następny punkt »


1. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA

Definicja

Niepusty zbiór V nazywamy rzeczywistą przestrzenią wektorową (lub przestrzenią liniową), jeśli:

  1. dla każdych u, w Î V określona jest ich suma u + w Î V;
  2. dla każdej liczby rzeczywistej a i u Î V określony jest iloczyn a × u Î V oraz powyższe działania spełniają następujące warunki dla dowolnych u, v, w Î V:
    1. przemienność dodawania: u + w = w + u;
    2. łączność dodawania: (u +v) + w = u +( v + w );
    3. istnienie elementu neutralnego, tj. takiego 0 Î V, że u + 0 = 0 +u = u;
    4. istnienie elementu - u przeciwnego do elementu u Î V, tj. takiego, że u + ( -u ) = 0;
    5. ( a + b ) u = a u + b u oraz a (u +v) = a u + a v dla dowolnych a , b Î R;
    6. a ( b u ) = (a b ) u i 1 × u = u.

Elementy przestrzeni V nazywamy wektorami i oznaczamy je podkreślonymi literami.

Element neutralny 0 nazywamy wektorem zerowym przestrzeni V.

Zastępując w definicji rzeczywistej przestrzeni wektorowej liczby rzeczywiste α i β przez liczby zespolone otrzymamy definicję zespolonej przestrzeni wektorowej.

Podstawowym przykładem przestrzeni liniowej jest rzeczywista przestrzeń n-wymiarowa Rn :

Działania w Rn są określone następująco:

gdzie x = ( x1, x2, ....., xn ), y= ( y1, y2, ....., yn ), a Î R.

Dla podkreślenia, że w przestrzeni Rn punkt ( x1, x2, ....., xn ) utożsamiamy z wektorem łączącym punkt 0 z tym punktem, odpowiedni element przestrzeni wektorowej Rn będziemy oznaczać jako

[ x1, x2, ....., xn ].

W szczególności przestrzeń R3 możemy utożsamiać ze zbiorem trójek liczb rzeczywistych, które odpowiadają współrzędnym punktów w pewnym wybranym układzie współrzędnych.

Kartezjański układ współrzędnych w R3

Rys. 9_1 Kartezjański układ współrzędnych.

Wektory przestrzeni wektorowej R3 zadane za pomocą trójek liczb rzeczywistych [ x1, x2, x3 ] możemy również utożsamiać ze skierowanym odcinkiem o początku w punkcie ( 0, 0, 0 ) i końcu w punkcie

( x1, x2, x3 ).

Podobnego utożsamienia możemy dokonać w dowolnej przestrzeni Rn. Wtedy definicje dodawania wektorów i ich mnożenia przez liczbę pokrywają się z definicjami, które poznaliśmy w szkole średniej.

Rys. 9_2 Interpretacja geometryczna dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę.

Wektor:

Inne przykłady przestrzeni liniowych:

  1. Przestrzeń Mmxn macierzy o m wierszach i n kolumnach. Operacje dodawania i mnożenia w tej przestrzeni pokrywają się z poznanymi przez nas poprzednio operacjami na macierzach:

    [ A + B ]ij = aij + bij , dla 1 £ i £ m, 1 £ j £ n,

    [ a A ]ij = a aij, gdzie A = [ aij ], B = [ bij ] Î Mmxn

  2. Przestrzeń funkcji T( I ) określonych na przedziale I Ì R. Działania w przestrzeni T( I ) wprowadzamy w sposób naturalny:

    ( f + g )( x ) = f( x ) + g( x ) , dla x Î I, oraz dla f, g Î T( I);

    ( a f ) ( x ) = a f( x ), dla x Î I.

  3. Przestrzeń Pn( R ) wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia nie większego od n z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę.

Rys. 9_3 Ilustracja graficzna funkcji sumy f( x ) i g( x ).

Dla operacji wprowadzonych w przestrzeni liniowej łatwo uzasadnić następujące własności:

Stwierdzenie:

  1. 0 × v = 0 dla każdego v Î V;
  2. a × 0 = 0 dla każdego a Î R;
  3. a u = a v Þ u = v, gdy a ¹ 0;
  4. a v = b v Þ a = b , gdy v ¹ 0;
  5. ( a - b ) v = a v - b v,
  6. ( - a ) v = a ( - v ).

Pytanie kontrolne 1: Uzasadnij, że zbiór W jest przestrzenią liniową.

Zobacz odpowiedź


 następny punkt »