następny punkt » |
Rozważmy przedział domknięty [a, b].
Definicja
Podziałem odcinka [a, b] na n części (podprzedziałów), gdzie nÎ N, nazywamy każdy zbiór punktów
Pn = { x0, x1, x2 , ..., xn } |
spełniających warunek
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. |
Długość podprzedziału [x k-1, x k], dla k=1,2,..., n, oznaczamy przez D xk, to znaczy
![]() |
Definicja
Średnicą podziału Pn nazywamy liczbę
![]() |
tj. długość najdłuższego z podprzedziałów [x k-1, x k].
Definicja
Ciąg podziałów (Pn) nazywamy normalnym, jeżeli
![]() |
Przykłady
Rys. 9.1
Rys. 9.2
Niech f będzie funkcją ograniczoną na przedziale [a, b], zaś x k punktami spełniającymi warunek
x k-1 £ x k £ x k, 1≤ k ≤ n |
Zgodnie z przytoczonym wzorem każdy składnik sumy całkowej możemy interpretować jako pole prostokąta o podstawie D xk i wysokości f(ξk ), zaś suma całkowa jest sumą pól takich prostokątów. Na rys. 9.3 zacienione pola prostokątów reprezentują sumę całkową dla n = 3.
Rys. 9.3
Ciąg sum całkowych funkcji f zależy zatem od przyjętego ciągu podziałów (Pn) jak i od wyboru punktów ξk.
Definicja
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału [a, b] i dowolnego wyboru argumentów ξk, ciąg sum częściowych S(Pn ) ma tę samą granicę skończoną, to granicę tę nazywamy całką oznaczoną Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy symbolem
![]() |
czyli
![]() |
O funkcji f mówimy, że jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a, b] (lub krócej całkowalna, gdy z kontekstu wynika o jaką całkę chodzi).
Liczbę a nazywamy dolną, zaś b górną granicą całkowania.
następny punkt » |