« poprzedni punkt | następny punkt » |
Rozwiązywanie równania różniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu polega na wyznaczeniu CORJ, a następnie zastosowaniu metody uzmiennienia stałej, bądź przewidywań.
(Dla równań wyższych rzędów schemat postępowania jest taki sam.) W niniejszym wykładzie ograniczymy się do prezentacji ważnych w zastosowaniach równań o stałych współczynnikach.
Równanie liniowe jednorodne rzędu drugiego o stałych współczynnikach
Definicja
Równanie typu
y''+ py' + qy = 0, |
gdzie p oraz q są stałymi nazywamy równaniem liniowym jednorodnym rzędu drugiego o stałych współczynnikach.
Jego rozwiązania poszukujemy w postaci
![]() |
gdzie s dobieramy tak, by równanie było spełnione.
Po wyznaczeniu pochodnych i podstawieniu do równania dostajemy
![]() |
![]() |
![]() |
Zatem równanie różniczkowe będzie spełnione dla każdego x wtedy i tylko wtedy, gdy s będzie pierwiastkiem otrzymanego równania kwadratowego.
Wielomian po lewej stronie równania charakterystycznego nazywamy wielomianem charakterystycznym.
Pierwiastki równania charakterystycznego są zdeterminowane wartością wyróżnika D = p2 - 4q.
Przypadek I (D > 0)
Równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste s1 i s2. Zatem każda z funkcji
![]() |
jest rozwiązaniem równania różniczkowego. Funkcje te tworzą tzw. układ podstawowy całek równania, a to oznacza, że CORJ ma postać
![]() |
gdzie C1 i C2 są dowolnymi stałymi.
Przypadek II (D = 0)
Równanie ma podwójny pierwiastek rzeczywisty s0. Można sprawdzić (wstawiając do równania), że oprócz funkcji
![]() |
również funkcja
![]() |
jest rozwiązaniem równania różniczkowego. Ponadto obie funkcje stanowią układ podstawowy całek, zatem CORJ ma w tym przypadku postać
![]() |
gdzie C1 i C2 są dowolnymi stałymi.
Przypadek III (D < 0)
Równanie ma dwa różne pierwiastki zespolone, sprzężone s1 = a + ib oraz s2 =a - ib . Można wykazać, że CORJ ma w tym przypadku postać
![]() |
gdzie C1 i C2 są dowolnymi stałymi.
Przykład
Rozwiążemy równania
Równanie charakterystyczne
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste s1 = 1 i s2 = -1, więc CORJ jest postaci
Równanie charakterystyczne
ma pierwiastek podwójny s0 = -1, więc CORJ jest postaci
Równanie charakterystyczne
ma dwa różne pierwiastki urojone s1 = i oraz s2 = -i (a = 0, b = 1), więc CORJ jest postaci
Równanie liniowe niejednorodne rzędu drugiego o stałych współczynnikach
Definicja
Równanie postaci
y''+ py' + qy = f(x), |
gdzie p oraz q są stałymi, zaś f(x) nie jest tożsamościowo równa zeru na przedziale (a, b), nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym rzędu drugiego o stałych współczynnikach.
Jak wspomnieliśmy wcześniej, schemat postępowania prowadzącego do znalezienia CORN jest analogiczny jak w przypadku równania liniowego rzędu pierwszego. W pierwszej kolejności wyznaczamy CORJ, a następnie metodą uzmiennienia stałej, bądź metodą przewidywań znajdujemy CORN. Zagadnienie Cauchy'ego rozwiązujemy dobierając stałe w CORN.
Przykład
Rozwiążemy zagadnienie Cauchy'ego
Z poprzedniego przykładu wiadomo, że CORJ ma postać
CSRN wyznaczymy metodą przewidywań, poszukując jej w postaci wielomianu stopnia drugiego tzn. y1 = Ax2 + Bx +C. Stąd y1''= 2A, i po wstawieniu do równania dostajemy
Równość ta będzie spełniona dla dowolnego x wtedy i tylko wtedy, gdy A = 1, B = 0, C = -2. Wówczas y1 = x2 - 2, i CORN ma postać
Stałe C1 i C2 wyznaczamy z warunków początkowych. Obliczamy pierwszą pochodną
i zapisujemy warunki początkowe
Stąd C2 = 2, C1 = 1 i całka szczególna spełniająca warunki początkowe ma postać
« poprzedni punkt | następny punkt » |