następny punkt » |
Rozpatrzmy ogólną postać układu n równań z n niewiadomymi:
a11x1 + a12x2 + .....+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + .....+ a2nxn = b2
.......................................................................
an1x1+ an2x2 + .....+ annxn = bn,
gdzie :
xi, i = 1, 2, ..., n; oznaczają niewiadome; aik Î R; i, k = 1, 2, ..., n; bi Î R.
Definicja
Układem Cramera nazywamy taki układ równań, którego wyznacznik jest różny od 0 (tzn. macierz A układu jest nieosobliwa).
Rozwiązanie układu Cramera - metoda macierzowa
Macierz układu równań:
Kolumna niewiadomych układu równań:
Kolumna wyrazów wolnych:
Układ równań zapisujemy za pomocą jednego równania macierzowego:
A × X = B.
Wyznacznikiem układu równań nazywamy wyznacznik macierzy A.
Ponieważ układ jest układem Cramera, ½ A ½ ¹ 0, a zatem macierz A-1 istnieje. Obie strony równania macierzowego mnożymy przez A-1.
X = A-1 × B.
Stąd otrzymujemy kolejne rozwiązania układu równań:
Niech Di będzie macierzą otrzymaną z macierzy A przez zastąpienie jej i-tej kolumny przez kolumnę wyrazów wolnych.
Zauważmy, że rozwijając wyznacznik macierzy D1 względem pierwszej kolumny otrzymamy:
gdyż dopełnieniem algebraicznym elementu b1 w macierzy D1 jest A11, dopełnieniem algebraicznym elementu b2 jest A21 itd.
Zatem:
Podobnie:
, dla i = 1,2,...,n.
Otrzymaliśmy zatem:
Twierdzenie Cramera
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami
Powyższa postać rozwiązań układu Cramera nosi nazwę wzorów Cramera.
Przykład
Rozwiązać układ równań:
Obliczamy kolejno wyznaczniki:
Stąd: x1=1, x2=2, x3=3.
Pytanie kontrolne 1: Rozwiąż układ równań:
Definicja
Układ równań nazywamy układem jednorodnym, gdy wszystkie jego wolne wyrazy są równe zeru; w przeciwnym przypadku układ równań nazywamy układem niejednorodnym.
Zauważmy, że rozwiązaniem układu jednorodnego postaci:
, i = 1, 2,....., n,
jest zawsze rozwiązanie zerowe:
x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0.
Z faktu, że układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie, wynika:
Metoda eliminacji Gaussa omówiona w wykładzie 4 jest metodą pozwalającą na znalezienie rozwiązania układu Cramera bez konieczności obliczania wyznaczników macierzy A i macierzy Di,
Przypomnijmy, że polega ona na wykonaniu na macierzy rozszerzonej układu:
następujących operacji elementarnych:
W wyniku wykonania operacji elementarnych macierz [A | B ] zostaje sprowadzona do postaci:
Ostatnia kolumna macierzy rozszerzonej jest wtedy rozwiązaniem wyjściowego układu równań. Często prostszą wersją metody eliminacji jest:
następny punkt » |