następny punkt »


1. WARUNKI ROZWIĄZALNOŚCI ALGEBRAICZNEGO UKŁADU RÓWNAŃ

Rozpatrujemy układ m równań liniowych algebraicznych z n niewiadomymi w postaci:

o współczynnikach aik oraz bi , które mogą być liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi.

Przypomnijmy, że macierzą układu równań nazywamy macierz A wymiaru mxn jego współczynników przy zmiennych:

Macierzą rozszerzoną nazywamy macierz C wymiaru mx(n+1), oznaczaną także jako A ú B, powstałą z macierzy A przez dołączenie do niej kolumny wyrazów wolnych:

Rozwiązaniem powyższego układu nazwiemy ciąg n liczb:

które wstawione do układu na miejsce niewiadomych spełniają ten układ, tzn. zmieniają go w tożsamość.

Twierdzenie Kroneckera - Capelliego

Układ m równań liniowych z n niewiadomymi ma rozwiązania, jeśli rząd r macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej:

rz A = rz C = r.

(i) Jeżeli ten wspólny rząd r obu macierzy równa się liczbie niewiadomych, rz A = rz C = n, to istnieje jedno rozwiązanie, czyli jeden zbiór liczb spełniający równania; jest to układ oznaczony;

(ii) jeżeli wspólny rząd r obu macierzy jest mniejszy od liczby niewiadomych n, rz A = rz C < n, to wartości (n - r) niewiadomych można przyjąć dowolnie, a pozostałe r niewiadomych wyznacza się z równań; jest to układ nieoznaczony, bo jego rozwiązania zależą od (n - r) parametrów;

(iii) jeżeli rząd r macierzy głównej jest mniejszy od rzędu macierzy rozszerzonej, rz A < rz C, to układ równań liniowych nie ma rozwiązań; jest to układ sprzeczny.

Algorytm rozwiązywania układu równań liniowych

Dane: układ równań: A × X = B, gdzie A, B, X - macierze.

Krok 1. Znajdź rząd A.

Krok 2. Znajdź rząd A ê B.

Jeżeli rz A ¹ rz A ê B , to koniec procedury, układ równań jest sprzeczny.

Jeżeli rz A = rz A ê B, to krok 3.

Krok 3. Rozwiąż układ równań.

Jeżeli rz A = rz A ê B = liczba niewiadomych, to układ równań jest oznaczony;

rozwiązanie układu:

Jeżeli rz A = rz A ê B ¹ ilość niewiadomych, układ równań jest nieoznaczony; wybieramy z układu równań tyle równań liniowo niezależnych ile wynosi rz A i poszukujemy rozwiązań tego układu. Pozostałe zmienne są traktowane jako parametry rozwiązania.

Przykład

Rozwiązać układ równań:

Przykład

Rozwiązać układ równań:

Obliczamy wyznacznik macierzy układu równań:

Jest to układ równań Cramera i rozwiązujemy go metodą wyznacznikową:

,

,

Układ równań jest oznaczony.

Przykład

Rozwiązać układ równań:

Wyznacznik macierzy układu wynosi:

Określamy rz A i rz A ½ B.

Otóż:

Z kolei macierz rozszerzona jest postaci:

Jej minory stopnia 3 są równe:

= = =

czyli rz A ê B <3, ale rz A = 2 Þ rz A ê B = 2, zatem istnieje rozwiązanie zależne od jednego parametru.

Rozpatrujemy dwa pierwsze równania ze względu na niewiadome x i y, zmienną z przyjmujemy natomiast jako parametr (z = t):

Rozwiązanie tego układu równań jest postaci:

,

Zatem istnieje nieskończenie wiele rozwiązań określonych wzorami:

,

gdzie k jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Układ równań jest nieoznaczony.

Przykład

Rozwiązać układ równań:

Obliczamy rząd macierzy układu równań:

Wyznacznik macierzy jest równy 0, a zatem szukamy podmacierzy o niezerowym wyznaczniku, np.:

W

Obliczamy rząd macierzy rozszerzonej:

,

np.

Stąd rz A ê B = 3.

Ponieważ rz A ¹ rz A ê B, a zatem układ równań nie ma rozwiązań.

Układ równań jest sprzeczny.

Pytanie kontrolne 1: Sprawdz, czy układ równań o podanej macierzy rozszerzonej jest oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny:

        

Zobacz odpowiedź


 następny punkt »