« poprzedni punkt |
Rozpoczniemy od przypomnienia definicji podprzestrzeni generowanej przez dwa liniowo niezależne wektory.
Definicja
Dla liniowo niezależnych wektorów a i b Î Rn, płaszczyzną P(a,b) generowaną przez a i b nazwiemy zbiór wektorów postaci: t × a + w × b, dla pewnych liczb rzeczywistych t, w.
Rys. 15_8 Płaszczyzna generowana przez dwa wektory.
Definicją tę możemy zapisać symbolicznie:
P(a, b) = { v: v = t × a + w × b ; t, w Î R }.
Przykład
Znaleźć wektor v należący do płaszczyzny generowanej przez wektory: a = [0, 6, -3], b = [1, 1, 1].
Przyjmijmy na przykład t =2, w=3, wtedy:
v = 2a + 3b = 2[0, 6, -3] + 3[1, 1, 1] = [3, 15, -3] i v Î P(a, b).
Niech punkt :
.
Definicja
Płaszczyzną w En wyznaczoną przez wektory a i b, przechodzącą przez punkt P0, nazwiemy zbiór P(a, b, P0 ) punktów Q Î En postaci:
Q = P0 Å v,
dla pewnego wektora v Î P ( a, b ).
Rys. 15_9 Płaszczyzna w En wyznaczona przez wektory a i b, przechodząca przez punkt P0.
Możemy to zapisać symbolicznie:
P(a, b, P0 ) = { Q : Q = P0 Å v, v Î P ( a, b ) }.
Twierdzenie
Punkt Q Î P( a, b ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby rzeczywiste t i w o tej własności, że:
Równanie te nazywają się równaniami parametrycznymi płaszczyzny.
Ograniczymy się teraz do przypadku n = 3, mamy więc zgodnie z twierdzeniem:
Zauważmy, że wtedy układ równań:
ma rozwiązanie z = 1.
Z twierdzenia Cramera wnosimy, że musi być spełniony warunek:
Rozwinięcie względem trzeciej kolumny daje:
gdzie [ a , b, g ] = a ´ b.
Twierdzenie
Punkt Q Î E3 leży w płaszczyźnie P(a, b, P0 ), generowanej przez wektory a, b i przechodzącej przez punkt P0, wtedy i tylko wtedy, gdy:
Równanie to nosi nazwę równania normalnego płaszczyzny. Wektor wodzący
jest prostopadły do iloczynu wektorowego wektorów a i b generujących płaszczyznę.
Przykład
Napisać równanie płaszczyzny w E3 przechodzącej przez punkty:
P= (1, 1, 2), Q
= (3, 4, 5), R
= ( - 1, - 2, 3).
Rys. 15_10 Ilustracja geometryczna przykładu.
Przypomnijmy definicję płaszczyzny generowanej przez dwa wektory i przechodzącej przez dany punkt:
P(a, b, P0 ) = { Q : Q = P0 Å v, v Î P ( a, b ) }.
Przyjmujemy, że płaszczyzna jest generowana przez wektory postaci:
Równanie parametryczne płaszczyzny możemy zapisać jako:
Zadanie to możemy rozwiązać innym sposobem stosując ogólne równanie płaszczyzny:
Jako wektory generujące płaszczyznę przyjmujemy:
Obliczamy iloczyn wektorowy:
oraz wektor:
Po obliczeniu iloczynu skalarnego otrzymanych wektorów znajdujemy równanie płaszczyzny w postaci:
-12(1- q) + 8(1- q
) + 0(2- q
) = 0.
Stąd:
12q - 8q
+ 4 = 0.
Pytanie kontrolne 2: Znajdź punkt z0 taki, że płaszczyzna 3x + 4y + 3z - 2 = 0 przecina oś OZ w punkcie z0.
Wzajemne położenie dwóch płaszczyzn
Niech punkt P( x, y, z ) jest punktem płaszczyzny.
Rozpatrzmy dwie płaszczyzny w przestrzeni E3 opisane równaniami:
Płaszczyzny są równoległe, tzn. równoległe i różne lub pokrywają się, gdy:
przy czym pokrywają się , gdy:
Rzut prostokątny punktu na płaszczyznę w E3
Definicja
Niech P będzie płaszczyzną w E3 i S dowolnym punktem. Rzutem prostokątnym punktu S na płaszczyznę P nazywamy punkt S' taki, że:
dla dowolnego punktu Q płaszczyzny.
Można udowodnić, że rzut dowolnego punktu S istnieje i jest dany przez punkt
S' płaszczyzny P najbliższy punktowi S; to jest taki punkt, że długość wektora
jest minimalna.
Odległość punktu od płaszczyzny łatwo obliczyć.
Stwierdzenie
Odległość punktu S = ( x0, y0, z0) od płaszczyzny P opisanej wzorem Ax + By + Cz + D = 0 wyraża się jako:
Przykład
Odległość punktu ( 2, 1, 1 ) od płaszczyzny P opisanej wzorem x + y + z + 2 = 0 wynosi:
« poprzedni punkt |