następny punkt »


1. DEFINICJA LICZBY ZESPOLONEJ I DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB ZESPOLONYCH

Niech a, b, c, d,... będą elementami zbioru liczb rzeczywistych R. Wprowadzimy obecnie pewne uogólnienie liczby rzeczywistej. Będzie nim uporządkowana para liczb rzeczywistych spełniająca pewne własności i nazwana liczbą zespoloną.

Definicja

Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych, np. (a, b), (c, d), dla których określamy równość, dodawanie i mnożenie w sposób następujący:

(a, b) = (c, d) Û a = c Ù b = d;
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d);
(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc).

Wynikiem dodawania i mnożenia liczb zespolonych są liczby zespolone.

Uwaga

Liczbom zespolonym można przypisać następującą interpretację:

Zapiszmy parę (a, b) jako wyrażenie a + bi, gdzie i jest symbolem o tej własności, że i2 = - 1. Przyjmijmy, że wyrażenia te podlegają zwykłym regułom dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych.

Dodawanie dwóch liczb zespolonych:

        

Mnożenie dwóch liczb zespolonych:

        .

Zastąpiliśmy wyrażenie bdi2 przez -bd.

Otrzymane wyniki są zgodne z formalnymi regułami dodawania i mnożenia liczb zespolonych zdefiniowanymi dla liczb zespolonych interpretowanych jako uporządkowane pary.

Przykład

Obliczyć sumę i iloczyn liczb zespolonych (2,-1) i (3,7) w przypadku interpretacji liczb zespolonych jako par liczb oraz w postaci a+bi.

(2, -1) + (3, 7) = (2 + 3, -1 + 7) = (5, 6)
(2-i) + (3+7i)= (2+3) + (-1+7)i = 5+6i
(2, -1)(3, 7) = (2×3+1×7,2×7-1×3) = (13, 11)
(2-i)(3+7i) = 13+11i

Zbiór liczb zespolonych oznaczymy literą C; jest to początkowa litera łacińskiego słowa complexus - zespolony.

Zdefiniujemy teraz różnicę dwóch liczb zespolonych.

Definicja

Odejmowaniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do dodawania.
Wynik odejmowania liczb zespolonych nazywamy różnicą liczb zespolonych.
Liczba zespolona (x, y) jest różnicą liczb zespolonych (a, b) i (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy:
        (x, y) + (c, d) = (a, b).
Inaczej:
        (x, y) = (a, b) - (c, d) Û (x, y) + (c, d) = (a, b).

Z definicji dodawania i równości liczb zespolonych wynika, że wtedy:
        x + c = a i y + d = b,
czyli
        (a, b) - (c, d) = (a - c, b - d).
Zatem odjęcie od siebie dwóch liczb zespolonych polega na odjęciu wartości odpowiednich współrzędnych.

Przykład

Obliczyć różnicę liczb zespolonych (2,-1) i (3,7).
        (2,-1) - (3,7) = (2 - 3, -1 - 7) = (-1,-8)

Definicja

Dzieleniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do mnożenia.
Wynik dzielenia liczb zespolonych nazywamy ilorazem liczb zespolonych.
        

Z definicji mnożenia i równości liczb zespolonych wynika, że wtedy:
        
Mnożąc pierwsze równanie przez d a drugie przez c i odejmując pierwsze równanie od drugiego otrzymamy:
        
Analogicznie otrzymamy, mnożąc pierwsze równanie przez c, a drugie przez d i dodając obydwa równania stronami:
        
Układ ten jest, zatem jednoznacznie rozwiązalny, gdy wartość c2 + d2 jest różna od zera, czyli gdy liczba zespolona (c, d) nie jest zerem. Stąd otrzymujemy, że iloraz dwóch liczb zespolonych jest postaci:
        

Przykład

Korzystając z wyprowadzonego wzoru, obliczyć iloraz liczb zespolonych:
        

Pytanie kontrolne 1: Oblicz sumę, różnicę, iloczyn i iloraz liczb zespolonych 3 + 12i oraz 7 - i.

Zobacz odpowiedź

Wyodrębnienie zbioru liczb rzeczywistych jako podzbioru liczb zespolonych

W zbiorze liczb zespolonych rozpatrzmy zbiór elementów postaci:

        (a,0)

gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Zbiór ten utożsamiamy ze zbiorem liczb rzeczywistych, ponieważ działania na elementach (a,0) są analogiczne do działań na liczbach rzeczywistych, co można zobrazować na przykładzie dodawania i mnożenia liczb (a,0) i (b,0):

        
(pierwsze współrzędne dodajemy i mnożymy jak liczby rzeczywiste).

W dalszym ciągu będziemy utożsamiali liczbę zespoloną (a,0) z liczbą rzeczywistą a, w szczególności liczba (0,0) będzie utożsamiana z zerem rzeczywistym.


 następny punkt »