« poprzedni punkt  następny punkt »


2. SZEREGI O WYRAZACH DODATNICH

Rzadko udaje się wyznaczyć sumę szeregu, ale w zastosowaniach może wystarczyć jedynie stwierdzenie, czy badany szereg jest zbieżny. Warunek konieczny i wystarczający zbieżności szeregu o wyrazach nieujemnych podaje:

Twierdzenie

Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest

i Zobacz dowód

Przykład

Zbadamy zbieżność szeregu

skąd dla każdego n mamy

więc ciąg jest ograniczony z góry. Szereg ma wyrazy nieujemne i ciąg jego sum częściowych jest ograniczony. Na mocy ostatniego twierdzenia szereg jest zbieżny.

Poznamy teraz techniki badania zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich, tzw. kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich, które pozwalają roztrzygnąć w wielu przypadkach czy szereg jest zbieżny, czy też rozbieżny.

Twierdzenie (kryterium porównawcze)

Jeżeli wyrazy szeregów są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna d, że dla każdego n > d jest spełniona nierówność an £ bn, to:

Poniższe dwa przykłady ilustrują wykorzystanie kryterium porównawczego zarówno w dowodzie zbieżności, jak i w dowodzie rozbieżności szeregu liczbowego.

Przykład

Szereg jest zbieżny, ponieważ dla każdego n

a szereg jest szeregiem geometrycznym o ilorazie q = 1/2, więc zbieżnym. Z kryterium porównawczego badany szereg jest zbieżny.

Przykład

Szereg jest rozbieżny, ponieważ dla każdego n

a szereg jest szeregiem harmonicznym, który jest rozbieżny.

Pytanie kontrolne 2.5

Czy zbieżny jest szereg

Zobacz odpowiedź

Szereg harmoniczny i szereg geometryczny przyjmujemy często za szeregi porównawcze. Równie często przyjmowany jest za szereg porównawczy tzw. szereg Dirichleta (nazywany też szeregiem harmonicznym rzędu a)

gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą.

Twierdzenie (o zbieżności szeregu Dirichleta)

Szereg jest

Pytanie kontrolne 2.6

Korzystając z kryterium porównawczego wykaż, że rozbieżny jest szereg Dirichleta, jeśli a £ 1.

Zobacz odpowiedź

Przykład

Zbadamy zbieżność szeregu .

W oszacowaniu wyrazu an naszego szeregu wykorzystamy nierówność sin x £ x, prawdziwą dla każdej liczby x (uzasadnienie nierówności poznamy w póżnejszym wykładzie). Zatem dla każdego naturalnego n

przy czym szereg jest zbieżny, więc szereg jest także zbieżny na mocy kryterium porównawczego.

Twierdzenie (kryterium d'Alemberta)

Jeżeli szereg ma wyrazy dodatnie oraz istnieje granica (właściwa albo niewłaściwa)

to szereg jest

(Jeśli g = 1, wówczas nie możemy nic powiedzieć o zbieżności tego szeregu).

Przykład

Zbadamy zbieżność szeregu

Mamy tu

Stąd

a więc szereg

jest zbieżny na mocy kryterium d'Alemberta.

Pytanie kontrolne 2.7

Zbadaj zbieżność szeregu

Zobacz odpowiedź

Twierdzenie (kryterium Cauchy'ego)

Jeśli szereg o wyrazach nieujemnych jest taki, że istnieje granica (właściwa albo niewłaściwa)

to szereg ten jest

(Jeśli g = 1, wówczas nie możemy nic powiedzieć o zbieżności tego szeregu).

Przykład

Zbadaj zbieżność szeregu .

Mamy tu an = 2n5 / 3n ³ 0 oraz

stąd

a więc szereg jest zbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego.

Pytanie kontrolne 2.8

Zbadaj zbieżność szeregu

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »