« poprzedni punkt  następny punkt »


2. Opis dwójników przy pomocy immitancji

Przed wprowadzeniem opisu immitancyjnego dwójników rozważymy związki miedzy napięciem i prądem na pojedynczych elementach R,L i C, w przypadku wymuszenia sinusoidalnie zmiennego.

Opór

Do zacisków oporu R, jak na rys.4.3a, przyłożono napięcie

     uR = Um cos w t(4.26)     

Wartość prądu wynika z zależności

     (4.27)     

dla której amplituda prądu jest

     (4.28)     

Rys. 4.3. Analiza przebiegów napięcia i prądu na oporze R

W przypadku wymuszenia prądowego
     iR = Im cos w t(4.29)     

napięcie wyraża się wzorem
     uR = R i = R Im cos w t = Um cos w t(4.30)     

przy czym amplituda napięcia jest
     Um = R Im(4.31)     

Z porównania przebiegów wynika też, że na oporze napięcie i prąd są proporcjonalne ze współczynnikiem R i w fazie (przesunięcie fazowe miedzy nimi j = 0). Na rys. 4.3b pokazano wykresy czasowe napięcia i prądu.

Przyjmując w opisie zespolonym, dla przebiegu (4.26), amplitudę zespoloną
     UR = Um ej0(4.32)     

otrzymuje się na podstawie (4.5)

     (4.33)     

lub dla amplitudy napięcia
     (4.34)     

Wykres wektorowy amplitud zespolonych prądu i napięcia pokazano na rys. 4.3c.

Indukcyjność

Do zacisków indukcyjności L, jak na rys.4.4a, przyłożono napięcie

     uL = Um cos w t(4.35)     

Rys.4.4 Analiza napięć i prądów na indukcyjności L

Wartość prądu wynika z zależności

     (4.36)     

dla której amplituda prądu jest równa
     (4.37)     

i przesunięcie fazowe prądu
      (prąd opóźnia się względem napięcia)(4.38)     

W przypadku wymuszenia prądowego
     iL = Im cos w t(4.39)     

napięcie wyraża się wzorem

     w t + j u)(4.40)     

W tym przypadku amplituda napięcia

     Um = w L Im(4.41)     

a przesunięcie fazowe napięcia

      (napięcie wyprzedza prąd)(4.42)     

Z porównania przebiegów wynika też, że na indukcyjności napięcie i prąd są przesunięte w fazie o kąt ± p /2. Miedzy amplitudami napięcia i prądu współczynnik proporcjonalności jest w L, a prądu i napięcia 1/w L. Na rys. 4.4b pokazano wykresy czasowe napięcia i prądu.

Przyjmując w opisie zespolonym, dla przebiegu (4.35), amplitudę zespoloną
     UL = Um ej0(4.43)     

otrzymuje się na podstawie (W4.6 - 4.7)

     (4.44)     

lub dla amplitudy napięcia
     (4.45)     

Wykres wektorowy amplitud zespolonych prądu i napięcia pokazano na rys. 4.4c.

Pojemność

Do zacisków pojemności C, jak na rys.4.5a, przyłożono napięcie

     uC = Um cos w t(4.46)     

Rys.4.5 Analiza napięć i prądów na pojemności C

Wartość prądu wynika z zależności

     (4.47)     

co prowadzi do równości dla amplitud
     Im = w C Um(4.48)     

oraz faz
      (prąd wyprzedza napięcie)(4.49)     

W przypadku wymuszenia prądowego
     iL = Im cos w t(4.50)     

napięcie wyraża się wzorem

     )(4.51)     

Wówczas amplituda napięcia jest
     (4.52)     

a faza
      (napięcie opóźnia się względem prądu)(4.53)     

Z porównania przebiegów wynika też, że na pojemności prąd i napięcie są przesunięte w fazie o kąt odpowiednio ± p /2. Miedzy amplitudami prądu i napięcia współczynnik proporcjonalności jest w C, a i napięcia i prądu 1/w C. Na rys. 4.5b pokazano wykresy czasowe napięcia i prądu.

Przyjmując w opisie zespolonym, dla przebiegu (4.46), amplitudę zespoloną
     UC = Um ej0(4.54)     

otrzymuje się na podstawie (4.6 - 4.7)

      IC = j w C UC(4.55)     

oraz
     (4.56)     

Wykres wektorowy amplitud zespolonych prądu i napięcia pokazano na rys. 4.5c.

Równania (4.34), (4.45) oraz (4.56) w dziedzinie zespolonej mają wspólną cechę, a mianowicie wyrażają amplitudę zespoloną napięcia od amplitudy zespolonej prądu.

Definicja 4.3. Zespolone współczynniki proporcjonalności amplitud zespolonych napięć i prądów przyjmują odpowiednio wartości:

     , , (4.57)     

i noszą nazwę impedancji elementu, wyrażanej w omach [W].

W stosunku do równań (4.33), (4.44) i (4.55) istnieje podobna własność, mówiąca o odwrotności tego stosunku amplitud.

Definicja 4.4. Zespolone współczynniki proporcjonalności pomiędzy amplitudami zespolonymi prądów i napięć na elementach:

     , , (4.58)     

noszą nazwę admitancji elementów i wyrażają się w simensach [S].

Spośród tych wartości impedancja i admitancja oporu ma wyłącznie część rzeczywistą (przyjmuje wartości rzeczywiste), a impedancje i admitancje indukcyjności i pojemności mają tylko cześć urojoną (przyjmują wartości czysto urojone).

Przedstawione wyżej definicje (4.57) i (4.58) można traktować jako rozszerzenie prawa Ohma dla elementów w opisie zespolonym.

Obecnie pojecie impedancji i admitancji poszczególnych elementów układu rozszerzymy na dowolne dwójniki (rys.4.6).

Definicja 4.5. Impedancją dwójnika nazywamy stosunek amplitudy zespolonej napięcia panującego na jego zaciskach do prądu płynącego przez dwójnik i oznaczamy

     (4.59)     

Impedancja dwójników SLS jest funkcją zespoloną pulsacji w.

Rys. 4.6. Dwójnik

Definicja 4.6. Cześć rzeczywistą impedancji R(w) ³ 0 nosi nazwę rezystancji dwójnika, a część urojona impedancji X (w ) - reaktancji dwójnika, która może przyjmować zarówno wartości dodatnie jak i ujemne.

Jednostka impedancji oraz rezystancji i reaktancji jest om [W].

Impedancję możemy zapisać w innej postaci
     (4.60)     

przy czym moduł i argument wyrażają się wzorami

     , (4.61)     

Wartości argumentu impedancji ograniczone są do przedziału , a zatem impedancja przyjmuje wartości z prawej półpłaszczyzny zmiennej zespolonej (wraz z osią urojoną).Składowe impedancji tworzą trójkąt impedancji (rys.4.7). W przypadku X(w ) > 0 argument jest dodatni j > 0 i dwójnik ma charakter indukcyjny. Natomiast jeżeli X(w ) < 0, to j < 0 i dwójnik ma charakter pojemnościowy. Dla X(w ) = 0 dwójnik przyjmuje charakter rezystancyjny (rzeczywisty).

Rys. 4.7. Trójkąt impedancji dwójnika

Dla przypadku R(w ) =0 dwójnik nosi nazwę dwójnika reaktancyjnego i jest to dwójnik bezstratny.

Przykład 4.4. Na zaciskach dwójnika panuje napięcie V

i prąd A

(z przykl.4.2.) Wyznaczyć jego impedancję oraz rezystancję i reaktancję.

Zgodnie z (4.59)

[W]

R = 20 cos 26050' = 17,85 W,      X = 20 sin 26050' = 9,03 W

Prawa łączenia impedancji są takie same jak prawa łączenia oporów.

Definicja 4.7. Admitancją dwójnika (rys.4.6) nazywamy stosunek amplitudy zespolonej prądu płynącego w dwójniku do amplitudy zespolonej napięcia panującego na jego zaciskach i oznaczamy

     (4.62)     

Admitancja dwójników SLS jest funkcją zespoloną pulsacji w i jest odwrotnością impedancji
     (4.63)     

Definicja 4.8. Cześć rzeczywistą admitancji G(w ) ³ 0 nosi nazwę konduktancji dwójnika, a część urojona admitancji B (w ) - susceptancji dwójnika, która może przyjmować zarówno wartości dodatnie jak i ujemne.

Jednostką admitancji oraz konduktancji i susceptancji jest simens [S].

Admitancję możemy zapisać w innej postaci
     (4.64)     

przy czym moduł i argument wyrażają się wzorami

     , (4.65)     

Wartości argumentu admitancji ograniczone są do przedziału , a zatem admitancja przyjmuje wartości z prawej półpłaszczyzny zmiennej zespolonej (wraz z osią urojoną). Składowe admitancji tworzą trójkąt admitancji (rys.4.8). W przypadku B(φ) > 0 argument jest dodatni φ > 0 i dwójnik ma charakter pojemnościowy. Natomiast jeżeli B(φ) < 0, to φ < 0 i dwójnik ma charakter indukcyjny. Dla B(φ) = 0 dwójnik przyjmuje charakter konduktancyjny (rzeczywisty).

Rys.4.8. Trójkąt admitancji dwójnika

Dla przypadku G(w ) =0 dwójnik nosi nazwę dwójnika konduktancyjnego i jest to dwójnik bezstratny.

Prawa łączenia admitancji są takie same jak prawa łączenia przewodności.

Przykład 4.5. Na zaciskach dwójnika panuje napięcie i prąd o wartościach jak w przykł.4.4. Wyznaczyć jego admitancję oraz konduktancję i susceptancję.

Zgodnie z (4.62)

S

G = 0,05 cos 26050' = 0,045 S,   B = - 0,05 sin 26050' = 0,023 S.

Na podstawie (4.63) admitancję dwójnika można wyznaczyć na podstawie znanej jego impedancji. Zachodzi bowiem
     (4.66)     

a więc
     , (4.67)     

Dla wspólnego określenia funkcji impedancji lub admitancji stosuje się termin immitancji dwójnika. Pojęcia tego używa się w celu zwrócenia uwagi na jedną z tych funkcji, nie wyszczególniając o którą chodzi w rozważanym problemie.


« poprzedni punkt  następny punkt »