następny punkt » |
Rozpatrujemy układ m równań liniowych algebraicznych z n niewiadomymi w postaci:
o współczynnikach aik oraz bi , które mogą być liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi.
Przypomnijmy, że macierzą układu równań nazywamy macierz A wymiaru mxn jego współczynników przy zmiennych:
Macierzą rozszerzoną nazywamy macierz C wymiaru mx(n+1), oznaczaną także jako A ú B, powstałą z macierzy A przez dołączenie do niej kolumny wyrazów wolnych:
Rozwiązaniem powyższego układu nazwiemy ciąg n liczb:
które wstawione do układu na miejsce niewiadomych spełniają ten układ, tzn. zmieniają go w tożsamość.
Twierdzenie Kroneckera - Capelliego
Układ m równań liniowych z n niewiadomymi ma rozwiązania, jeśli rząd r macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej:
rz A = rz C = r.
(i) Jeżeli ten wspólny rząd r obu macierzy równa się liczbie niewiadomych, rz A = rz C = n, to istnieje jedno rozwiązanie, czyli jeden zbiór liczb spełniający równania; jest to układ oznaczony;
(ii) jeżeli wspólny rząd r obu macierzy jest mniejszy od liczby niewiadomych n, rz A = rz C < n, to wartości (n - r) niewiadomych można przyjąć dowolnie, a pozostałe r niewiadomych wyznacza się z równań; jest to układ nieoznaczony, bo jego rozwiązania zależą od (n - r) parametrów;
(iii) jeżeli rząd r macierzy głównej jest mniejszy od rzędu macierzy rozszerzonej, rz A < rz C, to układ równań liniowych nie ma rozwiązań; jest to układ sprzeczny.
Algorytm rozwiązywania układu równań liniowych
Dane: układ równań: A × X = B, gdzie A, B, X - macierze.
Krok 1. Znajdź rząd A.
Krok 2. Znajdź rząd A ê B.
Jeżeli rz A ¹ rz A ê B , to koniec procedury, układ równań jest sprzeczny.
Jeżeli rz A = rz A ê B, to krok 3.
Krok 3. Rozwiąż układ równań.
Jeżeli rz A = rz A ê B = liczba niewiadomych, to układ równań jest oznaczony;
rozwiązanie układu:
Jeżeli rz A = rz A ê B ¹ ilość niewiadomych, układ równań jest nieoznaczony; wybieramy z układu równań tyle równań liniowo niezależnych ile wynosi rz A i poszukujemy rozwiązań tego układu. Pozostałe zmienne są traktowane jako parametry rozwiązania.
Przykład
Rozwiązać układ równań:
Zauważmy, że trzeci wiersz jest kombinacją liniową dwóch pierwszych wierszy (jest wynikiem odjęcia pierwszego wiersza od drugiego), a zatem det A = 0.
Zatem rz A = 2, ponieważ na przykład:
.
Rząd A ê B jest równy 2, gdyż nadal trzeci wiersz jest kombinacją liniową dwóch pierwszych wierszy i istnieją niezerowe minory macierzy A ê B stopnia 2.
rz A = rz A ê B = 2 ¹ liczbie równań (n = 3), to układ równań jest nieoznaczony (zależny od jednego parametru)
Odpowiada ona układowi dwóch pierwszych równań:
Układ ten jest układem równań Cramera względem niewiadomych x i y.
Niewiadomą z traktujemy jako parametr i oznaczamy:
z = t.
Rozwiązanie układu równań jest postaci:
x = t +1, y = - t + 2, z = t.
Przykład
Rozwiązać układ równań:
Obliczamy wyznacznik macierzy układu równań:
Jest to układ równań Cramera i rozwiązujemy go metodą wyznacznikową:
,
,
Układ równań jest oznaczony.
Przykład
Rozwiązać układ równań:
Wyznacznik macierzy układu wynosi:
Określamy rz A i rz A ½ B.
Otóż:
Z kolei macierz rozszerzona jest postaci:
Jej minory stopnia 3 są równe:
=
=
=
czyli rz A ê B <3, ale rz A = 2 Þ rz A ê B = 2, zatem istnieje rozwiązanie zależne od jednego parametru.
Rozpatrujemy dwa pierwsze równania ze względu na niewiadome x i y, zmienną z przyjmujemy natomiast jako parametr (z = t):
Rozwiązanie tego układu równań jest postaci:
,
Zatem istnieje nieskończenie wiele rozwiązań określonych wzorami:
,
gdzie k jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Układ równań jest nieoznaczony.
Przykład
Rozwiązać układ równań:
Obliczamy rząd macierzy układu równań:
Wyznacznik macierzy jest równy 0, a zatem szukamy podmacierzy o niezerowym wyznaczniku, np.:
W
Obliczamy rząd macierzy rozszerzonej:
,
Stąd rz A ê B = 3.
Ponieważ rz A ¹ rz A ê B, a zatem układ równań nie ma rozwiązań.
Układ równań jest sprzeczny.
Pytanie kontrolne 1: Sprawdz, czy układ równań o podanej macierzy rozszerzonej jest oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny:
następny punkt » |