« poprzedni punkt 


4. CAŁKA POTRÓJNA

Prostopadłościanem w R3 o ścianach równoległych do płaszczyzn układu współrzędnych (w skrócie prostopadłościanem) nazywamy każdy zbiór P postaci

Objętością prostopadłościanu P nazywamy liczbę gdzie

Średnicą prostokąta P nazywamy długość jego przekątnej tj. liczbę

Definicja podziału prostopadłościanu o bokach równoległych do płaszczyzn układu współrzędnych oraz ciągu normalnego takich podziałów są analogiczne do definicji podziału prostokąta i ciągu normalnego ciągu normalnego podziałów prostokąta. Jeżeli f jest funkcją na prostopadłościanie P, to definicja sumy całkowej funkcji f na P odpowiadającej podziałowi (P1,...Pn) oraz wyborowi (A1,..,An) punktów pośrednich jest taka sama jak w przypadku dwuwymiarowym.

Definicja (całka potrójna po prostopadłościanie)

Niech f będzie funkcją rzeczywistą określoną na prostopadłościanie Mówimy, że funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna na prostopadłościanie P jeśli istnieje liczba rzeczywista s taka, że każdy normalny ciąg sum całkowych funkcji f na P jest zbieżny do s.

Liczbę s nazywamy całką potrójną (Riemanna) funkcji f po prostopadłościanie P i oznaczamy ją .

Definicja (całka potrójna po obszarze)

Niech f będzie funkcją rzeczywistą określoną na domkniętym ograniczonym obszarze V Ì R3 oraz niech P będzie dowolnym prostopadłościanem o bokach równoległych do płaszczyzn układu współrzędnych zawierającym V. Na prostopadłościanie P określamy funkcję f* w następujący sposób:

.

Jeżeli istnieje całka potrójna funkcji f* na prostopadłościanie P, to mówimy, że funkcja f jest całkowalna na obszarze V, zaś liczbę nazywamy całką potrójną (Riemanna) funkcji f po obszarze V i oznaczamy lub

Jeśli funkcja f przyjmująca w każdym punkcie obszaru VÌ R3 wartość 1 jest całkowalna na obszarze D, to wartość całki nazywamy objętością obszaru V.

Definicja (obszary normalne względem płaszczyzn układu współrzędnych)

Obszar domknięty V Ì R3 nazywamy normalnym względem płaszczyzny Oxy jeśli jest on postaci:

V={(x,y,z): (x,y)Î D, p(x,y) £ z £ q(x,y)},

gdzie D jest domkniętym obszarem regularnym na płaszczyźnie Oxy, a funkcje p(x,y) oraz q(x,y) są ciągłe na D oraz p(x,y) £ q(x,y) " (x,y)Î D (por. Rys. 15.20).

(Jeśli spełnione są powyższe warunki, to D jest rzutem V na płaszczyznę Oxy.)

Analogicznie definiuje się obszar normalny względem płaszczyzny Oxz oraz obszar normalny względem płaszczyzny Oyz.

Rys. 15.20

Uwaga

Intuicyjnie: obszar V jest normalny względem płaszczyzny Oxz jeśli każda prosta prostopadła do płaszczyzny Oxy i przecinająca V przecina V wzdłuż odcinka (być może długości 0). Jeśli obszar V jest normalny względem płaszczyzny Oxy, to

· rzutem zbioru V na płaszczyznę Oxy jest obszar D

· dolny brzeg obszaru V jest powierzchnią o równaniu z=p(x,y)

· górny brzeg obszaru V jest powierzchnią o równaniu z=q(x,y).

Twierdzenie (całki potrójne po obszarach normalnych)

Jeżeli obszar V = {(x, y,z) :(x,y) Î D, p(x,y) £ z £ q(x,y)} jest obszarem normalnym względem płaszczyzny Oxy , to każda funkcja f ciągła na obszarze D jest na nim całkowalna. Ponadto zachodzi równość

(Obliczając całkę wewnętrzną traktujemy x oraz y jako stałe)

Twierdzenie powyższe pozwala sprowadzić obliczanie całki potrójnej do obliczania całki iterowanej pojedyńczej i podwójnej (tj. do kolejnego obliczenia całki pojedyńczej a następnie podwójnej).

Przykład

Obliczmy całkę , gdzie V jest 1/8 częścią kuli o środku w punkcie O:

Rzutem V na płaszczyznę Oxy jest obszar D (ćwiartka koła):

Rys. 15.21

Górny brzeg bryły V to 1/8 sfery opisana równaniem , a dolny brzeg bryły to ćwiartka koła opisana równaniem z=0, ( x,y)Î D. Zatem obszar V ma opis:

Stąd

Ponieważ

to


« poprzedni punkt