« poprzedni punkt  następny punkt »


4. INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA ILORAZU RÓŻNICOWEGO I POCHODNEJ

Iloraz różnicowy

jest współczynnikiem kierunkowym prostej przechodzącej przez punkty a = ( x0, f(x0) ), bh = ( x0 + h, f(x0+ h) ) wykresu funkcji f tj. tangensem kąta nachylenia tej prostej do osi Ox. Prosta ta jest opisana równaniem

.

Rys. 4.1

Gdy h ® 0, to punkt bh przybliża się do punktu a i sieczna abh obraca się wokół punktu a. Gdy istnieje właściwa pochodna f' (x0) to przy h ® 0 sieczna abh przybliża się do prostej o równaniu

zwanej styczną do wykresu funkcji f w punkcie ( x0, f(x0) ).

Zatem:

Gdy funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, to f' (x0) jest tangensem kąta nachylenia stycznej do wykresu f w punkcie (x0, f(x0)).

Uwaga

Gdy f jest ciągła w punkcie x0 oraz f '(x0) =¥ lub f '(x0) =- ¥, to styczną do wykresu funkcji f w punkcie ( x0, f(x0) ) nazywamy prostą x = x0 (istotnie, jest ona granicznym położeniem siecznych abh przy h ® 0 ).

Przykład

Wyznaczmy równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=ln(x) w punkcie (2, f(2)). Z udowodnionej już równości f' (x)=(lnx)' =1/x dostajemy f' (2)=1/2. Korzystając z wzoru na równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x0,f(x0)) otrzymujemy, że równanie interesującej nas stycznej ma postać:


« poprzedni punkt  następny punkt »