« poprzedni punkt | następny punkt » |
Jak już wiemy, w przypadku całki Riemanna funkcji jednej zmiennej można wykazać, że jeżeli f jest funkcją ciągłą na przedziale [a,b] przy czym f(x) ³
0 dla każdego xÎ
[a,b], to ma naturalną interpretację jako pole obszaru ograniczonego od dołu odcinkiem [a,b] osi Ox , a od góry wykresem funkcji f(x), xÎ
[a,b].
Podobnie jeżeli f oraz g są funkcjami ciągłymi na przedziale [a,b] przy czym f(x)£
g(x) dla xÎ
[a,b], to całka ma naturalną interpretację jako pole obszaru ograniczonego od dołu wykresem funkcji f(x), xÎ
[a,b], a od góry wykresem funkcji g(x), xÎ
[a,b].
Podobnie w przypadku dwuwymiarowym można wykazać, że jeżeli f jest funkcją ciągłą na obszarze regularnym DÌ R2 przy czym f(x,y)³ 0 dla (x,y)Î D oraz V jest bryłą o kształcie słupa ograniczonego od dołu powierzchnią D zawartą w płaszczyźnie Oxy,
a od góry powierzchnią o równaniu z=f(x,y), (x,y)Î
D (por. Rys. 15.14), to znaczy , to objętość ½
V½
tej bryły wyraża się wzorem:
Rys. 15.14
Przyjmując f(x,y)=1, " (x,y)Î D otrzymujemy stąd następujący wzór na pole | D| obszaru D :
(bo objętość takiego słupa o stałej wysokości 1 jest równa polu jego podstawy).
Podobnie jeżeli f oraz g są funkcjami ciągłymi na obszarze D przy czym f(x)£
g(x) dla każdego (x,y)Î
D, zaś V jest bryłą o kształcie słupa ograniczonego od dołu powierzchnią o równaniu z=f(x,y), (x,y)Î
D, a od góry powierzchnią o równaniu z=g(x,y), (x,y)Î
D (por. Rys.15.15), czyli , to objętość bryły V wyraża się wzorem:
Rys. 15.15
Przykład
Obliczmy za pomocą całki podwójnej pole obszaru D ograniczonego łukami krzywych y=2x, xy=2, y=6 (por. Rys. 15.16)
Rys. 15.16
Mamy:
Obszar D jest normalny względem osi Oy i jako obszar normalny względem tej osi ma następujący opis: Zatem :
Przykład
Obliczmy za pomocą całki podwójnej pole obszaru D ograniczonego łukami krzywych
y=x2-2x, y- x=0.
Mamy:
Wyznaczamy punkty wspólne obu krzywych ograniczających obszar D:
x= x2-2x Û x2-3x=0 Û x(x-3)=0 Û x=0Ú x=3.
Szkicujemy obszar D (rys. 15.17).
Rys. 15.17
Obszar ten jest normalny względem osi Oy , lecz wygodniej jest traktować go jako obszar normalny względem osi Ox gdyż jego lewy brzeg jest sumą dwóch krzywych opisanych różnymi równaniami. A zatem : D: 0£
x£
3, x2-2x £
y £
x, skąd
Przykład
Obliczmy za pomocą całki podwójnej objętość bryły , gdzie D jest podzbiorem płaszczyzny Oxy ograniczonym odcinkami prostych y=2x, y=x, x=2.
Mamy (por. Rys. 15.18).
Rys. 15.18
Zatem
Przykład
Obliczmy za pomocą całki podwójnej objętość bryły , gdzie D jest podzbiorem pierwszej ćwiartki płaszczyzny Oxy ograniczonym łukami krzywych
(por.Rys.15.19).
Rys. 15.19
Mamy . Zatem
« poprzedni punkt | następny punkt » |