następny punkt »


1. Sygnał sinusoidalny i jego reprezentacja na płaszczyźnie zmiennej zespolonej

Sygnał sinusoidalnie zmienny jest jednym z najczęściej spotykanych w praktyce sygnałów elektrycznych. Wiąże się to z łatwością wytwarzania napięć i prądów sinusoidalnych za pomocą takich urządzeń jak prądnice lub generatory. O praktycznym znaczeniu sygnałów sinusoidalnych decyduje choćby fakt, że sieć energetyczna powszechnego użytku dostarcza napięcia sinusoidalnego. Sygnały sinusoidalne znajdują szerokie zastosowanie w radiotechnice i telekomunikacji jako fale nośne i sygnały synchronizujące. Są one wykorzystywane w miernictwie, stanowiąc podstawowy rodzaj sygnału pomiarowego. Można powiedzieć, że w całej elektronice opartej na technice analogowej sygnały sinusoidalne i pochodne od sygnału sinusoidalnego odgrywają dominującą rolę. W praktyce inżynierskiej spotykamy się bardzo często z koniecznością analizy obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego

Omówione zostaną teraz najważniejsze parametry sygnału sinusoidalnego.

Definicja 4.1. Sygnał, którego zmienność jest określona funkcją

     x ( t ) = Xm cos ( w t + j )(4.1)     

w przedziale t Î ( - ¥, + ¥ ) nazywamy sygnałem sinusoidalnie zmiennym, krótko sygnałem sinusoidalnym.

Wykres sygnału sinusoidalnego przedstawiono na rys. 4.1. Sygnał jest funkcja okresową o okresie T równym

     (4.2)     

Rys. 4.1. Sygnał sinusoidalnie zmienny

Przebieg charakteryzują trzy parametry:

Sygnał będący przebiegiem sinusoidalnym może być zapisany przy użyciu funkcji cosinus

     x1 ( t ) = Xm1 sin ( w t + j ) = Xm1 cos ( w t + j - 900 )(4.4)     

który się tylko różni przesunięciem fazowym ( jest opóźniony w fazie o 900.

Wartość średnia za okres sygnału sinusoidalnego jest równa zeru, natomiast wartość skuteczna

     Xsk = (4.5)     

jest równa jego amplitudzie podzielonej przez .

Podstawowe własności sygnałów sinusoidalnych o jednakowych pulsacjach (tym samym okresie).

W stosunku do przebiegów zakładamy, że jeśli jest ich więcej niż jeden, to posiadają jednakową pulsację. Przyjmują zatem postacie:

     x1 ( t ) = Xm1 cos ( w t + j 1 ) x2 ( t ) = Xm2 cos ( w t + j 2 )(4.6)     

Wniosek 4.1. Mnożenie przez stałą rzeczywista a ¹ 0 sygnału sinusoidalnego prowadzi do powstania nowego sygnału sinusoidalnego o tej samej pulsacji

ì ½ a ½ Xm1 cos (ω t + j 1) a > 0
x ( t ) = a x1 (t) = í (4.7)     
î ½ a ½ Xm1 cos (ω t + j 1 ± p ) a < 0

Amplituda przebiegu wynosi

     Xm = ½ a ½ Xm1(4.8)     

a faza początkowa dla a < 0 jest

     j 1 ± p (4.9)     

Wniosek 4.2. Operacja różniczkowania sygnału sinusoidalnego prowadzi również do sygnału sinusoidalnego o tej samem pulsacji

W ten sposób pochodna

     )(4.10)     

posiada amplitudę równą amplitudzie przebiegu różniczkowanego pomnożonej przez pulsację w oraz fazę początkową zwiększoną o p /2.

Wniosek 4.3. Operacja całkowania sygnału sinusoidalnego daje przebieg sinusoidalny o tej samej pulsacji

     Zatem (4.11)     

przedstawia przebieg o amplitudzie podzielonej przez w oraz o fazie zmniejszonej o p /2.

Wniosek 4.4. Suma dwóch sygnałów sinusoidalnych jest sygnałem sinusoidalnym o tej samej pulsacji i następującej postaci:

gdzie amplituda i faza początkowa wyrażają się:

     (4.12)     
     (4.13)     

Definicja 4.2. Reprezentacją sygnału sinusoidalnego o postaci (4.1) jest na płaszczyźnie zmiennej zespolonej wirujący wektor wodzący punktu zwany wskazem (rys.4.2) o postaci

     X m ej(w t + j ) = Xm ej j ejw t = X ejw t (4.14)     

Rys. 4.2. Reprezentacja zespolona sygnału sinusoidalnego

Mając na uwadze to, że wszystkie przebiegi maja tą samą pulsację ich wskazy wirują z ta samą prędkością kątową i ich wzajemne ułożenie między sobą nie ulega zmianie w czasie. Zatem dla ich reprezentacji można rozpatrywać obraz zatrzymany w dowolnej chwili t. W ten sposób za reprezentacje sygnału można przyjąć nieruchomy wektor

     X = Xm e j j (4.15)     

nazywany amplituda zespoloną, która przedstawia wartość funkcji zespolonej (4.14) dla t = 0.

Amplitudę zespoloną tworzy się, z przebiegu cosinusoidalnego, w postaci liczby zespolone o module równym amplitudzie przebiegu i argumencie równym fazie początkowej. Jest jednoznaczne przyporządkowanie liczby zespolonej sygnałowi sinusoidalnemu.

Dla określenia przyporządkowania odwrotnego, amplitudzie zespolonej przebiegu sinusoidalnego należy na moment powrócić do obrazu wskazowego (4.14). Dokonując rzutowania wskazu na osie rzeczywistą i urojoną otrzymujemy

     X m ej(w t + j ) = Xm [ cos(w t + j ) + j sin (w t + j ) ]
= Xm cos(w t + j ) + j Xm sin (w t + j )
(4.16)     

Traktując rzuty na odpowiednie osie jako funkcje czasu widzimy, że są one funkcjami sinusoidalnymi o ustalonej pulsacji w. W ten sposób

     Re [ X ejw t ] = Xm cos(w t + j ) = x ( t )(4.17)     

Reasumując wyrażenie (4.15) jest transformacją sygnału sinusoidalnego do dziedziny zespolonej, a (4.17) transformacją amplitudy zespolonej do dziedziny czasu.

Przykład 4.1. Wyznaczyć amplitudy zespolone odpowiadające sygnałom napięcia i prądu:

u ( t ) = 200 cos (w t + 800) V, i ( t ) = 5 sin (2 w t + 200 ) A.

Amplitudę zespoloną napięcia wyznaczymy bezpośrednio z (4.14) : U = 200 e j80 V, dla w

natomiast i ( t ) = 5 sin (2 w t + 200 ) = 5 cos (2w t - 700) A, zatem I = 5 e - j70 A, dla 2w

Przykład 4.2. Znaleźć przebiegi czasowe dla amplitud zespolonych napięcia i prądu:

U = 100 e - j 45 V, I = ( 3 + j 4) A dla w = 106 rd/s.

Przebieg czasowy napięcia, odpowiadający zadanej amplitudzie zespolonej U jest:

u ( t ) = Re [U e j w t] = 100 cos ( 106 t - 450 ) V.

Amplitudę zespoloną prądu należy najpierw przedstawić w postaci wykładniczej:

i wtedy: A.

Analogicznie do czterech wniosków W.4.1 ¸ W4.4, w których omówiono własności sygnałów sinusoidalnych o tej samej pulsacji, obecnie podane zostaną własności działań wykonywanych na amplitudach zespolonych.

Wniosek 4.5. Jeżeli a < 0 jest stałą rzeczywistą nie ujemną i sygnał sinusoidalny ma reprezentację zespoloną x1 ( t ) Þ X1 (4.15) to dla

     x ( t ) = a x1 ( t ) = Re [ a X1 e j w t ](4.18)     

co oznacza, ze amplituda zespolona wyraża się:

     X = a X1 (4.19)     

Wniosek 4.6. Jeżeli sygnał sinusoidalny ma reprezentację zespoloną x1 ( t ) Þ X1 (4.15) to dla pochodnej tej funkcji zachodzi

     (4.20)     

Widać z tego, ze operacja różniczkowania przebiegu sinusoidalnego, w dziedzinie zespolonej (dla amplitud zespolonych) zostaje zastąpiona mnożeniem przez liczbę zespolona : j w = w e j p /2.

     X = j w X1(4.21)     

Wniosek 4.7. Jeżeli sygnał sinusoidalny ma reprezentację zespoloną x1 ( t ) Þ X1 (4.15) to dla całki z tej funkcji zachodzi

     (4.22)     

A więc operacja całkowania po czasie przebiegu sinusoidalnego odpowiada w dziedzinie amplitud zespolonych mnożeniu odpowiedniej amplitudy zespolonej przez

co odpowiada
      (4.23)     

Te trzy wnioski dotyczyły właściwości odwzorowań pojedynczych sygnałów sinusoidalnych. Obecnie rozważymy reprezentację sumy dwóch przebiegów o tej samej pulsacji.

Wniosek 4.8. Jeżeli sygnały sinusoidalne o identycznych pulsacjach mają odpowiednio reprezentacje w postaci amplitud zespolonych: x1 ( t ) Þ X1 i x2 ( t ) Þ X2 (4.15), to

     (4.24)     

Otrzymujemy zatem
      (4.25)     

Traktując wspólnie wnioski W.4.5 i W.4.8 stwierdzamy, że omawiane przyporządkowanie jest jednorodne i addytywne, a zatem jest przyporządkowaniem liniowym.

Na przykładzie pokażemy zastosowanie tego przyporządkowania do znalezienia rozwiązania równania różniczkowego.

Przykład 4.3. Wiadomo, że składową ustaloną rozwiązania równania

jest funkcja sinusoidalna x ( t ) o pulsacji w. Wyznaczyć ten przebieg.

Załóżmy, że x ( t ) Þ X = Xm ejj , a dla funkcji z prawej strony równania odpowiada amplituda zespolona

Wykorzystując własności (4.19) ¸ (4.25) otrzymamy równanie algebraiczne w dziedzinie zespolonej, odpowiadające wyjściowemu równaniu różniczkowo-całkowemu

5 X + 3 j w X + 2

Równanie to można sprowadzić do postaci X [ 5+ j (3 w -

Amplituda zespolona X będąca rozwiązaniem na płaszczyźnie zmiennej zespolonej jest zatem równa

Ostatecznie odpowiedź jako funkcja czasu ma postać

.


 następny punkt »