następny punkt »


1. WZORY CRAMERA I ICH ZASTOSOWANIE

Rozpatrzmy ogólną postać układu n równań z n niewiadomymi:

a11x1 + a12x2 + .....+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + .....+ a2nxn = b2

.......................................................................

an1x1+ an2x2 + .....+ annxn = bn,

gdzie :

xi, i = 1, 2, ..., n; oznaczają niewiadome; aik Î R; i, k = 1, 2, ..., n; bi Î R.

Definicja

Układem Cramera nazywamy taki układ równań, którego wyznacznik jest różny od 0 (tzn. macierz A układu jest nieosobliwa).

Rozwiązanie układu Cramera - metoda macierzowa

  1. Układ równań zapisujemy w postaci macierzowej, gdzie:

    Macierz układu równań:

    Kolumna niewiadomych układu równań:

    Kolumna wyrazów wolnych:

    Układ równań zapisujemy za pomocą jednego równania macierzowego:

    A × X = B.

    Wyznacznikiem układu równań nazywamy wyznacznik macierzy A.

    Ponieważ układ jest układem Cramera, ½ A ½ ¹ 0, a zatem macierz A-1 istnieje. Obie strony równania macierzowego mnożymy przez A-1.

  2. W wyniku lewostronnego mnożenia przez A-1 obu stron równania otrzymujemy rozwiązanie macierzowe:

    X = A-1 × B.

  3. Obliczamy macierz A-1 odwrotną do A. Przypomnijmy, że element na miejscu ( i, j ) macierzy A-1 jest równy Aji / |A|, gdzie element Aij jest dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A.

  4. Obliczamy wartości niewiadomych w zapisie macierzowym:

    Stąd otrzymujemy kolejne rozwiązania układu równań:

Niech Di będzie macierzą otrzymaną z macierzy A przez zastąpienie jej i-tej kolumny przez kolumnę wyrazów wolnych.

Zauważmy, że rozwijając wyznacznik macierzy D1 względem pierwszej kolumny otrzymamy:

gdyż dopełnieniem algebraicznym elementu b1 w macierzy D1 jest A11, dopełnieniem algebraicznym elementu b2 jest A21 itd.

Zatem:

Podobnie:

, dla i = 1,2,...,n.

Otrzymaliśmy zatem:

Twierdzenie Cramera

Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami

Powyższa postać rozwiązań układu Cramera nosi nazwę wzorów Cramera.

Przykład

Rozwiązać układ równań:

Obliczamy kolejno wyznaczniki:

Stąd: x1=1, x2=2, x3=3.

Pytanie kontrolne 1: Rozwiąż układ równań:

Zobacz odpowiedź

Definicja

Układ równań nazywamy układem jednorodnym, gdy wszystkie jego wolne wyrazy są równe zeru; w przeciwnym przypadku układ równań nazywamy układem niejednorodnym.

Zauważmy, że rozwiązaniem układu jednorodnego postaci:

, i = 1, 2,....., n,

jest zawsze rozwiązanie zerowe:

x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0.

Z faktu, że układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie, wynika:

Metoda eliminacji Gaussa omówiona w wykładzie 4 jest metodą pozwalającą na znalezienie rozwiązania układu Cramera bez konieczności obliczania wyznaczników macierzy A i macierzy Di,

Przypomnijmy, że polega ona na wykonaniu na macierzy rozszerzonej układu:

następujących operacji elementarnych:

W wyniku wykonania operacji elementarnych macierz [A | B ] zostaje sprowadzona do postaci:

Ostatnia kolumna macierzy rozszerzonej jest wtedy rozwiązaniem wyjściowego układu równań. Często prostszą wersją metody eliminacji jest:


 następny punkt »