« poprzedni punkt  następny punkt »


3. ZWIĄZKI MIĘDZY CIĄGŁOŚCIĄ A RÓŻNICZKOWALNOŚĆĄ FUNKCJI W PUNKCIE

Twierdzenie

Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 , to jest ciągła w tym punkcie.

Dowód

Załóżmy, że f jest różniczkowalna w punkcie x0 , h = x - x0 . Wtedy

Uwaga

Funkcja ciągła w punkcie x0 nie musi być różniczkowalna w punkcie x0.

Przykład

Uwaga

Z istnienia pochodnej niewłaściwej w punkcie x0 nie wynika ciągłość funkcji w tym punkcie.

Przykład

Rozpatrzmy funkcję f(x) =sgnx. Wiemy, że funkcja ta nie jest ciągła w punkcie x0=0. Okazuje się, że w tym punkcie funkcja ma pochodną niewłaściwą.

Weźmy x0 = 0 i policzmy granice jednostronne odpowiedniego ilorazu różnicowego w punkcie 0.

Ponieważ okazało się, że pochodne jednostronne obie istnieją i obie są równe ¥, to w punkcie 0 istnieje pochodna niewłaściwa funkcji f.


« poprzedni punkt  następny punkt »