« poprzedni punkt |
Definicja
Równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci
![]() |
gdzie p(x) i f(x) są funkcjami ciągłymi na przedziale (a, b).
Przedział (a, b) może być skończony lub nieskończony.
Definicja
Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego nazywamy jednorodnym (w skrócie oznaczamy je symbolem RJ), jeżeli f(x) º 0 na rozważanym przedziale tzn.
![]() |
Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego nazywamy niejednorodnym (w skrócie RN), jeżeli funkcja f nie jest tożsamościowo równa zeru na rozważanym przedziale tzn.
![]() |
Przykład
Rozważmy szczegółowo przypadek równania jednorodnego
Spełnia je oczywiście funkcja y(x) º 0. Jeżeli y(x) ¹ 0, to mamy równanie o zmiennych rozdzielonych. Rozwiązując je wcześniej prezentowaną metodą dostajemy
gdzie P(x) oznacza funkcję pierwotną funkcji p(x) na przedziale (a, b), C1 jest stałą dodatnią,
Stąd rozwiązanie ma postać
gdzie C jest dowolną stałą różną od zera.
Dla C = 0 powyższy wzór obejmuje również rozwiązanie y(x) º 0.
Ponieważ w pozostałych przypadkach jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, zachodzi twierdzenie analogiczne do wcześniej sformułowanego.
Twierdzenie
Jeżeli p jest funkcją ciągłą na przedziale (a, b) to
gdzie P jest dowolną funkcją pierwotną funkcji p na przedziale (a, b),
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Przykład
Wyznaczymy całkę ogólną równania
W równaniu tym p(x) = x, zatem jej każda funkcja pierwotna jest postaci P(x) =x2/2 + C. Ze względu na dowolność wyboru funkcji pierwotnej można przyjąć P(x) =x2/2, wówczas całka ogólna ma postać
(Oczywiście ten sam wynik otrzymamy realizując pełną procedurę rozdzielenia zmiennych).
Pytanie kontrolne 11.5
Rozwiąż zagadnienie Cauchy'ego
« poprzedni punkt |