następny punkt » |
Twierdzenie (reguła de l'Hospitala)
Jeżeli funkcje f, g spełniają warunki
,
to istnieje również granica przy czym
Twierdzenie pozostaje słuszne dla granic prawostronnych.
Przykład
Wykorzystajmy ostatnie twierdzenia do obliczenia kilku granic funkcji.
·
Zatem na podstawie reguły de l'Hospitala stwierdzamy, że
·
Zatem na podstawie reguły de l'Hospitala stwierdzamy, że
·
W obliczeniach wykorzystaliśmy znany wzór
Na podstawie reguły de l'Hospitala stwierdzamy, że
(litera H w nawiasie oznacza, że zastosowana zostanie reguła de l'Hospitala).
Jak widzieliśmy, reguły de l'Hospitala pozwalają w wielu przypadkach poradzić sobie z wyrażeniami nieoznaczonymi typu 0/0 oraz ¥ ¤ ¥. Inne symbole nieoznaczone sprowadzamy do jednego z wyżej wymienionych.
Mając wyrażenie nieoznaczone
· typu 0× ¥ korzystamy z tożsamości f× g = f/ ( 1¤ g) i otrzymujemy wyrażenie typu 0/0 lub ¥ ¤ ¥ ;
· jednego z typów:
· typu ¥ - ¥ wykorzystujemy tożsamość
i dalsze postępowanie zależy od wartości a.
Niestety zdarzają się sytuacje, że granice funkcji f/ g oraz g/ f nie istnieją i wtedy trzeba zastosować, prowadzącą do skomplikowanych rachunków, tożsamość
.
Przykład
Obliczmy kilka kolejnych granic stosując poznane sposoby.
·
Jest to granica typu 0× ¥. Mamy:
·
Teraz mamy granicę typu ¥ - ¥. Obliczamy:
,
·
Przykład ten pokazuje, że często w przypadku granicy typu ¥ - ¥ dobrze jest ułamki występujące we wzorze sprowadzić do wspólnego mianownika. Mamy:
·
Jest to granica typu 00 . Obliczamy zgodnie z 'instrukcją':
następny punkt » |