« poprzedni punkt | następny punkt » |
Twierdzenie
Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 , to jest ciągła w tym punkcie.
Dowód
Załóżmy, że f jest różniczkowalna w punkcie x0 , h = x - x0 . Wtedy
Uwaga
Funkcja ciągła w punkcie x0 nie musi być różniczkowalna w punkcie x0.
Przykład
W tym celu policzymy pochodną prawo- i lewostronną funkcji f w punkcie x0 .
,
.
Ponieważ okazało się, że pochodne f '+(x0) i f '- (x0) są różne, to stwierdzamy, że pochodna funkcji f w punkcie x0 = 0 nie istnieje.
jest ciągła w każdym punkcie, w szczególności jest ciągła w punkcie x0 = 0. Podobnie jak w poprzednim przykładzie okazuje się, że w punkcie x0 = 0 pochodna funkcji f nie istnieje.
Trzeba obliczyć granicę
W przykładzie z wykładu III udowodniliśmy, że granica ta nie istnieje.
Uwaga
Z istnienia pochodnej niewłaściwej w punkcie x0 nie wynika ciągłość funkcji w tym punkcie.
Przykład
Rozpatrzmy funkcję f(x) =sgnx. Wiemy, że funkcja ta nie jest ciągła w punkcie x0=0. Okazuje się, że w tym punkcie funkcja ma pochodną niewłaściwą.
Weźmy x0 = 0 i policzmy granice jednostronne odpowiedniego ilorazu różnicowego w punkcie 0.
Ponieważ okazało się, że pochodne jednostronne obie istnieją i obie są równe ¥, to w punkcie 0 istnieje pochodna niewłaściwa funkcji f.
« poprzedni punkt | następny punkt » |