« poprzedni punkt | następny punkt » |
Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na nim warunek f(u) ¹u.
Równanie to za pomocą podstawienia
![]() |
sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych.
Istotnie, różniczkując równość
![]() |
dostajemy
![]() |
Wstawiając do równania mamy
![]() |
Rozdzielając zmienne otrzymujemy równanie
![]() |
Po jego rozwiązaniu wracamy do wyjściowej funkcji y, podstawiając u=y/x.
Uwaga
Jeżeli warunek f(u)≠u nie jest spełniony, należy dodatkowo rozważyć równanie f(u)=u.
Przykład
Rozwiążemy równanie
Podstawiamy
Stąd
Wstawiając do równania dostajemy
Dla f(u)≠u, czyli gdy rozdzielamy zmienne i całkujemy
Czyli
Dla f(u)=u mamy
Stąd dostajemy dodatkowe rozwiązanie y≡0.
Często, w celu identyfikacji równania jednorodnego niezbędne jest wykonanie pewnych przekształceń.
Przykład
Rozwiążemy równanie
Mnożąc licznik i mianownik prawej strony równania przez 1/x2 otrzymujemy
Jest to równanie jednorodne. Podstawiając u = y/x dostajemy
Dla u≠0 rozdzielając zmienne i całkując obustronnie mamy
Podstawiając u = y/x dostajemy rozwiązanie ogólne równania w postaci uwikłanej
Dodatkowo z warunku f(u)=u (czyli u2=0) dostajemy rozwiązanie y≡0.
Pytanie kontrolne 11.2
Wyznacz rozwiązanie ogólne równania różniczkowego
dla x > 0 i y > 0.
Zobacz odpowiedź
Pytanie kontrolne 11.3
Rozwiąż zagadnienie Cauchy'ego
Do równania o zmiennych rozdzielonych można też sprowadzić równanie typu
![]() |
gdzie f jest funkcją ciągłą, a, b, c stałymi a ¹ 0, b ¹ 0, stosując podstawienie
![]() |
(gdy a = 0, lub b = 0 równanie jest równaniem o zmiennych rozdzielonych).
Mamy
Stąd
Rozdzielając zmienne (przy założeniu a+bf(u)≠0) dostajemy równanie
Po jego rozwiązaniu, z równości
wyznaczamy funkcję y.
Przypadek a+bf(u)=0 sprawdzamy oddzielnie.
Przykład
Znajdziemy całkę szczególną równania
spełniającą warunek początkowy y(0) = 1.
Podstawiamy
u=x+y+1,
stąd
Rozwiązujemy równanie
Stąd
gdzie C jest dowolną liczbą.
Podstawiając u=x+y+1 mamy
Jest to szukana całka ogólna równania. Obejmuje ona również rozwiązanie równania dla u+1=0, tzn. y=-x-2, które dostajemy kładąc c=0.
Uwzględniając warunek początkowy y(0) = 1 dostajemy
Zatem szukana całka szczególna jest równa
Pytanie kontrolne 11.4
Wyznacz całkę ogólną równania różniczkowego
y' = 2x + y.
Zobacz odpowiedź« poprzedni punkt | następny punkt » |