« poprzedni punkt 


4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE JEDNORODNE RZĘDU PIERWSZEGO

Definicja

Równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci

gdzie p(x) i f(x) są funkcjami ciągłymi na przedziale (a, b).

Przedział (a, b) może być skończony lub nieskończony.

Definicja

Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego nazywamy jednorodnym (w skrócie oznaczamy je symbolem RJ), jeżeli f(x) º 0 na rozważanym przedziale tzn.

Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego nazywamy niejednorodnym (w skrócie RN), jeżeli funkcja f nie jest tożsamościowo równa zeru na rozważanym przedziale tzn.

Przykład

Rozważmy szczegółowo przypadek równania jednorodnego

Spełnia je oczywiście funkcja y(x) º 0. Jeżeli y(x) ¹ 0, to mamy równanie o zmiennych rozdzielonych. Rozwiązując je wcześniej prezentowaną metodą dostajemy

gdzie P(x) oznacza funkcję pierwotną funkcji p(x) na przedziale (a, b), C1 jest stałą dodatnią,

Stąd rozwiązanie ma postać

gdzie C jest dowolną stałą różną od zera.

Dla C = 0 powyższy wzór obejmuje również rozwiązanie y(x) º 0.

Ponieważ w pozostałych przypadkach jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, zachodzi twierdzenie analogiczne do wcześniej sformułowanego.

Twierdzenie

Jeżeli p jest funkcją ciągłą na przedziale (a, b) to

  1. całka ogólna równania jednorodnego (CORJ) jest postaci

    gdzie P jest dowolną funkcją pierwotną funkcji p na przedziale (a, b),

  2. dla każdego x0Î (a, b) i y0Î (-¥, ¥ ) zagadnienie Cauchy'ego

    ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Przykład

Wyznaczymy całkę ogólną równania

W równaniu tym p(x) = x, zatem jej każda funkcja pierwotna jest postaci P(x) =x2/2 + C. Ze względu na dowolność wyboru funkcji pierwotnej można przyjąć P(x) =x2/2, wówczas całka ogólna ma postać

(Oczywiście ten sam wynik otrzymamy realizując pełną procedurę rozdzielenia zmiennych).

Pytanie kontrolne 11.5

Rozwiąż zagadnienie Cauchy'ego

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt