« poprzedni punkt  następny punkt »


3. DIAGONALIZOWALNOŚĆ MACIERZY

Na mocy twierdzenia:

A'=P-1A P,

gdzie P jest macierzą przejścia od bazy B1 do bazy B2.

Macierze A spełniające powyższą równość nazywamy diagonalizowalnymi.

Definicja

Macierz kwadratowa o wyrazach rzeczywistych jest diagonalizowalna, jeśli istnieje odwracalna macierz P taka, że macierz P-1AP jest diagonalna.

Twierdzenie

Następujące warunki są równoważne:

  1. macierz A jest diagonalizowalna;
  2. wektory własne macierzy A tworzą bazę przestrzeni Rn;
  3. A = PDP-1, gdzie D jest macierzą diagonalną o wartościach na przekątnej równych kolejnym wartościom własnym, zaś odpowiadające im wektory własne tworzą kolumnę macierzy P.

Przykład

Rozpatrzmy macierze:

Równanie charakterystyczne:

det (A-l I) = 0

ma postać:

(1-l )2 - 4 = 0, albo inaczej (-1 - l )(3 - l )=0,

zatem wartości własne l 1 = 3 i l 2 = -1 są jednokrotne.

Odpowiadają im wektory własne:

x1 = [1,2] i x2= [1,-2]

tak więc:

macierz diagonalna P-1 A P ma postać:

W przypadku macierzy C równanie charakterystyczne ma postać (1 - l )2 = 0, zatem wartością własną C (o krotności 2) jest l = 1.

Z równania Cx = x wynika że x ma postać [a, 0], zatem C ma tylko jeden niezależny wektor własny, czyli na mocy punktu (i) twierdzenia macierz C nie jest diagonalizowalna.

Pytanie kontrolne 2: Sprawdź czy macierz:

jest diagonalizowalna.

Zobacz odpowiedź

Definicja

Macierze A i B wymiaru nxnpodobne gdy A=P-1 B P dla pewnej macierzy odwracalnej P.

Diagonalizowalność macierzy A oznacza zatem jej podobieństwo do macierzy diagonalnej. Z przykładu wynika, że macierz nie jest diagonalizowalna jeśli jej wartości własnej o pewnej krotności r nie odpowiada r niezależnych wektorów własnych. Okazuje się, że w sytuacji gdy macierz A nie jest podobna do macierzy diagonalnej, to jest podobna do macierzy bliskiej macierzy diagonalnej, tzw. macierzy blokowej Jordana.


« poprzedni punkt  następny punkt »