następny punkt »


1. TWIERDZENIA DE L'HOSPITALA

Twierdzenie (reguła de l'Hospitala)

Jeżeli funkcje f, g spełniają warunki

  1. istnieje właściwa lub niewłaściwa granica

    ,

to istnieje również granica przy czym

Twierdzenie pozostaje słuszne dla granic prawostronnych.

Przykład

Wykorzystajmy ostatnie twierdzenia do obliczenia kilku granic funkcji.

·

Zatem na podstawie reguły de l'Hospitala stwierdzamy, że

·

Zatem na podstawie reguły de l'Hospitala stwierdzamy, że

·

W obliczeniach wykorzystaliśmy znany wzór

Na podstawie reguły de l'Hospitala stwierdzamy, że

(litera H w nawiasie oznacza, że zastosowana zostanie reguła de l'Hospitala).

Jak widzieliśmy, reguły de l'Hospitala pozwalają w wielu przypadkach poradzić sobie z wyrażeniami nieoznaczonymi typu 0/0 oraz ¥ ¤ ¥. Inne symbole nieoznaczone sprowadzamy do jednego z wyżej wymienionych.

Mając wyrażenie nieoznaczone

· typu 0× ¥ korzystamy z tożsamości f× g = f/ ( 1¤ g) i otrzymujemy wyrażenie typu 0/0 lub ¥ ¤ ¥ ;

· jednego z typów:

· typu ¥ - ¥ wykorzystujemy tożsamość

i dalsze postępowanie zależy od wartości a.

Niestety zdarzają się sytuacje, że granice funkcji f/ g oraz g/ f nie istnieją i wtedy trzeba zastosować, prowadzącą do skomplikowanych rachunków, tożsamość

.

Przykład

Obliczmy kilka kolejnych granic stosując poznane sposoby.

·

Jest to granica typu 0× ¥. Mamy:

·

Teraz mamy granicę typu ¥ - ¥. Obliczamy:

,

·

Przykład ten pokazuje, że często w przypadku granicy typu ¥ - ¥ dobrze jest ułamki występujące we wzorze sprowadzić do wspólnego mianownika. Mamy:

·

Jest to granica typu 00 . Obliczamy zgodnie z 'instrukcją':


 następny punkt »