« poprzedni punkt | następny punkt » |
Definicja
Mówimy, że funkcja f jest:
.
.
.
Przykład
Funkcja f(x) = 2x+1 jest ciągła w każdym punkcie.
Ciągłość funkcji f wynika z tego, że gdy ciąg (xn) jest zbieżny do liczby x0, to również ciąg (f(xn))=2xn+1 jest zbieżny do f(x0)=2x0+1 .
Gdy funkcja jest określona różnymi wzorami na prawo i na lewo od punktu x0 , to jej ciągłość w tym punkcie badamy stosując:
Twierdzenie
Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy istnieją obie jej granice jednostronne w x0 i ponadto
Przykład
Funkcja sgnx jest ciągła w każdym punkcie x0 > 0, bo
Podobnie funkcja sgnx jest ciągła w każdym punkcie x0 < 0. Natomiast nie jest ona ani prawostronnie ani lewostronnie ciągła w punkcie x0 = 0, gdyż
Przykład
Twierdzenie
Jeżeli funkcje f oraz g są ciągłe w punkcie x0 to funkcje:
też są ciągłe w x0.
Analogiczne twierdzenie pozostaje prawdziwe dla funkcji jednostronnie ciągłych w x0.
Twierdzenie (o ciągłości złożenia)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 oraz funkcja g jest ciągła w punkcie f(x0), to funkcja złożona g(f(x)) jest ciągła w punkcie x0.
Definicja
Jeśli P jest przedziałem o końcach a i b (domkniętym, jednostronnie domkniętym, otwartym), to przedział otwarty (a, b) nazywamy wnętrzem przedziału P i oznaczamy Int P.
Definicja
Niech P Ì Df będzie przedziałem.
Jeśli P jest przedziałem otwartym, to mówimy, że funkcja f jest ciągła na przedziale P wtedy gdy f jest ciągła w każdym punkcie przedziału P.
Jeśli P = [ a, b] to mówimy, że funkcja f jest ciągła na P wtedy i tylko wtedy gdy f jest prawostronnie ciągła w punkcie a , lewostronnie ciągła w punkcie b oraz ciągła w każdym punkcie przedziału otwartego Int P = (a, b).
Jeśli P = [ a, b) to mówimy, że funkcja f jest ciągła na P wtedy i tylko wtedy gdy f jest prawostronnie ciągła w punkcie a oraz ciągła w każdym punkcie przedziału otwartego Int P = (a, b). Podobnie definiujemy ciągłość funkcji f na przedziale (a,b].
Poniższe twierdzenie mówi, że wiele z funkcji jest ciągłych.
Twierdzenie
Każda funkcja elementarna jest ciągła na każdym przedziale zawartym w swojej dziedzinie.
Mówiąc nieco nieściśle twierdzenie to mówi, że każda funkcja określona w całej dziedzinie jednym i tym samym wzorem w którym występują tylko stałe, funkcje potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne oraz cyklometryczne i ewentualnie operacja składania funkcji lub działania arytmetyczne jest ciągła.
Natomiast, jeśli na przykład funkcja jest określona różnymi wzorami na różnych przedziałach, to w końcach tych przedziałów może być nieciągła.
Przykład
Zbadajmy ciągłość funkcji
W przedziale (1, ¥ ) funkcja f(x) jest ciągła bo pokrywa się w nim z funkcją elementarną 1+4lnx która jest ciągła w każdym przedziale zawartym w swojej dziedzinie. Zatem f(x) jest ciągła w każdym punkcie przedziału (1, ¥ ).
Podobnie, ponieważ w przedziale (-¥ , 1] funkcja f(x) pokrywa się z funkcją elementarną x3 (która jest ciągła w każdym przedziale zawartym w swojej dziedzinie), to f(x) jest ciągła w każdym punkcie przedziału (-¥ , 1) oraz lewostronnie ciągła w punkcie 1.
Ponieważ
to f(x) jest prawostronnie ciągła w 1. Z lewostronnej i prawostronnej ciągłości f(x) w punkcie 1 wynika jej ciągłość w tym punkcie.
Przykład
Dla jakich wartości parametrów a, b funkcja
jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny?
Mamy Df = R. Ponieważ w przedziale otwartym (- ¥ , 1) funkcja f pokrywa się z funkcją elementarną arctg(1/ (1-x)) to funkcja f jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Podobnie funkcja f jest ciągła w każdym punkcie przedziału (1, ¥ ).
Aby funkcja f była ciągła potrzeba jeszcze, aby
Otrzymujemy układ równań
Stąd a=p /2, b=p /2.
« poprzedni punkt | następny punkt » |