« poprzedni punkt | następny punkt » |
Funkcje wymierne tworzą klasę funkcji, dla których istnieją efektywne procedury całkowania. Ich szczególne znaczenie polega na tym, że wyznaczanie całek funkcji innych typów można, przez odpowiednie podstawienia, sprowadzić do całkowania funkcji wymiernej.
Definicja
Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów tzn. funkcję postaci
![]() |
gdzie Wn(x) jest wielomianem stopnia n, Pm(x) wielomianem stopnia m.
Jeżeli stopień wielomianu w liczniku jest niższy niż w mianowniku, to nazywamy ją funkcją wymierną właściwą.
Ponieważ każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę pewnego wielomianu i funkcji wymiernej właściwej, w dalszym ciągu skoncentrujemy się na metodzie całkowania funkcji wymiernych właściwych. Opiera się ona na twierdzeniu mówiącym, że funkcję wymierną właściwą można przedstawić w postaci sumy tzw. ułamków prostych pierwszego rodzaju
![]() |
oraz ułamków prostych drugiego rodzaju
![]() |
gdzie A, B, C, a, p, q oznaczają liczby rzeczywiste, p2 - 4q < 0, k zaś jest liczbą naturalną.
Algorytm rozkładu funkcji wymiernej właściwej na ułamki proste jest szczegółowo omawiany w prezentowanym niżej przykładzie.
Przykład
Rozłożymy na ułamki proste funkcję wymierną właściwą
Mamy
Aby wyznaczyć liczby A, B i C zauważmy, że powyższa równość musi być spełniona dla każdego xÎR, czyli (po wymnożeniu obu stron przez wspólny mianownik).
4 º Ax(x-2) + B(x-2) + Cx2 .
Po uporządkowaniu dostajemy
0x2 + 0x + 4 º (A + C)x2 + (B - 2A)x - 2B.
Stąd, porównując współczynniki przy takich samych potęgach x, otrzymujemy układ równań
Jego rozwiązanie to A = -1, B = -2, C = 1.
Ostatecznie, rozkład na ułamki proste ma postać
Pytanie kontrolne 8.6
Rozłóż na ułamki proste funkcję wymierną właściwą
Po przedstawieniu funkcji w postaci sumy ułamków prostych każdy składnik sumy całkujemy niezależnie.
Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju
Dla k = 1
![]() |
Dla k > 1
![]() |
Pytanie kontrolne 8.7
Wyznacz całkę
Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju
Przedstawiamy całkę w postaci sumy dwóch całek tak, by licznik wyrażenia pierwszej całki był pochodną trójmianu z mianownika
![]() |
Pierwszą z całek po prawej stronie obliczamy stosując podstawienie
t = x2 + px + q, |
natomiast drugą, dla k > 1, obliczamy z odpowiedniego wzoru rekurencyjnego (przypadku tego nie będziemy rozważać szczegółowo), zaś dla k = 1, przedstawiamy trójmian w postaci kanonicznej
![]() |
i stosując podstawienie , sprowadzamy ją do całki podstawowej
![]() |
Przykład
Przystępując do obliczenia całki
stwierdzamy, że wyróżnik trójmianu w mianowniku jest mniejszy od zera.
Mamy
Obliczamy pierwszą całkę po prawej stronie równości
Wyznaczamy drugą całkę (p = 1, q = 2)
Zatem
Przykład
Stosując metodę rozkładu na ułamki proste wyznaczymy całkę
Mamy
Funkcję podcałkową drugiej całki rozkładamy na ułamki proste:
Stąd
Czyli
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach dostajemy układ równań:
Rozwiązując go otrzymujemy
A = -1, B = 1, C = 1 .
Zatem
Ostatecznie szukana całka ma postać
« poprzedni punkt | następny punkt » |