« poprzedni punkt |
Krzywe Béziera są krzywymi wielomianowymi, których kształt można opisywać za pomocą tak zwanych punktów sterujących (kontrolnych). W ogólnym przypadku liczba punktów sterujących nie jest ograniczona - jednak im większa liczba tych punktów tym wyższy stopień wielomianu opisującego krzywą. W praktyce najczęściej wykorzystuje się krzywe trzeciego stopnia definiowane za pomocą czterech punktów sterujących i dalej ograniczymy się do omówienia takich właśnie krzywych.
Na rysunku VII.15 pokazano kilka przykładów krzywych Béziera zdefiniowanych za pomocą czterech punktów sterujących.
![]() ![]() |
![]() ![]() |
Rys. VII.15. Przykładowe krzywe Béziera
Przyglądając się pokazanym przykładom można zauważyć kilka wspólnych cech charakterystycznych dla krzywych Béziera. Istotna jest kolejność punktów sterujących. Krzywa zawsze przechodzi przez punkt pierwszy i ostatni. Odcinek łączący dwa pierwsze punkty krzywej jest zawsze styczny do krzywej w punkcie początkowym. Podobnie, odcinek łączący dwa ostatnie punkty krzywej jest styczny do krzywej w punkcie ostatnim. Ponadto warto również zwrócić uwagę na fakt, iż krzywa zawsze leży we wnętrzu wielokąta opisanego na całym zbiorze punktów sterujących. Możliwe jest również tworzenie krzywych zamkniętych. Zmiana położenia dowolnego punktu sterującego powoduje zmianę kształtu całej krzywej - właściwość ta umożliwia łatwą edycję krzywych.
Równania opisujące krzywe Béziera są zapisywane w postaci parametrycznej. Równanie dla krzywej trzeciego stopnia ma postać
![]() |
Występujący w równaniu parametr bieżący t zmienia się wzdłuż krzywej od wartości 0 na początku krzywej do wartości 1 na końcu krzywej. Punkty Pi , i = 0,1,2,3 są punktami sterującymi krzywej.
Biorąc pod uwagę współrzędne punktów sterujących x oraz y powyższe równanie może być zastąpione dwoma równaniami, które pozwalają wyznaczać wartości współrzędnych x i y punktów leżących na krzywej i określanych przez bieżąca wartość parametru t:
![]() |
![]() |
Możliwe jest tworzenie bardziej złożonych krzywych za pomocą składania z segmentów. Przykład pokazano na rysunku VII.16. Zwróćmy uwagę na ciągłość krzywej w punktach łączenia segmentów. Warunkiem uzyskania ciągłości jest to, żeby dwa końcowe punkty sterujące jednego segmentu (Pa2, Pa3 na rysunku) leżały na tej samej prostej co dwa pierwsze punkty sterujące drugiego segmentu (Pb0, Pb1 na rysunku), przy czym punkt ostatni Pa3 pierwszego segmentu pokrywa się z pierwszym punktem Pb0 drugiego segmentu.
![]() |
Rys. VII.16. Przykład krzywej Béziera złożonej z czterech segmentów
« poprzedni punkt |