« poprzedni punkt 


4. WYZNACZANIE WARTOŚCI NAJWIĘKSZEJ I NAJMNIEJSZEJ FUNKCJI CIĄGŁEJ NA PRZEDZIALE

Wartości największa i najmniejsza funkcji ciągłej określonej na przedziale

[a, b ], gdzie a, b Î R, mogą być przyjmowane

· na końcach przedziału czyli w punktach a i b

· w tych punktach przedziału, w których funkcja f ma ekstremum lokalne.

W celu wyznaczenia wartości największej i najmniejszej funkcji f ciągłej w przedziale

[a, b ] możemy zatem postąpić następująco:

· obliczamy f(a), f(b);

· obliczamy wartość f we wszystkich punktach z przedziału (a, b) , w których f nie jest różniczkowalna (bez sprawdzania czy są w nich ekstrema lokalne) i ewentualnie w punktach, w których różniczkowalność jest wątpliwa - np. trzeba byłoby zastosować liczenie pochodnej z definicji;

· obliczamy wartość f we wszystkich punktach z przedziału (a, b) w których pochodna f' przyjmuje wartość zero (bez sprawdzania czy są w nich ekstrema lokalne);

· porównujemy otrzymane wartości i wybieramy najmniejszą i największą z nich.

Przykład

· Wyznaczmy największą i najmniejszą wartość funkcji

Cały przedział [-1, 2] zawiera się w dziedzinie funkcji f, możemy więc zastosować opisany powyżej algorytm.

Mamy: f(-1) = 1, f(2) = ½ .

Ponadto: łatwo zauważyć, że f nie ma pochodnej w punkcie 0 i f(0) = 0 .

Dla x Î (-1, 0) jest f(x) = -x/ (x+2), zatem

Wyliczamy następnie, że dla każdego xÎ (0 , 2).

Pozostaje wybrać najmniejszą i największą liczbę ze zbioru { 1, ½, 0} i stwierdzić, że największą wartością f w danym przedziale jest 0, zaś największą 1.

· Wyznaczmy największą i najmniejszą wartość funkcji

nie sprawdzając, co dzieje się z pochodną w x = 0 obliczamy:

czyli 0 jest najmniejszą wartością funkcji f, zaś 41/3 największą jej wartością w danym przedziale.


« poprzedni punkt