« poprzedni punkt | następny punkt » |
Rozpoczniemy od przykładu:
Przykład
Rozwiązać układ równań liniowych:
Krok 1.
a) Mnożymy pierwsze z równań przez 1/3 i odejmujemy od równania drugiego:
b) Mnożymy pierwsze z równań przez 2/3 i odejmujemy od równania trzeciego:
Krok 2.
Mnożymy drugie z równań przez 1/11 i odejmujemy od równania trzeciego:
Krok 3.
Z równania trzeciego wyliczamy wartość z:
z =
Krok 4.
Wyliczoną wartość z wstawiamy do równania drugiego i znajdujemy wartość y.
,
Krok 5.
Wartości z i y wstawiamy do równania pierwszego i obliczamy wartość x:
,
Rozwiązanie układu równań:
.
Omówiony przykład przedstawił metodę Gaussa, która prowadzi do znalezienia rozwiązania układu n równań liniowych z n niewiadomymi, jeśli tylko takie rozwiązanie istnieje i jest jednoznaczne. W takim przypadku istotą metody Gaussa jest sprowadzenie macierzy głównej A układu równań najpierw do macierzy górnotrójkątnej, a następnie do macierzy diagonalnej, przy pomocy następujących operacji elementarnych na wierszach macierzy A:
Prześledźmy operacje na macierzy A wykonane w przykładzie:
1a) Pierwszy wiersz pomnożony przez 1/3 i odjęty od drugiego. Macierz A przekształca się w macierz
A1 postaci:
1b) Pierwszy wiersz pomnożony przez 2/3 i odjęty od trzeciego. Otrzymujemy macierz A2:
2) Drugi wiersz pomnożony przez 1/11 i odjęty od trzeciego. Stąd otrzymujemy macierz A3:
Macierz A została doprowadzona do macierzy górnotrójkątnej. Można teraz wyliczyć rozwiązania poczynając od zmiennej z, po zauważeniu, że analogicznie przekształcona przez przekształcenia elementarne kolumna wyrazów wolnych B ma postać:
Wykonanie następnych kroków prowadzi do przekształcenia macierzy A w macierz diagonalną.
Pytanie kontrolne 4: W przykładzie nie było konieczne wykonanie operacji a) przestawienia dwóch wierszy. Dlaczego?
« poprzedni punkt | następny punkt » |