« poprzedni punkt  następny punkt »


4. CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

Funkcje wymierne tworzą klasę funkcji, dla których istnieją efektywne procedury całkowania. Ich szczególne znaczenie polega na tym, że wyznaczanie całek funkcji innych typów można, przez odpowiednie podstawienia, sprowadzić do całkowania funkcji wymiernej.

Definicja

Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów tzn. funkcję postaci

gdzie Wn(x) jest wielomianem stopnia n, Pm(x) wielomianem stopnia m.

Jeżeli stopień wielomianu w liczniku jest niższy niż w mianowniku, to nazywamy ją funkcją wymierną właściwą.

Ponieważ każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę pewnego wielomianu i funkcji wymiernej właściwej, w dalszym ciągu skoncentrujemy się na metodzie całkowania funkcji wymiernych właściwych. Opiera się ona na twierdzeniu mówiącym, że funkcję wymierną właściwą można przedstawić w postaci sumy tzw. ułamków prostych pierwszego rodzaju

oraz ułamków prostych drugiego rodzaju

gdzie A, B, C, a, p, q oznaczają liczby rzeczywiste, p2 - 4q < 0, k zaś jest liczbą naturalną.

Algorytm rozkładu funkcji wymiernej właściwej na ułamki proste jest szczegółowo omawiany w prezentowanym niżej przykładzie.

Przykład

Rozłożymy na ułamki proste funkcję wymierną właściwą

Mamy

Aby wyznaczyć liczby A, B i C zauważmy, że powyższa równość musi być spełniona dla każdego xÎR, czyli (po wymnożeniu obu stron przez wspólny mianownik).

4 º Ax(x-2) + B(x-2) + Cx2 .

Po uporządkowaniu dostajemy

0x2 + 0x + 4 º (A + C)x2 + (B - 2A)x - 2B.

Stąd, porównując współczynniki przy takich samych potęgach x, otrzymujemy układ równań

Jego rozwiązanie to A = -1, B = -2, C = 1.

Ostatecznie, rozkład na ułamki proste ma postać

Pytanie kontrolne 8.6

Rozłóż na ułamki proste funkcję wymierną właściwą

Zobacz odpowiedź

Po przedstawieniu funkcji w postaci sumy ułamków prostych każdy składnik sumy całkujemy niezależnie.

Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju

Dla k = 1

Dla k > 1

Pytanie kontrolne 8.7

Wyznacz całkę

Zobacz odpowiedź

Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju

Przedstawiamy całkę w postaci sumy dwóch całek tak, by licznik wyrażenia pierwszej całki był pochodną trójmianu z mianownika

Pierwszą z całek po prawej stronie obliczamy stosując podstawienie
t = x2 + px + q,

natomiast drugą, dla k > 1, obliczamy z odpowiedniego wzoru rekurencyjnego (przypadku tego nie będziemy rozważać szczegółowo), zaś dla k = 1, przedstawiamy trójmian w postaci kanonicznej

i stosując podstawienie , sprowadzamy ją do całki podstawowej

Przykład

Przystępując do obliczenia całki

stwierdzamy, że wyróżnik trójmianu w mianowniku jest mniejszy od zera.

Mamy

Obliczamy pierwszą całkę po prawej stronie równości

Wyznaczamy drugą całkę (p = 1, q = 2)

Zatem

Przykład

Stosując metodę rozkładu na ułamki proste wyznaczymy całkę

Mamy

Funkcję podcałkową drugiej całki rozkładamy na ułamki proste:

Stąd

Czyli

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach dostajemy układ równań:

Rozwiązując go otrzymujemy

A = -1, B = 1, C = 1 .

Zatem

Ostatecznie szukana całka ma postać


« poprzedni punkt  następny punkt »