]() |
czyli
![]() |
Stąd
![]() |
gdzie F jest dowolną, ustaloną funkcją pierwotną funkcji feP.
Jest to szukana funkcja C(x). Zatem całka ogólna równania niejednorodnego (CORN) ma postać
![]() |
Zachodzi twierdzenie:
Twierdzenie
Jeżeli p i f są funkcjami ciągłymi na przedziale (a, b) to
![]() |
gdzie P jest funkcją pierwotną funkcji p na przedziale (a, b), zaś F jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji feP ,
![]() |
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Przykład
Rozwiążemy równanie
Jest to równanie liniowe niejednorodne.
Wyznaczamy CORJ
Ma ona postać
Wyznaczamy CORN metodą uzmiennienia stałej.
Szukamy rozwiązania w postaci
Różniczkując ostatnią równość dostajemy
Wstawiając do równania niejednorodnego mamy
Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy
Stąd
Czyli
Zatem CORN jest równa
Pytanie kontrolne 12.1
Metodą uzmiennienia stałej wyznacz CORN
Przykład
Rozwiążemy zagadnienie Cauchy'ego
Wyznaczamy CORJ
Mamy
Stąd CORJ
Wobec dowolności C możemy CORJ zapisać równoważnie
Wyznaczamy CORN metodą uzmiennienia stałej.
Szukamy rozwiązania w postaci
Różniczkując ostatnią równość dostajemy
Wstawiając do równania niejednorodnego mamy
Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy
Całkując dostajemy
Zatem CORN jest równa
Wyznaczamy rozwiązanie szczególne spełniające warunek y(p ) = 0.
Stąd C2 = -2p i całka szczególna będąca rozwiązaniem zagadnienia Cauchy'ego jest równa
Pytanie kontrolne 12.2
Rozwiąż zagadnienie Cauchy'ego
Metoda przewidywań całkowania równania niejednorodnego
![]() |
opiera się na następującym twierdzeniu.
Twierdzenie
Suma całki ogólnej równania jednorodnego i jakiejkolwiek całki szczególnej równania niejednorodnego jest całką ogólną równania niejednorodnego.
W skrócie twierdzenie to można zapisać
CORN = CORJ + CSRN |
W metodzie tej CORJ wyznaczamy tak jak poprzednio, zaś postać CSRN "odgadujemy" bazując na doświadczeniach zdobytych przy całkowaniu pewnych klas równań.
Odgadnięcie CSRN jest stosunkowo proste jeżeli:
W każdym z wymienionych przypadków całkę szczególną równania niejednorodnego należy przewidzieć w tej samej postaci co f(x), zachowując odpowiednio: stopień wielomianu, liczbę w oraz liczbę b.
W miejsce pozostałych stałych (współczynniki wielomianu, a , b oraz a) przyjmuje się stałe nieokreślone. Ich wartości są precyzowane po wstawieniu przewidywanej funkcji do równania niejednorodnego
![]() |
Zanim zastosujemy prezentowaną metodę do rozwiązania przykładowych zadań podkreślmy, że w przeciwieństwie do metody uzmiennienia stałej, nie jest ona metodą uniwersalną. Natomiast w wymienionych wyżej przypadkach jest zazwyczaj prostsza rachunkowo.
Przykład
Stosując metodę przewidywań znajdziemy całkę ogólną równania
W równaniu tym p(x) º 4 (jest funkcją stałą), zaś f(x) = x3 (jest wielomianem).
Wyznaczamy CORJ
CORJ ma postać
Wyznaczamy CSRN metodą przewidywań
Ponieważ
więc CSRN przewidujemy w postaci wielomianu stopnia trzeciego, tzn.
Stąd
Wstawiając do równania dostajemy
czyli
Równość ta będzie spełniona dla każdego x wtedy i tylko wtedy, gdy będzie spełniony układ równań
Stąd
Zatem funkcja
jest szukaną CSRN, czyli
jest rozwiązaniem ogólnym równania
.
Pytanie kontrolne 12.3
Stosując metodę przewidywań wyznacz całkę szczególną równania
spełniającą warunek początkowy y(0) = 2.
Zobacz odpowiedźUwaga
Gdy prawa strona równania jest funkcją sinus bądź cosinus, rozwiązanie równania zawsze przewidujemy w postaci kombinacji tych funkcji, jak to pokazuje poniższy przykład.
Przykład
Wyznaczymy całkę ogólną równania
Wyznaczamy CORJ
Całka ogólna równania jednorodnego (p(x)º 3)
Wyznaczamy CSRN metodą przewidywań
Rozwiązanie równania niejednorodnego
przewidujemy w postaci kombinacji funkcji sin3x oraz cos3x, czyli
Wstawiając do równania mamy
Otrzymany warunek ma być spełniony dla każdego x, stąd
A zatem:
Całką szczególną równania niejednorodnego (CSRN)
jest więc funkcja
Ostatecznie CORN ma postać
Przy rozwiązywaniu równań metodą przewidywań użyteczne bywa następujące twierdzenie.
Twierdzenie
Suma całki szczególnej równania
![]() |
i całki szczególnej równania
![]() |
jest całką szczególną równania
![]() |
Twierdzenie to stosujemy, gdy funkcje f1 i f2 są różnych typów. Niezależne wyznaczanie całek szczególnych dla każdego z równań jest bowiem prostsze rachunkowo.
Przykład
Wykorzystując podane twierdzenie wyznaczymy całkę ogólną równania
W pytaniu kontrolnym 12.3 zostały wyznaczone CORJ, która jest równa
oraz całka szczególna równania niejednorodnego
Ma ona postać
Dla znalezienia CORN wystarczy zatem wyznaczyć całkę szczególną równania
Zastosujemy metodą przewidywań szukając rozwiązania w postaci
Po obliczeniu pochodnej
i wstawieniu do równania mamy
Stąd
Czyli A = 1/2, B = -1/2, zatem rozwiązanie ma postać
Ostatecznie szukaną CORN jest funkcja
Poza równaniami różniczkowymi rzędu pierwszego, największe znaczenie praktyczne mają równania rzędu 2. Równania wyższych rzędów spotyka się znacznie rzadziej. Przy rozwiązywaniu równań wyższych rzędów zazwyczaj wykorzystuje się ich specyficzne cechy, bądź stosuje metody przybliżone. W przypadku równań liniowych, metody rozwiązywania są uogólnieniem technik opracowanych dla równań rzędu pierwszego.
następny punkt » |