« poprzedni punkt  następny punkt »


4. GAUSSA METODA ELIMINACJI

Rozpoczniemy od przykładu:

Przykład

Rozwiązać układ równań liniowych:

Krok 1.

a) Mnożymy pierwsze z równań przez 1/3 i odejmujemy od równania drugiego:

b) Mnożymy pierwsze z równań przez 2/3 i odejmujemy od równania trzeciego:

Krok 2.

Mnożymy drugie z równań przez 1/11 i odejmujemy od równania trzeciego:

Krok 3.

Z równania trzeciego wyliczamy wartość z:

z =

Krok 4.

Wyliczoną wartość z wstawiamy do równania drugiego i znajdujemy wartość y.

,

Krok 5.

Wartości z i y wstawiamy do równania pierwszego i obliczamy wartość x:

,

Rozwiązanie układu równań:

.

Omówiony przykład przedstawił metodę Gaussa, która prowadzi do znalezienia rozwiązania układu n równań liniowych z n niewiadomymi, jeśli tylko takie rozwiązanie istnieje i jest jednoznaczne. W takim przypadku istotą metody Gaussa jest sprowadzenie macierzy głównej A układu równań najpierw do macierzy górnotrójkątnej, a następnie do macierzy diagonalnej, przy pomocy następujących operacji elementarnych na wierszach macierzy A:

  1. zamiana dwóch wierszy między sobą;
  2. przemnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od 0;
  3. odjęcie od elementów dowolnego wiersza odpowiadających im elementów innego wiersza przemnożonych przez ustaloną liczbę.

Prześledźmy operacje na macierzy A wykonane w przykładzie:

1a) Pierwszy wiersz pomnożony przez 1/3 i odjęty od drugiego. Macierz A przekształca się w macierz

A1 postaci:

1b) Pierwszy wiersz pomnożony przez 2/3 i odjęty od trzeciego. Otrzymujemy macierz A2:

2) Drugi wiersz pomnożony przez 1/11 i odjęty od trzeciego. Stąd otrzymujemy macierz A3:

Macierz A została doprowadzona do macierzy górnotrójkątnej. Można teraz wyliczyć rozwiązania poczynając od zmiennej z, po zauważeniu, że analogicznie przekształcona przez przekształcenia elementarne kolumna wyrazów wolnych B ma postać:

Wykonanie następnych kroków prowadzi do przekształcenia macierzy A w macierz diagonalną.

Pytanie kontrolne 4: W przykładzie nie było konieczne wykonanie operacji a) przestawienia dwóch wierszy. Dlaczego?

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »