« poprzedni punkt | następny punkt » |
Niech f będzie przekształceniem liniowym przestrzeni Rn.
Zakładamy, że rząd macierzy przekształcenia liniowego Af jest równy r.
Wiemy, że metoda eliminacji pozwala na doprowadzenie macierzy Af do postaci:
gdzie ostatnie m - r wierszy jest zerowe.
Elementarne operacje wierszowe nie zmieniają wartości wyznaczników, więc zachowują liniową niezależność wektorów. Przyjmijmy, że macierz przekształcenia ma powyższą postać.
Obliczamy wartość:
gdzie jako wektor v przyjmujemy kolejno:
e1, e2, ..., en Î Rn.
Stąd:
,
,
................................
Wektory er+1, ..., en przekształcane są na wektor zerowy.
Każdy wektor f( v ) jest kombinacją liniową wektorów q1, q2, ....., qr.
Wprowadzamy następujące oznaczenia dla przekształcenia liniowego
f: U ® V.
Obraz zbioru U w przekształceniu f oznaczamy jako R(f), jest to zbiór wektorów postaci f(v) w V.
Wymiar bazy w R(f) (inaczej: wymiar algebraiczny) jest równy dim R(f).
Twierdzenie
Rząd macierzy przekształcenia liniowego jest równy wymiarowi bazy w R( f ), co zapisujemy:
Rząd Af =dim R( f ).
Przedstawimy teraz algorytm znajdowania bazy w R(f):
Krok 1. Wykonaj operacje wierszowe metody eliminacji na Af. Zapisz współczynniki główne a1, a2, ..., ar.
Utwórz wektory q1, q2, ..., qr.
Krok 2. Utwórz macierz B = [q1, q2, ..., qr]. Wykonaj w B operacje wierszowe odwrotne do operacji w Kroku 1 i w odwrotnej kolejności. Zapisz otrzymaną macierz jako C.
Wynik: Kolumny macierzy C tworzą bazę w R(f).
Definicja
Jądrem przekształcenia liniowego Ker(f) nazywamy zbiór tych wszystkich wektorów z U dla których:
f(v) = 0,
zatem:
Wektory z Ker(f) są rozwiązaniami układu równań:
Wprowadzamy oznaczenie dim Ker(f) - wymiar algebraiczny jądra przekształcenia liniowego.
Twierdzenie
Dla dowolnego przekształcenia liniowego zachodzi:
dim Ker(f) = n - r = n - rządAf.
Wniosek
Jeśli dim U = n to: n = dim R(f)+ dim Ker(f) = rząd Af + dim Ker(f).
Pytanie kontrolne 1: Sformułuj dwa warunki na macierz przekształcenia zapewniające Ker ( f ) = { 0 }.
Przykłady przekształceń liniowych
Rzutowanie wektora na podprzestrzeń rozpiętą na wektorach:
v1, ..., vk Î Rn.
Niech v1, ..., vn będzie bazą w Rn i c1, c2, ..., cn będą współrzędnymi wektora u w tej bazie. Rzut na
lin { v1, ..., vk } ma postać:
f(u) = c1v1 + c2v2 + ... + ckvk..
Przykład
Dla wektorów v1 = e1 = [1, 0, 0], v2 = e2 = [0, 1, 0], dowolny wektor v =[a, b, c] jest przekształcony następująco: f( v) = a× e1 + b× e2 = [ a, b, 0 ].
Zatem:
,
f "wybiera" z v pierwsze dwie współrzędne, rzutując na płaszczyznę P (e1, e2 ). W bazie { e1, e2, e3} rozpatrywane przekształcenie ma postać:
Działania na przekształceniach liniowych
Przekształcenia liniowe możemy do siebie dodawać i ze sobą składać.
Definicja
Jeśli f1, f2 : U ® V są przekształceniami liniowymi, to ich suma jest zdefiniowana następująco:
( f1 + f2 )(u) = f1(u) + f2(u).
Definicja
Jeśli f1 : U ® V i f2 : V ® W są przekształceniami liniowymi, to ich złożenie jest zdefiniowane jako:
f1° f2 ( u ) = f2( f1( u )) dla uÎ U.
Stwierdzenie
Suma i złożenie przekształceń liniowych są przekształceniami liniowymi.
Przykład
Niech f1 będzie jednokładnością postaci f1([ x1, x2]) = [ 3x1, 4x2], a f2 obrotem o kąt a na płaszczyźnie.
Czemu odpowiada złożenie przekształceń f1° f2 ?
Okazuje się, że macierz
jest iloczynem macierzy
i
zatem:
« poprzedni punkt | następny punkt » |