« poprzedni punkt 


4. WŁASNOŚCI LINIOWEJ NIEZALEŻNOŚCI WEKTORÓW

Przypomnijmy, że wektory a1, a2, ....., ak Î Rn są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A o kolumnach a1, a2, ....., ak wymiaru n x k ma rząd k. Sprawdźmy, czy ta definicja jest zgodna z ogólną definicją liniowej niezależności wprowadzoną obecnie.

Zauważmy, że z tw. Kronekera-Capelli wynika, że równanie:

A × c = 0

ma jedynie rozwiązanie c = [ 0, 0, ..., 0].

Ostatnie stwierdzenie jest niczym innym tylko definicją liniowej niezależności!

Wykorzystując tw. Kronekera-Capelli możemy stwierdzić, że maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów w przestrzeni Rn wynosi n.

Twierdzenie

Żaden układ a1, a2, ....., an+1 wektorów z Rn nie jest liniowo niezależny.

Dowód

Macierz [a1, a2, ....., an+1] ma wymiar nx(n+1), a zatem nie może mieć rzędu równego n+1.

Twierdzenie

Układ wektorów a1, a2, ....., an z Rn jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy gdy:

det A(a1, a2, ....., an ) ¹ 0,

gdzie A(a1, a2, ....., an) jest macierzą, której kolumnami są wektory a1, a2, ....., an.

Przykład

Sprawdzić, czy wektory: [1, 2, 3], [2, 3, 4], [3, 4, 5] są liniowo niezależne.

Tworzymy macierz A, której kolumnami są dane wektory i obliczamy jej wyznacznik.

Det A = 0 Þ wektory są liniowo zależne.

Przykład

Wektory postaci:

ei = [ 0, ..., 1..., 0 ],

gdzie i- ta współrzędna jest równa 1, a pozostałe współrzędne są zerowe, są liniowo niezależne.

Oczywiście, w tym przypadku macierz A jest macierzą jednostkową, A=I a zatem det A = det I =1 ¹ 0. Wektory te nazywa się wersorami kartezjańskiego układu współrzędnych. W przestrzeni R3 zamiast oznaczeń e1, e2, e3 używa się często tradycyjnych oznaczeń i, j, k.

Przykład

Rozkład wektora a na współrzędne kartezjańskie.

Jeżeli wektor a ma współrzędne [ ax, ay, az ] to rzutami wektora a na osie kartezjańskiego układu współrzędnych są wektory:

Wektor a możemy zapisać w postaci:

Rys. 9_5 Rzuty wektora na osie układu współrzędnych.

Każdy z wektorów ax, ay, az możemy przedstawić w postaci iloczynu tego wektora i jego wersora:

Zatem wektor a możemy zapisać w postaci:

Pytanie kontrolne 5: Zbadaj czy wektory: [1, 2, 3], [ 2, 3, 4], [1, 1, 1] są liniowo niezależne w przestrzeni R3.

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt