« poprzedni punkt | następny punkt » |
Korzystając z reprezentacji wektorowej w postaci amplitud zespolonych (punkt 4.2), możemy dowolne równanie różniczkowe czy całkowe o stałych współczynnikach, niejednorodne, z wyrazem wolnym będącym funkcją sinusoidalną przekształcić w równanie algebraiczne w dziedzinie zespolonej. Tego typu równania opisują układy SLS w stanie ustalonym. Dlatego, po przekształceniu podstawowych praw bilansu napięć i prądów (punkt 4.3) oraz równań elementów (punkt 4.2), otrzymuje się układ równań algebraicznych zawierający niewiadome amplitudy zespolone prądów i napięć. Równania te możemy rozwiązać analitycznie znajdując wartości zespolone. Wyznaczenie przebiegów czasowych na podstawie odpowiadających im amplitudom zespolonym wykonuje się zgodnie z (4.16). Tok postępowania przy analizie układów metodą bezpośrednią i metodą amplitud zespolonych przedstawiono na rys.4.13.
Rys.4.13. Schemat postępowania w analizie układów SLS
Pierwsza czynnością w tej metodzie analizie jest przedstawienie dla analizowanego układu jego schematu zastępczego przy opisie w dziedzinie zespolonej. Sygnały zastępujemy odpowiadającymi im amplitudami zespolonymi (4.15), a dwójników opisujemy przez ich immitancje. Do tak stworzonego układu stosuje się wszystkie metody poznane w analizie stałoprądowej. Analogie są tu dość bliskie i przejawiają się w swojej koncepcji, równokształtności związków i wzorów obliczeniowych, a także w technice posługiwania się nimi.
Występują również pewne różnice. Zasadniczą z nich jest ta, że wielkości maja charakter zespolony, a odpowiednie obliczenia wymagają algebry liczb zespolonych. Znacznie poszerza się ponadto zbiór zagadnień analizy, jaki można formułować w odniesieniu do tych układów. Oprócz podstawowych pytań o prądy i napięcia można stawiać pytania o związki miedzy amplitudami lub fazami poszczególnych sygnałów.
W dalszej części zostanie zwrócona uwaga na podstawowe problemy istotne dla opisu zespolonego.
Źródła niezależne i ich opis zespolony
Parametry opisujące źródło napięciowe to amplituda zespolona SEM E i impedancja wewnętrzna
Zw, gdzie: E = Em e j j, Zw = Rw + j Xw | (4.92) |
Model rzeczywistego źródła napięciowego pokazano na rys. 4.14. Równanie zaciskowe na postać
U = E - Zw I | (4.93) |
Dla przypadku Zw = 0 mamy doczynienia ze źródłem napięciowym idealnym.
Rys.4.14. Modele źródeł napięciowego i prądowego
Rzeczywiste źródło prądowe przedstawiono również na rys. 4.14. Jego parametry amplituda zespolona wydajności prądowej J i admitancja wewnętrzna źródła Yw są:
J = Jm e j f Yw = Gw + j Bw | (4.94) |
Równanie zaciskowe w postaci zespolonej jest
I = J - Gw U | (4.95) |
Idealne źródło prądowe uzyskamy w przypadku Yw = 0.
W oparciu o modele rzeczywistych źródeł pokazane na rys.4.14 można wypowiedzieć zasadę zamiany źródeł: prąd płynący w obciążeniu Z nie ulegnie zmianie, jeśli źródło napięciowe zastąpimy źródłem prądowym o parametrach:
J = Zw E, Yw = 1/Zw | (4.96) |
Metoda zamiany źródeł
Może być stosowana w analizie na płaszczyźnie zmiennej zespolonej ze względu na swoją prostotę jednak pod warunkiem, że układ ma strukturę szeregowo-równoległą.
Przykład 4.7. Znaleźć zastępcze źródło napięciowe dla połączenia źródeł jak na rys. 4.15.
Przy połączeniu równoległym należy dokonać zamiany obu źródeł napięciowych na równoważne prądowe: J1 = E1/Z1 i Y1 = 1/Z1 oraz J2 = E2/Z2 i Y2 = 1/Z2
Rys. 4.15. Połączenie źródeł
Wypadkowe źródło prądowe ma parametry: J = J1 + J2 = E1/Z1 + E2/Z2 i Y = Y1+ Y2 = 1/Z1 + 1/Z2
Zastępcze źródło napięciowe będzie o SEM E i impedancji Z:
,
Metoda superpozycji
Układy SLS prądu sinusoidalnie zmiennego jako układy liniowe oraz transformacja na płaszczyznę zespoloną jako transformacja liniowa pozwala na stosowanie do wyznaczenia prądów i napięć zasady superpozycji (dostosowanej do opisu zespolonego). Wykorzystanie tej metody zostanie przedstawione na przykładzie.
Przykład 4.8. W układzie liniowym jak na rys.4.16a obliczyć napięcie u(t), korzystając z zasady superpozycji. Dane: e =12 cos w t V, j = 5 sin w t mA, R = 10 kW, C = 1,6 nF, w = 105 rd/s
Rys.4.16. Układ dla zobrazowania zastosowania metody superpozycji
Amplitudy zespolone źródeł: E = 12 e j0 V i J = 5 10-3 e -j p
/2 mA. Układ rozbija się na dwa podukłady (4.16b), a napięcie U = U' + U". W pierwszym podukładzie z dzielnika napięciowego wynika wartość napięcia . W drugim podukładzie prądy wynoszą
,
,
natomiast napięcie: U" = R I2 - 2R I1 = .
Ostatecznie U = U' + U" = V,
a przebieg czasowy u(t) = 20,7 cos (105 t + 22037') V.
Metody źródeł zastępczych
Zasady stosowania metod źródeł zastępczych w analizie układów SLS prądu stałego można uogólnić, bez istotnych zmian (poza formalizmem zapisu zespolonego), na układy prądu sinusoidalnie zmiennego.
Zasada Thevenina. Z punktu widzenia zacisków AB dowolny układ SLS (rys.4.17) można zastąpić równoważnym źródłem napięciowym o parametrach:
ET = UAbr ZT = ZAB | (4.97) |
Rys.4.17. Źródło zastępcze Thevenina
Analizując układ zastępczy możemy z łatwością zapisać zależności na prąd lub napięcie w obciążeniu:
![]() ![]() | (4.98) |
Przykład 4.9. Stosując zasadę Thevenina obliczyć prąd i płynący w obciążeniu (gałąź RC) układu SLS, pokazanego na rys. 4.18a. Dane liczbowe jak w przykładzie 4.8.
Rys. 4.18. Układ SLS z obciążeniem i jego zastępcze źródło Thevenina
Dla wyznaczenia ET = UABr skorzystamy z przykl.4.8. Po usunięciu obciążenia (rozwarciu zacisków AB)
UABr = U =
Układ bezźródłowy przyjmuje postać dwójnika z rys. 4.18b i jego impedancja jest równa
kW
Impedancja obciążenia ma wartość
kW
Zatem zgodnie z (4.98)
Stąd i(t) = mA.
Zasada Nortona. Z punktu widzenia zacisków AB dowolny układ SLS (rys.4.19) można zastąpić równoważnym źródłem prądowym o parametrach:
JN = IAbz YN = YAB | (4.99) |
Rys.4.19. Źródło zastępcze Nortona
Analizując układ zastępczy możemy z łatwością zapisać zależności na napięcie lub prąd w obciążeniu
![]() ![]() ![]() | (4.100) |
Zastosowanie zasady Nortona przedstawimy na kolejnym przykładzie.
Przykład 4.10. Rozwiązać problem z przykł. 4.9 stosując zasadę Nortona.
Wydajność prądowa zastępczego źródła prądowego jest równa prądowi zwarcia zacisków AB (rys.4.20)
Rys.4.20. Postać układu z rys. 4.17 ze zwartymi zaciskami AB.
Do obliczenia prądu zwarcia skorzystamy z zasady superpozycji IAbz = I' + I"
gdzie: I' = I" =
Stad IAbz =
Natomiast admitancja wewnętrzna jest odwrotnością impedancji wyliczonej w poprzednim przykładzie
Admitancja obciążenia wynosi
Podstawiając do (4.100) otrzymamy mA
a więc i = 0,93 cos (105 t + 72007") mA identyczny jak poprzednio.
« poprzedni punkt | następny punkt » |