« poprzedni punkt  następny punkt »


5. Prądowe i napięciowe prawa Kirchhoffa

W analizie układów elektrycznych podstawowe znaczenie maja dwa prawa Kirchhoffa sformułowane w 1845 r. i wynikające z warunków zachowania energii. Są to warunki, które musza być spełnione w każdym układzie skupionym, tj. układzie zbudowanym z elementów o stałych skupionych i dotyczą dowolnych połączeń tych elementów.

Prądowe prawo Kirchhoffa (PPK) nazywane czasem pierwszym prawem Kirchhoffa, dotyczy bilansu prądów w węźle i można go sformułować następująco: dla każdego węzła układu elektrycznego (rys.2.9a) algebraiczna suma prądów jest w każdej chwili równa zeru:

      = 0(2.16)     

W równaniu (2.16) prądom skierowanym jednakowo wobec węzła przypisuje się jeden znak, a pozostałym prądom znak przeciwny. Równanie to jest również słuszne w odniesieniu do dowolnego obszaru zamkniętego zawierającego elementy skupione (rys.2.9b).

Rys.2.9. Węzeł (a) i obszar zamknięty (b) z zaznaczeniem zwrotów występujących w nich prądów

Dla przykładu równania z PPK dla sytuacji przedstawionych na rys. 2.9 mają postać:

     i1 + i2 + i3 -i4 = 0,      i1 + i2 + i3 = 0(2.17)     

Nie trudno zauważyć, że prądowe prawo Kirchhoffa można sformułować nieco inaczej: dla każdego węzła układu elektrycznego suma prądów dopływających do węzła jest równa sumie prądów odpływających od węzła. W tym zapisie zawarta jest zasada bilansu prądów.

Napięciowe prawo Kirchhoffa (NPK) nazywane czasem drugim prawem Kirchhoffa, dotyczące bilansu napięć w obwodzie zamkniętym jest formułowane następująco: w każdym obwodzie zamkniętym (rys.2.10) algebraiczna suma napięć na elementach skupionych tworzących ten obwód jest równa zeru:

      = 0(2.18)     

Dla jednoznacznego zapisu równania (2.18) w obwodzie zamkniętym przyjmuje się umowny kierunek obiegu i napięcia zgodne z nim maja znak plus ( "+" ), a przeciwne znak minus ( "-" ). Przykładowo, dla obwodu pokazanego narys.2.10a, drugie prawo Kirchhoffa przyjmie postać:

     u1 + u2 + u3 - u4 = 0(2.19)     

Rys.2.10. Obwód zamknięty jako fragment układu (a) oraz obwód zamknięty z wyróżnionymi elementami źródłowymi (b)

W obwodzie zamkniętym, w którym wyróżnimy napięcia źródłowe (siły elektromotoryczne SEM - e) i napięcia odbiornikowe (spadki napięć), jak na rys.2.10b, napięciowe prawo Kirchhoffa wyraża się: w obwodzie zamkniętym suma algebraiczna napięć źródłowych i napięć odbiornikowych jest równa zeru:

     e1 - e3 - u1 + u2 + u3 - u4 = 0(2.20)     

W tym ostatnim sformułowaniu zawarta jest zasada bilansu napięć.

Istotnym problemem opisu układu elektrycznego jest określenie liczby równań niezależnych, które można zapisać z PPK i NPK. Dla układu o liczbie gałęzi - g, liczbie węzłów - w i liczbie części układu (utworzonych przez galwaniczne połączenia elementów) - m, wynikają dwa stwierdzenia:

Węzły lub obwody, dla których wybrano równania niezależne noszą nazwę węzłów lub obwodów niezależnych odpowiednio. Węzły, dla których pominięto zapisy z PPK noszą nazwę węzłów odniesienia. Natomiast za zbiór obwodów niezależnych dla układu płaskiego (tj. takiego, dla którego schemat na płaszczyźnie posiada punkty wspólne wyłącznie w węzłach) najwygodniej jest przyjąć zbiór wszystkich oczek układu.

Liczba równań niezależnych zapisach w oparciu o oba prawa jest równa liczbie gałęzi:

     kp + kn = g(2.23)     

Przykład 2.2. Rozważmy układ przedstawiony na rys. 2.11. Dla tego układu zapiszmy wszystkie równania wynikające z PPK i równania dla oczek na podstawie NPK. Układ składa się: z g = 6 gałęzi, w = 4 węzłów i m = 1 części niezależnych.

Rys. 2.11. Układ z przykł. 2.2.

Spośród czterech równań prądowych Kirchhoffa (2.14) dla poszczególnych węzłów:

(A) i1 - i2 - i6 = 0

(B) i2 - i3 - i4 = 0

(C) i4 - i5 + i6 = 0

(D) - i1 + i3 + i5 = 0

tylko: w - m = 3 są niezależne. Wystarczy dodać do siebie pierwsze trzy równania, aby otrzymać równanie czwarte pomnożone przez -1. Jeśli odrzucimy równanie czwarte, to uznajemy węzeł D za węzeł odniesienia, a węzły A, B i C za węzły niezależne. Liczba równań niezależnych z PPK jest zatem, zgodna z (2.21) i wynosi : kp = 3.

Oczka zaznaczono na rys. 2.11 symbolami O1, O2 i O3 wraz z kierunkami obiegu. Napięciowe równania Kirchhoffa (2.20) przyjmują dla nich postać:

(O1) e1 - u1 - u2 - u3 = 0

(O2) u3 - u4 - u5 = 0

(O3) u2 + u4 - u6 = 0

i tworzą niezależny układ równań. Liczba wszystkich otrzymanych równań jest wówczas zgodna z (2.23) i wynosi sześć, tyle co liczba gałęzi. Jednak występują w nich niewiadome prądy ik i niewiadome napięcia uk (k 1,2, ... 6), co stanowi liczbę dwukrotnie większą od liczby gałęzi. Do pełnego rozwiązania konieczne są związki pomiędzy prądami ik oraz napięciami uk (tzw. równania gałęziowe), o których będzie mowa poniżej.


« poprzedni punkt  następny punkt »