« poprzedni punkt  następny punkt »


2. POCHODNA KIERUNKOWA

Definicja (pochodna kierunkowa)

Niech f : D ® R, DÌ Rm, A = (a1,a2,..., am)Î IntD oraz niech v = (v1,v2,..., vm) będzie wektorem niezerowym. Pochodną kierunkową funkcji f w kierunku wektora v nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona)

oznaczaną lub fv(A).

Przykład

Niech

Mamy

Uwaga 1

Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są szczególnym przypadkiem pochodnej kierunkowej. Dokładniej: jeśli ek=(0,...,0,1,0,...,0) (1 jest na k-tym miejscu) jest k-tym wektorem bazy kanonicznej Rm, to .

Rzeczywiście

Uwaga 2

Z istnienia wszystkich pochodnych kierunkowych funkcji f w punkcie A nie wynika ciągłość funkcji w A. Pokazuje to poniższy przykład.

Przykład

Niech .

Funkcja f nie jest ciągła w punkcie (0,0), bo

(por. definicję funkcji ciągłej).

Natomiast dla dowolnego wektora v=(v1,v2) ¹ (0,0) istnieje gdyż

Znajomość gradientu funkcji pozwala łatwo wyznaczyć jej pochodne kierunkowe.

Twierdzenie (wzór do obliczania pochodnej kierunkowej)

Niech D Ì Rm oraz niech f : D ¾® R będzie funkcją posiadającą pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu punktu A, ciągłe w A. Wtedy dla dowolnego niezerowego wektora v Î Rm.

Przykład

· Wyznaczymy dla funkcji , gdy A=(0,1,3), v=(-1,1,2).

Wiemy, że (pierwszy przykład po definicji gradientu). Zatem .

· Niech . Wyznaczmy .

Mamy , zatem . Stąd

.


« poprzedni punkt  następny punkt »