« poprzedni punkt |
W tej krótkiej części wykładu podsumujemy wcześniej uzyskane wiadomości o badaniu własności funkcji. Niektóre z pojęć użytych za chwilę (np. parzystość, okresowość) nie były zdefiniowane w żadnym z wykładów, ale z całą pewnością znają je Państwo ze szkoły.
Celem zbadania własności funkcji należy:
Przykład
Otrzymujemy więc, że funkcja nie ma asymptoty ukośnej w ¥.
Ponadto w przedziale ( e, ¥ ) pochodna jest dodatnia, zaś w przedziałach ( 0, 1) i ( 1, e) pochodna jest ujemna. Zatem w punkcie x1 = e pochodna zmienia znak. Uzyskane informacje pozwalają stwierdzić, że funkcja f jest rosnąca w przedziale ( e, ¥ ) , a malejąca w przedziałach ( 0, 1) i ( 1, e) oraz że w punkcie x1 = e funkcja ma minimum lokalne.
Widać, że f¢ ¢ (x) = 0 dla x = e2 oraz że druga pochodna funkcji f jest dodatnia w przedziale ( 1, e2) , ujemna w przedziałach ( 0, 1) i ( e2, ¥ ) oraz w punkcie x2 = e2 funkcja f¢ ¢ zmienia znak (punkt 1 nie należy do dziedziny funkcji f). Wynika stąd, że f jest wypukła w przedziale ( 1, e2) , wklęsła zaś w przedziałach ( 0, 1) i ( e2, ¥ ) oraz że punkt x2 = e2 jest jej punktem przegięcia.
Rys. 6.5
« poprzedni punkt |