« poprzedni punkt  następny punkt »


2. SZEREGI TAYLORA

Definicja (szereg Taylora funkcji)

Jeśli funkcja f ma w punkcie x0 pochodne dowolnego rzędu, to szeregiem Taylora funkcji f w punkcie x0 nazywamy wyrażenie

Dla ujednolicenia zapisu przyjmuje się oznaczenie f(0)(x) = f(x) i wtedy szereg Taylora możemy zapisać w postaci

Definicja

Szeregiem MacLaurina funkcji f nazywamy szereg Taylora f w punkcie

X0 = 0 czyli wyrażenie postaci

Definicja

Niech - ¥ £ a < b £ ¥. Jeśli funkcja f ma w każdym punkcie xÎ ( a, b) pochodną dowolnego rzędu, to mówimy, że f jest klasy C¥ w przedziale ( a, b).

Można udowodnić następujące:

Twierdzenie (o jednoznaczności rozwinięcia w szereg potęgowy)

Niech x0Î ( a, b) i niech f będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na ( a, b). Jeśli istnieje ciąg ( cn) liczb rzeczywistych taki, że

·  funkcja f jest klasy C¥ w ( a,b),

Twierdzenie o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy pozwala czasem wyznaczyć rozwinięcie funkcji w jej szereg Taylora bez wyznaczania pochodnych.

Przykłady

· 

·  Ponieważ x2Î (-1, 1) dla xÎ (-1, 1), to z równości

Zatem z twierdzenia o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy wynika, że funkcja

· 

Uwaga

Może się niestety zdarzyć tak, że funkcja f jest klasy C¥ w pewnym otoczeniu punktu x0 ale

·  albo szereg Taylora funkcji f jest zbieżny tylko w punkcie x0,

·  albo szereg Taylora funkcji f jest co prawda zbieżny w pewnym sąsiedztwie punktu x0 , ale jego suma ma niewiele wspólnego z funkcją f .

Na przykład można pokazać, że funkcja

jest klasy C¥ na R i spełnia warunek f(n)(0) = 0 dla n = 0, 1, 2, ... czyli szeregiem MacLaurina tej funkcji jest szereg

Twierdzenie (o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora)

Załóżmy, że w pewnym otwartym przedziale (a, b) zawierającym x0 funkcja f jest klasy C¥. Jeśli dla każdego xÎ (a, b) zachodzi równość

jest n-tą resztą we wzorze Taylora dla funkcji f w punkcie x0, to

Dowód. Z definicji sumy szeregu wynika, że

Korzystać będziemy z następującego faktu

Uwaga

Dla każdego x Î R

Dowód. Ustalamy x ¹ 0 i rozpatrujemy pomocniczy szereg liczbowy

Poniżej podajemy szeregi MacLaurina pewnych funkcji elementarnych.

Dla przykładu zostanie przedstawiony szkic dowodu punktu b).

Z obliczeń wykonanych przy wyznaczaniu wielomianu MacLaurina dla funkcji f(x)=ex wynika, że ex ma szereg MacLaurina

Ostatnia nierówność wynika z tego, że q x £ çq xú £ êxú, zaś funkcja f(x)=ex jest dodatnia i rosnąca w R.

Z twierdzenia o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora wnioskujemy, że

Korzystając ze znanych rozwinięć funkcji w szeregi Maclaurina i z twierdzenia o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy można wyznaczać rozwinięcia pewnych funkcji w szeregi Taylora.

Przykłady

Stosując znane rozwinięcia funkcji w szereg Maclaurina wyznaczymy szereg Taylora podanej funkcji f w punkcie x0 i wskażemy przedział na którym funkcja jest równa sumie swojego szeregu Taylora (nie badając co się dzieje poza tym przedziałem).


i jest równa jego sumie na R.


i jest równa jego sumie na R.


i jest równa jego sumie na R.


f(x) = ln(10+3x), x0 = 0.

i jest równa jego sumie w przedziale (- 10/ 3, 10/ 3].


f(x) = ln(10+3x), x0 = 1.

i jest równa jego sumie w przedziale (- 10/ 3, 16/ 3].


« poprzedni punkt  następny punkt »