« poprzedni punkt  następny punkt »


5. Analiza układów na płaszczyźnie zmiennej zespolonej

Korzystając z reprezentacji wektorowej w postaci amplitud zespolonych (punkt 4.2), możemy dowolne równanie różniczkowe czy całkowe o stałych współczynnikach, niejednorodne, z wyrazem wolnym będącym funkcją sinusoidalną przekształcić w równanie algebraiczne w dziedzinie zespolonej. Tego typu równania opisują układy SLS w stanie ustalonym. Dlatego, po przekształceniu podstawowych praw bilansu napięć i prądów (punkt 4.3) oraz równań elementów (punkt 4.2), otrzymuje się układ równań algebraicznych zawierający niewiadome amplitudy zespolone prądów i napięć. Równania te możemy rozwiązać analitycznie znajdując wartości zespolone. Wyznaczenie przebiegów czasowych na podstawie odpowiadających im amplitudom zespolonym wykonuje się zgodnie z (4.16). Tok postępowania przy analizie układów metodą bezpośrednią i metodą amplitud zespolonych przedstawiono na rys.4.13.

Rys.4.13. Schemat postępowania w analizie układów SLS

Pierwsza czynnością w tej metodzie analizie jest przedstawienie dla analizowanego układu jego schematu zastępczego przy opisie w dziedzinie zespolonej. Sygnały zastępujemy odpowiadającymi im amplitudami zespolonymi (4.15), a dwójników opisujemy przez ich immitancje. Do tak stworzonego układu stosuje się wszystkie metody poznane w analizie stałoprądowej. Analogie są tu dość bliskie i przejawiają się w swojej koncepcji, równokształtności związków i wzorów obliczeniowych, a także w technice posługiwania się nimi.

Występują również pewne różnice. Zasadniczą z nich jest ta, że wielkości maja charakter zespolony, a odpowiednie obliczenia wymagają algebry liczb zespolonych. Znacznie poszerza się ponadto zbiór zagadnień analizy, jaki można formułować w odniesieniu do tych układów. Oprócz podstawowych pytań o prądy i napięcia można stawiać pytania o związki miedzy amplitudami lub fazami poszczególnych sygnałów.

W dalszej części zostanie zwrócona uwaga na podstawowe problemy istotne dla opisu zespolonego.

Źródła niezależne i ich opis zespolony

Parametry opisujące źródło napięciowe to amplituda zespolona SEM E i impedancja wewnętrzna
     Zw, gdzie: E = Em e j j, Zw = Rw + j Xw (4.92)     

Model rzeczywistego źródła napięciowego pokazano na rys. 4.14. Równanie zaciskowe na postać

     U = E - Zw I(4.93)     

Dla przypadku Zw = 0 mamy doczynienia ze źródłem napięciowym idealnym.

Rys.4.14. Modele źródeł napięciowego i prądowego

Rzeczywiste źródło prądowe przedstawiono również na rys. 4.14. Jego parametry amplituda zespolona wydajności prądowej J i admitancja wewnętrzna źródła Yw są:

     J = Jm e j f Yw = Gw + j Bw(4.94)     

Równanie zaciskowe w postaci zespolonej jest
     I = J - Gw U(4.95)     

Idealne źródło prądowe uzyskamy w przypadku Yw = 0.

W oparciu o modele rzeczywistych źródeł pokazane na rys.4.14 można wypowiedzieć zasadę zamiany źródeł: prąd płynący w obciążeniu Z nie ulegnie zmianie, jeśli źródło napięciowe zastąpimy źródłem prądowym o parametrach:
     J = Zw E, Yw = 1/Zw(4.96)     

Metoda zamiany źródeł

Może być stosowana w analizie na płaszczyźnie zmiennej zespolonej ze względu na swoją prostotę jednak pod warunkiem, że układ ma strukturę szeregowo-równoległą.

Przykład 4.7. Znaleźć zastępcze źródło napięciowe dla połączenia źródeł jak na rys. 4.15.

Przy połączeniu równoległym należy dokonać zamiany obu źródeł napięciowych na równoważne prądowe: J1 = E1/Z1 i Y1 = 1/Z1 oraz J2 = E2/Z2 i Y2 = 1/Z2

Rys. 4.15. Połączenie źródeł

Wypadkowe źródło prądowe ma parametry: J = J1 + J2 = E1/Z1 + E2/Z2 i Y = Y1+ Y2 = 1/Z1 + 1/Z2

Zastępcze źródło napięciowe będzie o SEM E i impedancji Z:

,

Metoda superpozycji

Układy SLS prądu sinusoidalnie zmiennego jako układy liniowe oraz transformacja na płaszczyznę zespoloną jako transformacja liniowa pozwala na stosowanie do wyznaczenia prądów i napięć zasady superpozycji (dostosowanej do opisu zespolonego). Wykorzystanie tej metody zostanie przedstawione na przykładzie.

Przykład 4.8. W układzie liniowym jak na rys.4.16a obliczyć napięcie u(t), korzystając z zasady superpozycji. Dane: e =12 cos w t V, j = 5 sin w t mA, R = 10 kW, C = 1,6 nF, w = 105 rd/s

Rys.4.16. Układ dla zobrazowania zastosowania metody superpozycji

Amplitudy zespolone źródeł: E = 12 e j0 V i J = 5 10-3 e -j p /2 mA. Układ rozbija się na dwa podukłady (4.16b), a napięcie U = U' + U". W pierwszym podukładzie z dzielnika napięciowego wynika wartość napięcia . W drugim podukładzie prądy wynoszą

, ,

natomiast napięcie: U" = R I2 - 2R I1 = .

Ostatecznie U = U' + U" = V,

a przebieg czasowy u(t) = 20,7 cos (105 t + 22037') V.

Metody źródeł zastępczych

Zasady stosowania metod źródeł zastępczych w analizie układów SLS prądu stałego można uogólnić, bez istotnych zmian (poza formalizmem zapisu zespolonego), na układy prądu sinusoidalnie zmiennego.

Zasada Thevenina. Z punktu widzenia zacisków AB dowolny układ SLS (rys.4.17) można zastąpić równoważnym źródłem napięciowym o parametrach:

Rys.4.17. Źródło zastępcze Thevenina

Analizując układ zastępczy możemy z łatwością zapisać zależności na prąd lub napięcie w obciążeniu:

      lub (4.98)     

Przykład 4.9. Stosując zasadę Thevenina obliczyć prąd i płynący w obciążeniu (gałąź RC) układu SLS, pokazanego na rys. 4.18a. Dane liczbowe jak w przykładzie 4.8.

Rys. 4.18. Układ SLS z obciążeniem i jego zastępcze źródło Thevenina

Dla wyznaczenia ET = UABr skorzystamy z przykl.4.8. Po usunięciu obciążenia (rozwarciu zacisków AB)

UABr = U =

Układ bezźródłowy przyjmuje postać dwójnika z rys. 4.18b i jego impedancja jest równa

kW

Impedancja obciążenia ma wartość

kW

Zatem zgodnie z (4.98)

Stąd i(t) = mA.

Zasada Nortona. Z punktu widzenia zacisków AB dowolny układ SLS (rys.4.19) można zastąpić równoważnym źródłem prądowym o parametrach:

Rys.4.19. Źródło zastępcze Nortona

Analizując układ zastępczy możemy z łatwością zapisać zależności na napięcie lub prąd w obciążeniu
      lub (4.100)     

Zastosowanie zasady Nortona przedstawimy na kolejnym przykładzie.

Przykład 4.10. Rozwiązać problem z przykł. 4.9 stosując zasadę Nortona.

Wydajność prądowa zastępczego źródła prądowego jest równa prądowi zwarcia zacisków AB (rys.4.20)

Rys.4.20. Postać układu z rys. 4.17 ze zwartymi zaciskami AB.

Do obliczenia prądu zwarcia skorzystamy z zasady superpozycji IAbz = I' + I"

gdzie: I' = I" =

Stad IAbz =

Natomiast admitancja wewnętrzna jest odwrotnością impedancji wyliczonej w poprzednim przykładzie

Admitancja obciążenia wynosi

Podstawiając do (4.100) otrzymamy mA

a więc i = 0,93 cos (105 t + 72007") mA identyczny jak poprzednio.


« poprzedni punkt  następny punkt »