następny punkt »


1. DEFINICJA PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWEGO

Rozpocznijmy od przykładu.

Przykład

Rozpatrzmy przekształcenie płaszczyzny będące jednokładnością, która przekształca kwadrat jednostkowy na kwadrat o bokach [0, 3] i [0, 4]. Przekształcenie to polega na przemnożeniu współrzędnych dowolnego wektora x = [x1, x2], odpowiednio przez 3 i 4.

Rys. 11_1 Jednokładność płaszczyzny.

Oznaczając jednokładność przez f otrzymujemy ogólny wzór określający to przekształcenie:

f([x1, x2]) = [3 x1, 4x2].

Zauważmy, że jeśli x =[x1, x2], y =[y1, y2] i c1, c2 są dowolnymi stałymi to:

f(c1 x + c2y) = f([ c1x1 + c2 y1, c1x2 + c2 y2]) = [ 3(c1x1 + c2 y1), 4(c1x2 + c2 y2)] =

= [3 c1x1, 4 c1x2] + [ 3 c2 y1, 4c2 y2] = c1 f([x1, x2]) + c2 f([y1, y2]) = c1 f(x) + c2 f(y).

Zdefiniowane przekształcenie ma zatem własność:

f(c1 x + c2y) = c1 f(x) + c2 f(y).

Podobnie można sprawdzić, że własność ta zachodzi dla dowolnych v1, v2, ..., vn Î R2 i stałych c1, c2,..., cn Î R:

f( c1v1+ ...+ cnvn) = c1f(v1) + ... + cnf(vn).

Definicja

Przekształcenie f : U ® V , gdzie U i V są przestrzeniami liniowymi nazywamy przekształceniem liniowym jeżeli powyższa równość spełniona jest dla dowolnych wektorów v1, v2, ..., vn Î U.

Przekształceniami liniowymi na płaszczyźnie są:

Uwaga

Dla dowolnego przekształcenia liniowego zachodzi:

  1. f(0) = 0 - tzn. wektor zerowy przestrzeni U przekształca się na wektor zerowy przestrzeni V;

  2. f(c1 x - c2y) = c1 f(x) - c2 f(y).

Zauważmy, że z definicji wynika, że przeksztacenia liniowe zachowują proporcjonalność wektorów. Jeżeli y = cx to f (y) = c f(x), co oznacza że obrazy wektorów proporcjonalnych są proporcjonalne z tą samą stałą proporcjonalności.


 następny punkt »