« poprzedni punkt | następny punkt » |
W oparciu o powyższe twierdzenie łatwo uzasadnić prawdziwość następującego algorytmu Gaussa obliczania wyznaczników, który polega na sukcesywnym obniżaniu stopnia obliczanego wyznacznika.
Obliczamy wyznacznik macierzy A:
Wówczas:
W ostatnim wyznaczniku od i-tego wiersza, dla i = 2, 3, ..., n odejmujemy wiersz pierwszy przemnożony przez ai1.
W efekcie otrzymamy:
gdzie:
.
Transponując ostatni wyznacznik i korzystając z definicji wyznacznika otrzymamy, że:
gdzie wyznacznik po prawej stronie a11 jest stopnia n-1. W ten sposób obliczenie wyznacznika stopnia n sprowadza się do obliczenia wyznacznika stopnia n - 1.
Definicja
Niech A = [ aij] będzie macierzą kwadratową stopnia n. Dopełnieniem algebraicznym elementu aij nazywamy liczbę:
gdzie Aij oznacza macierz stopnia n-1 otrzymaną przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy.
Twierdzenie (Laplace'a o rozwinięciu wyznacznika)
Dla macierzy A stopnia n zachodzi:
i
dla dowolnych liczb i, j takich, że 1 £ i, j £ n.
Zatem wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów i-tego wiersza i ich dopełnień algebraicznych jak również sumie iloczynów elementów j-tego wiersza i ich dopełnień algebraicznych.
Przykład zastosowania twierdzenia Laplace'a
Stosując rozumowanie indukcyjne i twierdzenie Laplace'a łatwo uzasadnić, że wyznacznik macierzy dolno lub górnotrójkątnej jest równy iloczynowi elementów diagonalnych.
Twierdzenie (o wyznaczniku iloczynu)
Jeśli A i B są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, to:
det ( A × B) = det A × det B.
« poprzedni punkt | następny punkt » |