Dowód:

Dla dowolnego n, niech Rn oznacza sumę szeregu . Stąd

Niech

Z twierdzenia o działaniach arytmetycznych dla granic ciągów

S = a1 + a2 + ...+ an- 1 + an + Rn            (1)

Podobnie, wstawiając n - 1 zamiast n, mamy

S = a1 + a2 + ...+ an- 2 + an- 1 + Rn-1.

Odejmując stronami ostatnie dwie równości otrzymujemy po uporządkowaniu

an = Rn- 1 - Rn .

Szereg jest zbieżny do sumy S, więc z (1) mamy

Stąd

, zatem

Zamknij okno