« poprzedni punkt |
Definicja
Niech F Ì E będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni euklidesowej E. Wektor v jest ortogonalny do podprzestrzeni F, jeśli v jest ortogonalny do dowolnego wektora u Î F, tzn. < u, v > = 0. Piszemy wtedy v ^ F.
Definicja
Niech F będzie podprzestrzenią liniową E. Rzutem ortogonalnym wektora u Î E na podprzestrzeń F nazywamy wektor u0 taki, że: u - u0 ^ F.
Rys. 13_3 Rzut prostokątny wektora na płaszczyznę.
Pytanie kontrolne 2: Sprawdź czy wektor [-1, 2, 0] jest prostopadły do podprzestrzeni E3 postaci:
{[x, y, z]: x = 2y = 3z}.
Rzut ortogonalny w przestrzeni E2 i E3 pokrywa się z rzutem prostokątnym wektorów na płaszczyznę i w przestrzeni. Jak wyznaczyć rzut ortogonalny w przypadku ogólnym? Jest to łatwe, jeśli w podprzestrzeni F , na którą rzutujemy jesteśmy w stanie wyznaczyć bazę ortogonalną.
Twierdzenie
Niech e1, ....., ek będzie bazą ortogonalną podprzestrzeni F. Wówczas rzut dowolnego wektora u Î E na podprzestrzeń F istnieje i jest określony wzorem:
Twierdzenia tego nie będziemy dokładnie udowadniać i ograniczymy się tylko do zauważenia, że wektor u - u0 jest ortogonalny do wszystkich wektorów bazowych ei . Sprawdźmy to dla wektora e1.
W przypadku, gdy e1, ....., ek jest bazą ortonormalną przestrzeni F , to rzut wektora u jest określony wzorem:
Przykład
Znajdź rzut ortogonalny wektora u = [-2, 3] Î E2 na prostą wyznaczoną równaniem y = ½ x.
Wektorem leżącym na prostej y = ½ x jest na przykład wektor [2, 1]. Po znormalizowaniu otrzymujemy wektor e1 = [2, 1] / 51/2, który oczywiście rozpina rozpatrywaną podprzestrzeń. Rzut wektora u ma postać:
Macierze ortogonalne
Rozpatrzmy wektory u1, ....., un ortonormalne w przestrzeni En. Zapiszmy je w bazie kanonicznej tej przestrzeni ui = [ ui1, .....,uin ] dla i = 1, 2, ..., n i kolejne wektory potraktujemy jako wiersze macierzy U, gdzie U = [ uij ], 1 £ i, j £ n.
Mamy < ui, uj > = 0 i || ui || = 1, zatem dowolne dwa różne wiersze macierzy U są ortogonalne i każdy z nich ma długość 1. Macierze o tej własności nazywamy ortogonalnymi.
Definicja
Macierz U wymiaru nxn nazywamy macierzą ortogonalną gdy jej wektory wierszowe tworzą układ ortonormalny.
Przykład
Przedstawiona poniżej macierz jest ortogonalna:
Z definicji wynika następujące stwierdzenie.
Stwierdzenie
Macierz U jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy gdy:
Zauważmy, że ze stwierdzenia wynikają ważne wnioski. Jeśli U potraktujemy jako macierz przekształcenia przestrzeni En, to przekształcenie to zachowuje wartości iloczynu skalarnego, zatem zachowuje długości wektorów oraz kąty między nimi. Ponadto, z własności ( i ) wynika, że każda macierz ortogonalna U jest odwracalna i U-1 = UT. Ponadto:
zatem: |det( U )| = 1.
Przykład
Rozpatrzmy macierz obrotu o kąt a w przestrzeni euklidesowej E2.
Macierz ta jest macierzą ortogonalną. Macierzą do niej odwrotną jest macierz obrotu o kąt - a:
« poprzedni punkt |