« poprzedni punkt 


3. ILOCZYN WEKTOROWY

Iloczyn wektorowy w E3 jest przekształceniem określonym jako:

Przekształcenie to parze wektorów z przestrzeni E3 przyporządkowuje wektor z przestrzeni E3.

Definicja

Dla wektorów a = [a1,a2,a3 ] i b = [b1,b2,b3 ] przyjmiemy oznaczenie a x b dla wektora:

Wektor a x b nazwiemy iloczynem wektorowym wektorów a i b.

Przykład:

Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów:

Zgodnie z definicją obliczamy:

Uwaga

Podkreślmy, że w odróżnieniu od iloczynu skalarnego dwóch wektorów, który jest liczbą, iloczyn wektorowy jest wektorem.

Zauważmy również, że z definicji wynika, że gdy wektor a i b są zależne, to a x b =0.

W szczególności a x a = 0.

Udowodnimy teraz podstawowe własności charakteryzujące iloczyn wektorowy.

Stwierdzenie

  1. < a, a´ b > = < b, a´ b > = 0;
  2. || a´ b || =| R( a, b ) |;
  3. det V( a, b, a´ b ) ³ 0, ( >0, gdy wektory a i b są liniowo niezależne).

Zanim udowodnimy stwierdzenie, skomentujmy je. Własność a) mówi, że wektor a x b jest prostopadły zarówno do wektora a jak i b .

Rys. 14_2 Interpretacja geometryczna własności iloczynu skalarnego.

Długość wektora a x b jest równa , czyli polu równoległoboku "rozpiętego" na wektorach a i b .

Własność c) ustala w istocie zwrot wektora a x b.

Dowód a) wynika z równości

Wyznaczniki macierzy są równe 0, ponieważ każda z macierzy ma dwa identyczne wiersze.

Dowód b).

Wiemy, że pole równoległoboku jest równe G(a, b)1/2, gdzie:

Bezpośrednie obliczenie powyższego wyznacznika daje:

Dowód c). Rozpisując wyznacznik det V (a, b, axb) względem ostatniego wiersza otrzymamy, że:

przy czym równość może zachodzić, gdy ai/aj = bi/bj dla i, j = 1, 2, 3, to jest wtedy gdy a = tb dla pewnego tÎ R, czyli gdy wektory a i b są liniowo zależne.

Pytanie kontrolne 3: Oblicz iloczyn wektorowy wektorów [1, 0, 0, ], [0, 2, 2], [-1, 3, 0].

Zobacz odpowiedź

Omówimy teraz dalsze własności iloczynu wektorowego

Stwierdzenie

  1. a x b = - ( b ´ a ) antyprzemienność;

  2. a x ( b ´ c ) = a x b + a x c rozdzielność względem dodawania;

  3. ( l a ) x b = l ( a x b );

  4. < a, b ´ c > = < b, c ´ a > = < c, a x b >.

Własność a) wynika z faktu, że przestawienie wektorów a i b w iloczynie wektorowym powoduje zamianę wierszy w macierzach 2´ 2 występujących w definicji iloczynu wektorowego. Przykładowo pierwsza współrzędna wektora a´ b jest równa:

gdzie wyznacznik po prawej stronie jest pierwszą współrzędną wektora b´ a.

Podobnie, własność d) wynika z faktu, że pierwsze z wyrażeń jest równe:

Stwierdzenie

W układzie kartezjańskim iloczyn wektorowy wektorów:

wyraża się wzorem:

gdzie i, j, k są wersorami osi.

Wzór ten możemy zapisać jako:

Porównajmy następujące własności iloczynu skalarnego i wektorowego.

iloczyn skalarnyiloczyn wektorowy
  • <a, b > = | | a | | 2
  • a ´ a = 0
  • <a, b > = <b, a
  • a ´ b = - b ´ a
  • <a, b > = a1b1 + a2b2 + a3b3
  • <a, b > = < a, b > + <a, c >
  • a ´ (b + c) = a ´ b + a ´ c

    Przykład:

    Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów:


    Sprawdziliśmy zatem udowodnioną poprzednio równość:

    Przykład:

    Obliczyć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach:

    a = [0, -1, 3], b = [2, 5, -2].

    Obliczamy długości wektorów a i b:

    .

    Obliczamy iloczyn wektorowy:

    Określamy długość iloczynu wektorowego:

    równą polu równoległoboku êR(a,b)ê.

    Przykład:

    Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A = (2, 7, -1), B = (0, 3, 5), C = (-1, 4, 3).

    Utożsamiając punkt A z początkiem układu współrzędnych i korzystając z interpretacji geometrycznej iloczynu wektorowego, mamy

    Rys. 14_3 Ilustracja geometryczna przykładu.

    Stąd:


    « poprzedni punkt