« poprzedni punkt 


4. FUNKCJA LOGARYTMICZNA

Funkcja logarytmiczna zmiennej zespolonej jest postaci:

        f(z) = log z.

Definicja

        log z = lnr + ij jeśli r > 0, dla z = reij .

(i) Funkcja logz nie jest sensu stricto funkcją, ponieważ argument liczby zespolonej nie jest określony jednoznacznie, zatem: log z = lnr + i(j + 2kp ), gdzie k Î Z.

(ii) Funkcja log z ma nieskończenie wiele gałęzi: każdej ustalonej wartości k odpowiada jedna gałąź logarytmu będąca funkcją w dotychczasowym naszym rozumieniu tego terminu.

Gałąź główna:

        Log z = lnr + i∙Arg z (r > 0).

Stwierdzenie

Funkcja logarytmiczna ma następujące własności:

        log (z1∙z2) = logz1 + logz2,
        log1 = 0,
        elogz = z.

Dowód:

        ,

mamy:

        
        

Nadto:

        elogz = eln|z|+Argz = eln|z|∙eiArgz = |z|∙eiArgz = z.


« poprzedni punkt