« poprzedni punkt  następny punkt »


2. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH

Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), zaś g funkcją ciągłą i różną od zera na przedziale (c, d).

Definicja

Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie, które można przedstawić w postaci

Twierdzenie

Jeżeli f jest funkcją ciągłą na przedziale (a, b), zaś g funkcją ciągłą i różną od zera na przedziale (c, d), to

  1. całka ogólna równania jest postaci

    gdzie G jest funkcją pierwotną funkcji g na przedziale (c, d), zaś F funkcją pierwotną funkcji f na przedziale (a, b),

  2. dla każdego x0Î (a, b) i y0Î (c, d) zagadnienie Cauchy'ego

    ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Z punktu a) tezy twierdzenia wynika, że wyznaczenie rozwiązania ogólnego równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych wymaga znalezienia całek nieoznaczonych funkcji f, oraz g. (Nie przypadkowo więc rozwiązywanie równań różniczkowych bywa nazywane całkowaniem).

W praktyce stosowne obliczenia wykonujemy w następujący sposób.

Procedura wyznaczania rozwiązania ogólnego równania o zmiennych rozdzielonych

  1. Zapisujemy równanie w postaci
  2. Rozdzielamy zmienne (obustronnie mnożąc przez g(y)dx)
  3. Obustronnie całkujemy równanie (lewą stronę po y, prawą po x)
  4. Rozwiązanie ogólne równania ma postać

    gdzie G jest funkcją pierwotną funkcji g na przedziale (c, d), zaś F funkcją pierwotną funkcji f na przedziale (a, b).

Ostatnia równość zazwyczaj określa funkcję y w sposób uwikłany. Często się zdarza, że związku tego nie udaje się rozwikłać.

Przykład

Wyznaczymy całkę szczególną równania różniczkowego

spełniającą warunek początkowy y(0) = 0.

Rozdzielając zmienne i całkując obustronnie wyznaczamy całkę ogólną równania

Zatem funkcję y dało się wyznaczyć w sposób jawny.

Wyznaczamy całkę szczególną dla x = 0 i y = 0

Stąd C = 1 i całka szczególna spełniająca warunek początkowy y(0) = 0,

Przykład

Wyznaczymy krzywą całkową równania różniczkowego

przechodzącą przez punkt (1, 1).

Metodą rozdzielenia zmiennych wyznaczamy całkę ogólną równania

Rozdzielamy zmienne

Całkujemy obustronnie

Stąd

Całka ogólna jest jednoparametrową rodziną okręgów (a więc krzywych!) o równaniach

(półokręgi: górne - dla y>0 i dolne - dla y<0 , są wykresami funkcji spełniających to równanie różniczkowe).

Uwzględniając warunek początkowy y(1) = 1 dostajemy C = 2, zatem szukana krzywa całkowa jest opisywana równaniem

Przykład

Rozwiążemy zagadnienie Cauchy'ego

Metodą rozdzielenia zmiennych całkujemy równanie różniczkowe

Otrzymaliśmy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego, w którym poszukiwana funkcja y występuje w postaci uwikłanej (i związku tego nie da się rozwikłać).

Z przytoczonego twierdzenia wynika istnienie i jednoznaczność rozwiązania zagadnienia Cauchy'ego. Zatem wstawiając x = 1 i y = 2 do rozwiązania równania dostajemy

4 + ln2 = 1 + C, czyli C = 3 + ln2.

Rozwiązaniem zagadnienia Cauchy'ego jest więc funkcja określona w sposób uwikłany

Pytanie kontrolne 11.1

Rozwiąż zagadnienie Cauchy'ego

Zobacz odpowiedź

Do równań o zmiennych rozdzielonych można sprowadzić równania różniczkowe innych typów. Należą do nich równania jednorodne oraz równania postaci y' = f(ax + by + c).


« poprzedni punkt  następny punkt »