Dowód
Wykażemy, że długość łuku krzywej jest granicą odpowiednio skonstruowanego ciągu sum całkowych.
Rozważmy podział Pn odcinka [a, b]
Pn = { x0 , x1 , x2 , ..., xn } |
Przybliżamy łuk krzywej przez łamaną (rys.10.6) tzn. sumę odcinków postaci
[(xk-1, f(xk-1)), (xk, f(xk)], 1 £ k £ n. |
Rys. 10.6
Z twierdzenia Pitagorasa długość k - tego odcinka łamanej wynosi
![]() |
zaś suma długości odcinków (długość łamanej) jest równa:
![]() |
Ponieważ f'(x) istnieje na [a, b], z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej (patrz Wykład V) mamy
f(xk) - f(xk-1) = f'(x k) (xk - xk-1), gdzie x k Î (xk-1, xk). |
Stąd długość łamanej jest równa sumie całkowej postaci
![]() |
Przechodząc do granicy otrzymujemy
![]() |