Dowód:

Udowodnimy wzory na granicę sumy i iloczynu ciągów zbieżnych.

Niech e > 0 będzie dowolną liczbą dodatnią. Z założonej zbieżności ciągów istnieją liczby naturalne d 1, d 2 takie że:

ï an - aï < (1/2) e, dla n > d 1     (1)

ï bn - bï < (1/2) e, dla n > d 2     (2)

Stąd oraz z nierówności ï x + yï £ ï xï + ï yï , prawdziwej dla dowolnych liczb x, y, otrzymujemy, wstawiając x = an - a oraz y = bn - b,

ï (an + bn ) - ( a + b )ï £ ï an - aï + ï bn - bï < e.

Znaczy to, że ciąg (an + bn) jest zbieżny do granicy a + b.

an bn - ab = an bn - an b + an b - ab = an( bn - b) + b( an - a).

Ciąg (an ) jest zbieżny, zatem jest ograniczony, czyli istnieje liczba M taka, że dla dowolnego n zachodzi ï an ï < M. Stąd oraz z ostatniej równości, wykorzystując nierówności dla bezwzględnej wartości sumy i iloczynu, otrzymujemy

ï an bn - ab ï £ ï an( bn - b)ï + ï b( an - a)ï £ Mï bn - bï + ï b ï ï an - aï      (3)

Niech teraz e > 0 będzie dowolną ustaloną liczbą oraz niech

Z założonej zbieżności ciągów istnieją liczby d 1, d 2 takie, że

Stąd oraz nierówności (3) dla n > d = max { d 1, d 2 } mamy

ï an bn - abï < (1/2)e + (1/2)e = e, co kończy dowód.

Zamknij okno