Dowód:
Dowód przeprowadzimy dla niemalejącego ciągu (an). Jako ciąg ograniczony jest on ograniczony z góry, powiedzmy przez liczbę M. Zbiór wyrazów ciągu posiada zatem kres górny K = sup{ an : n Î N }, który jest liczbą. Wykażemy, że
Z definicji kresu górnego, dla każdego e > 0 istnieje taka liczba naturalna d, że
K - e < ad. Ponadto ad £ an, dla każdego n > d, ponieważ ciąg jest niemalejący.
Stąd mamy dla n > d : K - e < an. (1)
Z definicji kresu górnego: (" n Î N ) an £ K, skąd an < K + e. (2)
Z nierówności (1) i (2) wynika, że dla każdego n > d spełniona jest nierówność
K - e < an < K + e Û ï an - Kï < e, co należało wykazać.
Zamknij okno