« poprzedni punkt |
W tej części wykładu podany zostanie pewien algorytm znajdowania przybliżonego rozwiązania równania f(x) = 0 w przedziale [a, b].
Pomysł takiego algorytmu powstał z następującego spostrzeżenia: jeśli funkcja f jest taka, że f¢ (x)¹ 0 w [a, b] oraz równanie f(x)=0 ma w przedziale (a, b) dokładnie jedno rozwiązanie c i ponadto f(xn) ¹ 0 dla pewnego xnÎ [a, b] , to na ogół punkt xn+1 przecięcia stycznej do wykresu f w punkcie (xn, f(xn)) leży bliżej punktu c niż punkt xn (patrz Rys 7.1). Równanie stycznej w punkcie (xn, f(xn)) ma postać:
y - f(xn) = f¢ (xn)× (x-xn).
Dla y=0 mamy
f(xn) = f¢ (xn)× (xn+1-xn ),
a stąd
Za następne przybliżenie liczby c bierzemy
i cały proces powtarzamy.
Rys. 7.1
Przyjmijmy jeszcze jedną umowę:
Mówimy, że w przedziale P funkcja g ma stały znak, jeśli :
g(x) > 0 dla każdego x Î P lub g(x) < 0 dla każdego x Î P.
Okazuje się, że prawdziwe jest następujące
Twierdzenie (metoda stycznych Newtona)
Niech f będzie funkcją posiadającą pochodne rzędu 1 i rzędu 2 w przedziale
[a, b]. Wówczas jeśli
(1) f(a)× f(b) < 0,
(2) funkcja f¢ ma stały znak na [a, b],
(3) funkcja f¢ ¢ ma stały znak na [a, b],
to równanie f(x)=0 ma w przedziale [a, b] dokładnie jedno rozwiązanie c i ponadto dla dowolnego punktu x0Î [a, b] takiego, że f(x0)× f¢ ¢ (x0) > 0 wszystkie wyrazy ciągu (xn) określonego wzorem rekurencyjnym
należą do przedziału [a, b] i ciąg ten jest zbieżny liczby c
Ponadto:
jeśli istnieją stałe m , M Î R takie, że
ê f¢ (x)ú ³ m > 0 dla każdego xÎ [a, b] oraz
ê f¢ ¢ (x)ú £ M dla każdego xÎ [a, b] , to
.
Przykład
Posługując się metodą Newtona obliczymy w trzech krokach przybliżoną wartość pierwiastka równania
x3 - 4x -9 = 0 leżącego w przedziale [2, 3].
W przykładzie tym mamy:
f(x) = x3 - 4x - 9,
f¢ (x) = 3x2 - 4 ³ 3× 4 - 4 > 0,
f¢ ¢ (x) = 6x ³ 6× 2 > 0,
f(2)× f(3) = (-9)× 6 < 0,
f(3)× f¢ ¢ (3) = 6× 18 > 0,
co oznacza że spełnione są założenia ostatniego twierdzenia, zatem dla x0 =3 ciąg
jest zbieżny do jedynego pierwiastka rozpatrywanego równania leżącego w przedziale [2, 3]. Mamy:
x1 =3 - (6/23) » 2,7391, x2 » 2,7070, x3 » 2,7065.
Ponadto ponieważ dla x Î [2, 3] mamy
ç f¢ (x)ú = ç 3x2 - 4ú ³ 8 , ç f¢ ¢ (x)ú = ç 6xú £ 18, to możemy przyjąć m=8 i M=18.
To daje oszacowania
bądź
10-6 .
« poprzedni punkt |