« poprzedni punkt 


3. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

Przykład (zjawisko promieniotwórczości naturalnej)

Z badań eksperymentalnych wiadomo, że prędkość z jaką zmniejsza się masa izotopu jest proporcjonalna do masy m izotopu w danej chwili t. Opisuje to równanie

Wyznaczymy rozwiązanie tego równania.

Po rozdzieleniu zmiennych równanie można zapisać w postaci

Jego rozwiązanie jest dane wzorem

lub

Wartość rozwiązania równania dla t = 0 wynosi m(0) = C0. Jest to masa izotopu w chwili rozpoczęcia procesu rozpadu (oznaczymy ją symbolem m0).

Zależność:

m(t) = m0 eat

w przypadku, gdy a < 0, jest tzw. prawem zaniku (rozpadu). Stałą a nazywamy stałą zaniku.

Charakterystyczną wartością dla tego procesu jest okres połowicznego zaniku t1/2 określony przez zależność

Mamy więc

Stąd

Gdy w równaniu

stała a jest dodatnia, to mówimy, że rozwiązanie

m(t) = m0 eat.

określa prawo wzrostu. Stała a jest w tym przypadku stałą wzrostu. Rozwiązanie to możemy interpretować jako prawo, wedle którego wzrasta liczebność pewnej populacji wtedy, gdy szybkość jej przyrostu jest proporcjonalna do liczebności w danej chwili.

Przykład (obwód elektryczny RL)

Rys. 12.1 przedstawia obwód elektryczny szeregowy typu RL, w którym rezystancja (oporność) całkowita wynosi R omów, zaś indukcyjność L henrów. Źródło stałej siły elektromotorycznej, załączanej przełącznikiem, ma wartość V woltów.

Rys. 12.1

Chwilową wartość natężenia prądu i = i(t), (t w sekundach) płynącego w obwodzie po zamknięciu przełącznika opisuje równanie

(Zauważmy, że dla L = 0 równanie to ma postać prawa Ohma Ri = V.)

Rozwiązanie równania pozwala określić wartość prądu płynącego w obwodzie po jego zamknięciu. Przyjmijmy t = 0 jako moment zamknięcia obwodu. Zatem będziemy rozważać równanie dla tÎ [0, ¥ ), z warunkiem początkowym i(0) = 0. Jest to równanie liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach, które w standardowej postaci przedstawia się następująco

tzn. p(x) = R/L, f(x) = V/L.

Wyznaczając CORJ, a następnie stosując metodę przewidywań, bądź uzmiennienia stałej dostajemy CORN

gdzie C jest stałą.

Uwzględniając warunek początkowy i(0) = 0 dostajemy

Zatem CSRN spełniająca warunek początkowy jest dana wzorem

Oznacza to, że prąd płynący w obwodzie jest zawsze mniejszy od I = V/R, lecz dąży do tej wartości, gdy t dąży do nieskończoności (rys. 12.1). I = V/R jest wartością prądu jaki by płynął w obwodzie bez indukcyjności (L= 0), lub gdyby di/dt = 0, tzn. gdyby prąd płynący w obwodzie był stały.

Rys. 12.2

Wprawdzie stan ustalony jest wartością graniczną, lecz z otrzymanego wzoru łatwo wyliczyć, że już po upływie trzech tzw. stałych czasowych obwodu, określonych wzorem t = L/R, natężenie prądu osiąga poziom 95% wartości maksymalnej (jest to widoczne na rys. 12.2).

Przykład (siła oporu proporcjonalna do prędkości)

Równania różniczkowe zwyczajne są podstawowym środkiem opisu zjawisk dynamicznych w mechanice teoretycznej. Rozważymy przykład ruchu prostoliniowego ciała o masie m, w którym siła oporu jest wprost proporcjonalna do prędkości. Model ten może opisywać wpływ siły oporu ośrodka (powietrza, lub wody) na poruszający się obiekt. Równanie ma wówczas postać

Rozwiązaniem równania jest funkcja

gdzie v0 jest prędkością początkową (dla t = 0).

Jest to oczywiście sytuacja wyidealizowana - czas niezbędny do zatrzymania ciała (v = 0) dąży do nieskończoności. W praktyce interesuje nas czas osiągnięcia prędkości dostatecznie małej. Przy takiej interpretacji widać, że ciało o dużej masie będzie miało dłuższą drogę hamowania. Aby ją wyznaczyć skorzystamy z zależności

Całkując po t dostajemy

Po uwzględnieniu warunku początkowego s(0) = 0 mamy

Przechodząc do granicy, przy t dążącym do nieskończoności, stwierdzamy, że dystans jaki przebędzie ciało nie przekroczy wartości (v0m)/k.


« poprzedni punkt