« poprzedni punkt | następny punkt » |
Definicja (granica ciągu punktów przestrzeni Rm)
Mówimy, że ciąg (A(n)) punktów przestrzeni Rm jest zbieżny do punktu A(0)Î Rm
oraz piszemy jeśli
Można pokazać, że wtedy i tylko wtedy gdy ciąg pierwszych współrzędnych punktów A(n) jest zbieżny do pierwszej współrzędnej punktu A(0), ciąg drugich współrzędnych punktów A(n) jest zbieżny do drugiej współrzędnej punktu A(0),..., ciąg m-tych współrzędnych punktów A(n) jest zbieżny do m-tej współrzędnej punktu A(0).
Definicja (definicja Heinego granicy funkcji)
Niech f : D ®
R, D Ì
Rm , m ³
2, A(0)Î
Rm oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej w pewnym sąsiedztwie punktu A(0). Powiemy, że funkcja f ma w punkcie A(0) granicę g, co zapisujemy , jeśli dla każdego ciągu (A(n)) punktów zbioru D różnych od punktu A(0) takiego, że
mamy
Uwaga
· Punkt A(0) nie musi należeć do zbioru D.
·
Gdy A(0) = (a1, a2,..., am), to zamiast pisać często piszemy
·
Gdy n = 2, A(0)= (a, b), to zamiast piszemy też
. Analogiczne oznaczenia stosujemy też dla funkcji trzech zmiennych.
· Gdy g jest liczbą, to mówimy o granicy właściwej. Gdy g = ¥ lub g = - ¥, to mówimy o granicy niewłaściwej.
Definicja
Niech f : D ®
R, D Ì
Rm. Powiemy, że funkcja f jest ciągła w punkcie A(0), jeśli istnieje otoczenie punktu A(0) zawarte w zbiorze D oraz
Definicja
Niech f : D ® R, D Ì Rm. Powiemy, że funkcja f jest ciągła na (w) zbiorze D, jeśli f jest ciągła w każdym punkcie zbioru D.
Zwrot 'funkcja f jest ciągła' oznacza, że f jest ciągła w całej swojej dziedzinie.
Większość funkcji wielu zmiennych, z którymi spotyka się inżynier to są funkcji ciągłe co wynika z następującego twierdzenia:
Twierdzenie
· każda kombinacja liniowa funkcji f i g,
· iloczyn f× g
· iloraz f/ g (na zbiorze D1 = {AÎ D : g(A) ¹ 0}
Z twierdzenia tego wynika, że na przykład funkcje :
,
są ciągłe w swoich dziedzinach. Pierwsza jako funkcja wielomianowa na R3, druga jako iloraz funkcji wielomianowych na R2 a ciągłość ostatniej wynika z ciągłości funkcji g(x,y) oraz z punktu (2) poprzedniego twierdzenia.
Ważne własności funkcji ciągłych opisują poniższe twierdzenia:
Twierdzenie (o zachowywaniu znaku)
Jeśli funkcja f : D ® R, D Ì Rm jest ciągła w punkcie A(0)Î D oraz f(A(0)) > 0, to istnieje liczba e > 0 taka, że spełniony jest warunek
.
Oczywiście twierdzenie to pozostaje prawdziwe, gdy symbol > zastąpimy w nim przez <.
Twierdzenie (Weierstrassa)
Jeżeli funkcja f : D ® R jest ciągła oraz zbiór D Ì Rm jest niepusty, domknięty i ograniczony, to w zbiorze tym istnieją punkty P1, P2 takie, że dla dowolnego punktu P zbioru D zachodzą nierówności:
Oznacza to, że funkcja ciągła na niepustym, domkniętym i ograniczonym podzbiorze D przestrzeni Rm jest na nim ograniczona i co więcej przyjmuje kres dolny f(P1) i kres górny f(P2) swoich wartości.
« poprzedni punkt | następny punkt » |