« poprzedni punkt  następny punkt »


3. EKSTREMA LOKALNE FUNKCJI

Definicja

Powiemy, że funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne, jeśli istnieje d >0 taka, że

  1. (x0 - d, x0 + d ) Ì Df ,
  2. f(x) £ f(x0) dla każdego x Î (x0 - d, x0 + d ).

Powiemy, że funkcja f ma w punkcie x0 minimum lokalne, jeśli istnieje liczba d >0 taka, że

  1. (x0 - d, x0 + d ) Ì Df,
  2. f(x) ³ f(x0) dla każdego x Î (x0 - d, x0 + d )

Powiemy, że funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne, jeśli funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne lub minimum lokalne.

Rys. 5.3

Na powyższym rysunku:

  1. f nie ma ekstremum lokalnego ani w punkcie a1 , ani w punkcie a6,
  2. f ma maksimum lokalne w punktach a2 i a4,
  3. w każdym punkcie przedziału (a3, a4) funkcja f ma zarówno maksimum lokalne, jak i minimum lokalne,
  4. w punktach a3, a5 funkcja f ma minima lokalne.

Twierdzenie Fermata

Jeśli spełnione są warunki:

  1. funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x0,
  2. f jest różniczkowalna w punkcie x0,

to f' (x0) = 0.

Wniosek

Jeśli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x0, to f' (x0) = 0 lub f nie jest różniczkowalna w punkcie x0.

Przykład

· Wiemy, że funkcja y = ç xú nie jest różniczkowalna w punkcie x0 = 0, a oczywiście ma ona minimum lokalne w punkcie x0 = 0.

Uwaga

Warunek f' (x0) = 0 nie jest warunkiem wystarczającym na to, aby funkcja f miała ekstremum lokalne w punkcie x0.

Przykład

Niech f(x) = x3 . Chociaż f' (0) = 0, to f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie x0.

Definicja

Powiemy, że funkcja g zmienia znak przy przejściu przez punkt x0, jeśli g jest określona w pewnym sąsiedztwie S(x0, d ) punktu x0 przy czym

· g(x)> 0 dla każdego x Î (x0- d, x0)

oraz

· g(x)< 0 dla każdego x Î (x0, x0+ d ),

bądź na odwrót:

· g(x)< 0 dla każdego x Î (x0- d, x0)

oraz

· g(x)> 0 dla każdego x Î (x0, x0+ d ).

Twierdzenie

Jeśli f jest funkcją ciągłą w pewnym otoczeniu punktu x0 i funkcja f' (x) zmienia znak przy przejściu przez punkt x0 , to funkcja f ma ekstremum lokalne w tym punkcie. Dokładniej:

· jeśli istnieje d > 0 taka, że f' (x)> 0 dla każdego x Î (x0- d , x0) oraz f' (x)< 0 dla każdego x Î (x0, x0+ d ), to f ma maksimum lokalne w x0 ;

· jeśli istnieje d > 0 taka, że f' (x)< 0 dla każdego x Î (x0- d , x0) oraz f' (x)> 0 dla każdego x Î (x0, x0+ d ), to f ma minimum lokalne w x0.

Przykład

Znajdźmy ekstrema lokalne funkcji f(x) = x4 - 6x2 - 8x + 3 i przedziały, w których funkcja ta jest monotoniczna. Mamy f' (x) = 4x3 - 12x - 8 = 4(x + 1)2(x- 2). Zatem pochodna zeruje się tylko w punktach x1 = - 1 oraz x2 = 2, jednak znak zmienia jedynie w punkcie x2 = 2: po lewej stronie tego punktu f' ma wartości ujemne, po prawej dodatnie. Zatem w punkcie x2 funkcja f ma minimum lokalne. W zbiorze (- ¥, 2) pochodna f' przyjmuje, poza punktem x1, wartości ujemne, a więc w tym zbiorze f jest malejąca, z czego wynika, że w punkcie x1 = - 1 funkcja nie ma ekstremum. W zbiorze (2, ¥ ) funkcja f' przyjmuje wartości dodatnie czyli f jest rosnąca w przedziale [2, ¥ ].


« poprzedni punkt  następny punkt »