następny punkt » |
Podamy teraz definicje kilku pojęć używanych w dalszym ciągu.
Przestrzenią n-wymiarową nazywamy zbiór wszystkich ciągów (x1, x2, ..., xn) gdzie xi Î R, i = 1, 2, ..., n. Przestrzeń tę oznaczamy symbolem Rn.
Przestrzeń R2 nazywamy płaszczyzną, przestrzeń R3 nazywamy przestrzenią trójwymiarową bądź po prostu przestrzenią.
Elementy (x1, x2, ..., xn) przestrzeni Rn nazywamy jej punktami. Liczby x1, x2, ..., xn nazywamy współrzędnymi (kartezjańskimi) punktu.
Literą O oznaczamy punkt, którego wszystkie współrzędne są równe zero. Punkt ten nazywamy początkiem układu współrzędnych.
Odległość punktów A = ( a1, a2, ..., an) , B = (b1, b2, ..., bn) przestrzeni Rn określamy wzorem
.
Otoczeniem punktu A0 o promieniu r > 0 nazywamy zbiór O( A0, r) = { AÎ Rn : ç A0Aú < r }.
Zatem: otoczeniem punktu na płaszczyźnie jest koło otwarte (bez okręgu) o środku w tym punkcie; otoczeniem punktu w przestrzeni jest kula otwarta (bez sfery) o środku w tym punkcie.
Sąsiedztwem punktu A0 o promieniu r > 0 nazywamy zbiór S( A0, r) = { AÎ Rn : 0 < | A0A |< r }.
Zbiór D Ì Rn nazywamy ograniczonym, jeśli jest on zawarty w pewnym otoczeniu punktu O. W przeciwnym razie mówimy, że zbiór jest nieograniczony.
Punkt A zbioru P nazywamy punktem wewnętrznym tego zbioru, jeśli istnieje otoczenie punktu A zawarte w P.
Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru P nazywamy wnętrzem tego zbioru i oznaczamy IntP.
Zbiorem otwartym nazywamy zbiór, którego każdy punkt jest jego punktem wewnętrznym.
Punkt A nazywamy punktem brzegowym zbioru P, jeśli w każdym otoczeniu tego punktu istnieje punkt należący do P i punkt nie należący do P.
Brzegiem zbioru nazywamy zbiór jego wszystkich punktów brzegowych.
Przykład
Na płaszczyźnie brzegiem koła , jak również koła otwartego jest ograniczający je okrąg. Wnętrzem koła jest koło otwarte tj. różnica koła i jego brzegu.
Odcinkiem o końcach A = (a1, ..., an), B = (b1, ..., bn) nazywamy zbiór AB = { t(a1, ..., an) + ( 1- t) ( b1, ..., bn) : 0 £ t £ 1}.
Łamaną łączącą punkty A i B nazywamy sumę A1A2 È A2A3 È ...È Am-1Am odcinków takich, że A1 = A, Am = B.
Podzbiór Z przestrzeni Rn nazywamy obszarem otwartym, jeżeli jest on niepusty, otwarty i każde jego dwa punkty można połączyć łamaną zawartą w Z.
Podzbiór D przestrzeni Rn nazywamy obszarem domkniętym, jeżeli jest on sumą pewnego obszaru otwartego i brzegu tego obszaru.
Intuicyjnie ograniczony obszar domknięty na płaszczyźnie można opisać w następujący sposób:
Każdy podzbiór płaszczyzny ograniczony jedną lub kilkoma krzywymi zamkniętymi jest domkniętym obszarem ograniczonym którego brzegiem jest zbiór wszystkich punktów ograniczających go krzywych.
Gdy D Ì Rm, f jest funkcją określoną na D o wartościach w R, to mówimy, że f jest funkcją rzeczywistą m zmiennych rzeczywistych. Czasem zamiast pisać, że f jest funkcją rzeczywistą m zmiennych rzeczywistych piszemy: funkcja z=f(x1,...,xm).
Od tej chwili zajmować się będziemy funkcjami rzeczywistymi m zmiennych.
następny punkt » |