« poprzedni punkt  następny punkt »


3. OBRAZ I JĄDRO PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWEGO

Niech f będzie przekształceniem liniowym przestrzeni Rn.

Zakładamy, że rząd macierzy przekształcenia liniowego Af jest równy r.

Wiemy, że metoda eliminacji pozwala na doprowadzenie macierzy Af do postaci:

gdzie ostatnie m - r wierszy jest zerowe.

Elementarne operacje wierszowe nie zmieniają wartości wyznaczników, więc zachowują liniową niezależność wektorów. Przyjmijmy, że macierz przekształcenia ma powyższą postać.

Obliczamy wartość:

gdzie jako wektor v przyjmujemy kolejno:

e1, e2, ..., en Î Rn.

Stąd:

,

,

................................

Wektory er+1, ..., en przekształcane są na wektor zerowy.

Każdy wektor f( v ) jest kombinacją liniową wektorów q1, q2, ....., qr.

Wprowadzamy następujące oznaczenia dla przekształcenia liniowego

f: U ® V.

Obraz zbioru U w przekształceniu f oznaczamy jako R(f), jest to zbiór wektorów postaci f(v) w V.

Wymiar bazy w R(f) (inaczej: wymiar algebraiczny) jest równy dim R(f).

Twierdzenie

Rząd macierzy przekształcenia liniowego jest równy wymiarowi bazy w R( f ), co zapisujemy:

Rząd Af =dim R( f ).

Przedstawimy teraz algorytm znajdowania bazy w R(f):

Krok 1. Wykonaj operacje wierszowe metody eliminacji na Af. Zapisz współczynniki główne a1, a2, ..., ar.

Utwórz wektory q1, q2, ..., qr.

Krok 2. Utwórz macierz B = [q1, q2, ..., qr]. Wykonaj w B operacje wierszowe odwrotne do operacji w Kroku 1 i w odwrotnej kolejności. Zapisz otrzymaną macierz jako C.

Wynik: Kolumny macierzy C tworzą bazę w R(f).

Definicja

Jądrem przekształcenia liniowego Ker(f) nazywamy zbiór tych wszystkich wektorów z U dla których:

f(v) = 0,

zatem:

Wektory z Ker(f) są rozwiązaniami układu równań:

Wprowadzamy oznaczenie dim Ker(f) - wymiar algebraiczny jądra przekształcenia liniowego.

Twierdzenie

Dla dowolnego przekształcenia liniowego zachodzi:

dim Ker(f) = n - r = n - rządAf.

Wniosek

Jeśli dim U = n to: n = dim R(f)+ dim Ker(f) = rząd Af + dim Ker(f).

Pytanie kontrolne 1: Sformułuj dwa warunki na macierz przekształcenia zapewniające Ker ( f ) = { 0 }.

Zobacz odpowiedź

Przykłady przekształceń liniowych

Rzutowanie wektora na podprzestrzeń rozpiętą na wektorach:

v1, ..., vk Î Rn.

Niech v1, ..., vn będzie bazą w Rn i c1, c2, ..., cn będą współrzędnymi wektora u w tej bazie. Rzut na

lin { v1, ..., vk } ma postać:

f(u) = c1v1 + c2v2 + ... + ckvk..

Przykład

Dla wektorów v1 = e1 = [1, 0, 0], v2 = e2 = [0, 1, 0], dowolny wektor v =[a, b, c] jest przekształcony następująco: f( v) = a× e1 + b× e2 = [ a, b, 0 ].

Zatem:

,

f "wybiera" z v pierwsze dwie współrzędne, rzutując na płaszczyznę P (e1, e2 ). W bazie { e1, e2, e3} rozpatrywane przekształcenie ma postać:

Działania na przekształceniach liniowych

Przekształcenia liniowe możemy do siebie dodawać i ze sobą składać.

Definicja

Jeśli f1, f2 : U ® V są przekształceniami liniowymi, to ich suma jest zdefiniowana następująco:

( f1 + f2 )(u) = f1(u) + f2(u).

Definicja

Jeśli f1 : U ® V i f2 : V ® W są przekształceniami liniowymi, to ich złożenie jest zdefiniowane jako:

f1° f2 ( u ) = f2( f1( u )) dla uÎ U.

Stwierdzenie

Suma i złożenie przekształceń liniowych są przekształceniami liniowymi.

Przykład

Niech f1 będzie jednokładnością postaci f1([ x1, x2]) = [ 3x1, 4x2], a f2 obrotem o kąt a na płaszczyźnie.

Czemu odpowiada złożenie przekształceń f1° f2 ?

Okazuje się, że macierz jest iloczynem macierzy i zatem:


« poprzedni punkt  następny punkt »