następny punkt »


1. DEFINICJA I RODZAJE MACIERZY

Definicja

Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru mxn, gdzie m, n Î N nazywamy tablicę prostokątną m × n liczb rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w m wierszach i n kolumnach:

Element stojący na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny będzie oznaczany przez aij. Macierz A o elementach aij zapisywana jest jako [ aij ] lub [ aij]mxn.

Zauważmy, że w definicji macierzy przyporządkowujemy parze (i,j) (miejscu na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny) liczbę aij , zatem macierz jest wartością funkcji odwzorowującej iloczyn kartezjański

(1, ... , m) x (1, ... , n) w zbiór liczb rzeczywistych lub zespolonych:

( i, n) Î ( 1, ..., m) x ( 1, ..., n), ( i, j) ® aij.

Rodzaje macierzy

Macierz kwadratowa stopnia n jest to macierz o wymiarze nxn. Liczbę wierszy n równą liczbie kolumn n nazywamy stopniem macierzy.

Elementy macierzy mające ten sam numer wiersza i kolumny tworzą (główną) przekątną macierzy.

Macierz diagonalna stopnia n jest to macierz kwadratowa stopnia n, w której wszystkie elementy poza główną przekątną są równe 0.

Macierz jednostkowa stopnia n jest to macierz diagonalna, której przekątna składa się z samych jedynek. Oznaczamy ją In lub I.

Wektor kolumnowy jest to macierz o wymiarze mx1.

Wektor wierszowy jest to macierz o wymiarze 1xn.

Macierzą dolnotrójkątną nazywamy macierz, w której elementy leżące nad górną przekątną są równe 0. Analogicznie w macierzy trójkątnej górnej elementy pod dolną przekątną są równe 0.

Macierz zerowa oznaczona 0 lub 0mxn jest macierzą wymiaru mxn składającą się z samych zer.

Przykład

Wektor kolumnowy wymiaru 3:

Wektor wierszowy wymiaru 4: [2, -4, 7, 3].

Macierz o wymiarze 2x3:

Macierz dolnotrójkątna stopnia 2:

Definicja

Macierze A i B nazywamy równymi, co zapisujemy A=B, jeżeli mają ten sam wymiar mxn i jeżeli aik = bik dla i = 1, ..., m oraz k = 1, ... ,n.

Przykład

Obliczyć dla jakich wartości x i y macierze A i B są równe.

Przykład

Przedstawienie danych w postaci macierzy - zestawienie odległości pomiędzy miastami (w kilometrach).

Londyn Madryt Nowy Jork Tokio

Zdefiniujemy teraz podstawowe działania na macierzach: dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez liczbę i mnożenie dwóch macierzy.


 następny punkt »