« poprzedni punkt  następny punkt »


2. WYZNACZNIK GRAMA

Jak obliczyć objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach v1,..., vk, gdy k < n ?

Poprzednio udowodniliśmy, że dla v1, v2 Î E2 zachodzi:

Ostatnie wyrażenie jest pierwiastkiem z wyznacznika macierzy:

Jest to tzw. macierz Grama G(v1, v2) dla wektorów v1, v2. Ogólnie macierz Grama dla wektorów v1,..., vk Î En ma postać:

Definicja

Objętością równoległościanu R(v1,..., vk) nazywamy dodatni pierwiastek wyznacznika macierzy Grama:

Okazuje się, że taka definicja jest zgodna z intuicyjnym pojęciem objętości równoległościanu.

Interpretacja geometryczna wyznacznika macierzy przekształcenia

Niech L: En ® En będzie przekształceniem liniowym o macierzy A w bazie standardowej. Załóżmy, że macierz A jest nieosobliwa.

Wówczas wektory L(v1),...,L( vn) są liniowo niezależne, jeśli tylko wektory v1,..., vn są liniowo niezależne. Istotne jest pytanie jaki jest związek między objętościami równoległościanów rozpiętych na danych wektorach i na ich obrazach w przekształceniu liniowym, tzn.:

Stwierdzenie

Uwaga

Stwierdzenie to prawdziwe jest nie tylko dla równoległościanów, ale dla dowolnych brył w En (przy naturalnym rozumieniu ich objętości). Objętość bryły przekształconej przez przekształcenie liniowe zwiększa się Idet AI razy.

Przykład:

Obliczyć pole obrazu równoległoboku R([1, 3],[2, 1]) po przekształceniu liniowym o macierzy:

Zgodnie z ostatnim stwierdzeniem obliczamy:

Zatem | L( R( [1, 3], [2, 1] )) | = 35.

Zauważmy, że mogliśmy obliczyć iloczyn macierzy A i R( [1, 3], [2, 1] ):

a następnie obliczyć wartość bezwzględną wyznacznika tej macierzy (dlaczego?).

Pytanie kontrolne 2: Obliczyć pole obrazu równoległoboku R([1, -3],[2, 1]) po przekształceniu liniowym o macierzy:

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »