następny punkt »


1. WIELOMIANY

1.1. Zera wielomianów

Definicja

(i) Wielomianem o współczynnikach rzeczywistych nazwiemy funkcję postaci:

        Wn(z) = anzn + ... + a1z + a0,

określoną dla z Î C, gdy n Î N. Jeśli an ¹ 0 to Wn jest wielomianem stopnia n, a liczbę n nazywamy stopniem wielomianu Wn.

(ii) Liczbę zespoloną a nazwiemy pierwiastkiem (zerem) wielomianu Wn(x) wtedy, gdy Wn(a) = 0, tzn.

        anan +... + a1a + a0 = 0.

Np.: a = -1 jest pierwiastkiem wielomianu:

        W(x) = 3x5 - 9x2 - 2x + 10,

ponieważ W(-1) = 3(-1)5 - 9(-1)2 - 2(-1) + 10 = 0.

Zauważmy jednak, że wielomiany nie zawsze mają pierwiastki rzeczywiste. Tak jest na przykład dla wielomianów W(x)=x2 + 1 i W(x)=x4+ x2 + 2, które dla x rzeczywistych przyjmują zawsze wartości dodatnie, a więc nie mogą mieć pierwiastków rzeczywistych. Sytuacja zmienia się diametralnie, gdy dopuścimy, że pierwiastki mogą być liczbami zespolonymi. Z tego właśnie względu rozpatrujemy wielomiany jako funkcje zmiennej zespolonej. Przypatrzmy się najpierw bliżej sytuacji, gdy stopień wielomianu jest równy 2, to znaczy W(x) jest wielomianem kwadratowym.

Twierdzenie

Każdy wielomian kwadratowy o współczynnikach rzeczywistych postaci:
        W(z) = az2 + bz + c,
ma w zbiorze C liczb zespolonych dwa pierwiastki z1, z2, przy czym ma miejsce trychotomia:
        z1 ¹ z2 Î R lub z1 = z2 Î R lub z1 ¹ z2 Î C \ R.

Dowód

Wielomian przedstawiamy w postaci kanonicznej:

        

        

gdzie D = b2 - 4ac.

Rozpatrzmy kolejno trzy przypadki:

  1. Dla D > 0 wielomian kwadratowy posiada dwa różne pierwiastki rzeczywiste:

            

  2. Dla D = 0 wielomian kwadratowy posiada pierwiastek o krotności 2:

            , .

  3. Dla D < 0, nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

    W zbiorze liczb zespolonych zachodzi:

            

Zatem:

        

        

        

Istnieją dwa pierwiastki zespolone i są liczbami sprzężonymi:

        ,

        

Przykład

Rozwiąż równanie x2 + 1 = 0.

Jest to równanie kwadratowe, obliczamy jego wyróżnik D = - 4. Zatem:

        , ,

        z1 = i, z2 = -i.

Pytanie kontrolne 1: Rozwiązać równanie x2 + x + 2 = 0.

Zobacz odpowiedź


1.2. Poszukiwanie miejsc zerowych wielomianów - algorytmy pierwiastkowe

Algorytm Ferro, Tartaglii - wielomiany stopnia 3
Algorytm Ferrari - wielomiany stopnia 4
Twierdzenie Nielsa Abela i Evarista Galois - nie istnieje algorytm pierwiastkowy dla wielomianów stopni n ³ 5.

Algorytm poszukiwania zer wielomianu stopnia 3

Rozpatrujemy wielomian:

        

Szukamy rozwiązań równania:

        .

Zakładamy, że a3 = 1, jeśli nie - dzielimy obie strony równania przez a3.

        
        
        

Szukamy zer wielomianu w postaci: W3(x) = x3 + a1x + a0.

Krok 1. Stosujemy następujące podstawienie:
        
dla pewnego u ¹ 0.

Stąd:
        .

Krok 2. Przyjmujemy u3 = t i rozwiązujemy równanie:
        

Rozwiązanie równania:
        ,

Krok 3. Wyliczamy:
        ,

Krok 4. Wyliczamy:

        .

Przykład

Obliczyć pierwiastki wielomianu w3(x) = x3 - x + 1 za pomocą algorytmu pierwiastkowego.

Krok 1. Szukamy zer wielomianu w postaci:

        
dla pewnego u ¹ 0.

Ponieważ a1 = -1, otrzymujemy równanie:

        

        

Po redukcji:

        ,

Krok 2. Przyjmujemy u3 = t i rozwiązujemy równanie:
        
        ,
         .

Krok 3. Wyliczamy:
        

Krok 4. Wyliczamy:

        
        


1.2. Własności wielomianów

Rozpatrzmy teraz pewne ogólne własności wielomianów dowolnego stopnia. Ważną własnością jest fakt, że podobnie jak w przypadku liczb całkowitych, dwa wielomiany możemy podzielić przez siebie z resztą.

Twierdzenie

Dla każdej pary wielomianów Q(z) i P(z) gdzie stopień Q(z)>0, istnieją wielomiany S(z) i R(z) takie, że:
        P(z) = S(z) ∙ Q(z) + R(z),
dla z Î C i stopień wielomianu R jest mniejszy od stopnia wielomianu Q.
Powyższe przedstawienie jest jednoznaczne.
Wielomian S(z) nosi nazwę ilorazu, a R(z) jest resztą.
Jeżeli R(z)=0 dla każdego z Î C to mówimy, że wielomian P jest podzielny przez wielomian Q.

Przykład

Niech P(z) = z4 + 1 i Q(z) = z2 + 1.

Wówczas:

        P(z) = (z2 + 1)(z2 - 1) + 2.

Dzielenie wielomianu polega na sukcesywnym eliminowaniu najwyższych potęg wielomianu P(z).

W powyższym przykładzie z2Q(z) eliminuje (po odjęciu) wyraz z4 wielomianu P(z) i

        P(z) - z2Q(z) = 1 - z2.

Iloczyn -1∙Q(z) eliminuje wyraz -z2 w pozostałej reszcie.

Mamy:

        

Ponieważ wynik odejmowania jest wielomianem stopnia 0, powyższy wzór daje wynik dzielenia P(z) przez Q(z).

Ważnym przypadkiem dzielenia wielomianów jest sytuacja, gdy wielomian Q(z) jest wielomianem stopnia 1 (jednomianem), tzn.

        Q(z)=z - a.

Prawdziwe jest wówczas twierdzenie Bezout.

Twierdzenie

Resztą z dzielenia wielomianu P(z) przez z - a jest równa P(a):

        P(z) = (z - a)S(z) + P(a).

Dowód

Z poprzedniego twierdzenia reszta R(z) musi być stałą równą C. Podstawienie z = a do równości P(z) = (z - a)S(z) + P(a) daje C= P(a).

Metodę rekurencyjnego obliczania współczynników wielomianu S(z) otrzymanego jako iloraz przy dzieleniu P(z) przez (z - a) przedstawia schemat Hornera.

Niech:

        

Porównanie współczynników przy odpowiadających potęgach w równości:

        ,

daje:

.....................................

.

Z pierwszego równania wyliczamy stałą bn-1 i podstawiamy do drugiego, stąd wyliczamy stałą bn-2 itd.

Z twierdzenia Bezout wynika następująca ważna własność pierwiastków wielomianu:

Wniosek

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu P(z) wtedy i tylko wtedy, gdy:

        P(z) = (z - a)S(z).

Zatem fakt, że a jest pierwiastkiem wielomianu P(z) jest równoważny podzielności wielomianu P(z) przez jednomian z - a.

Pytanie kontrolne 2: Oblicz resztę z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q:

Zobacz odpowiedź

Uwaga

Nawet, gdy zachodzi P(z)=(z-a)S(z) może okazać się, że a jest pierwiastkiem wielomianu S(z), tzn. S(z) jest podzielny przez z - a. Mówimy wtedy, że a jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu P(z).

Na przykład i jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu x5 + 2x3 + x, gdyż:

        x5 + 2x3 + x = x(x2 + 1)2 = x (x - i)2(x + i)2.

Pierwiastkiem dwukrotnym jest również -i, a jednokrotnym 0.

Następne twierdzenie mówi o tym, że pierwiastki ściśle zespolone wielomianu W(z), tzn. takie, których część urojona jest różna od 0, łączą się w naturalne pary.

Twierdzenie

Jeśli liczba zespolona z = x + y× i jest pierwiastkiem wielomianu:

        W(z) = an × zn + an-1 × zn-1 + ..... + a0,

to liczba też jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Dowód wynika z praw sprzęgania liczb zespolonych:

        
jeśli a jest liczbą rzeczywistą, a zatem i jeśli W(z)=0, to , czyli jest również pierwiastkiem wielomianu W(z).

Zatem omawiany poprzednio fakt, że i oraz są jednocześnie pierwiastkami o tej samej krotności wielomianu x5 + 2x3 + x jest szczególnym przypadkiem tego twierdzenia.

Twierdzenie (zasadnicze twierdzenie algebry)

Każdy wielomian W(z) stopnia n ma dokładnie n pierwiastków zespolonych (przy uwzględnieniu krotności pierwiastków).

Z powyższego twierdzenia oraz twierdzenia Bezout wynika ważny wniosek.

Wniosek

Niech z1,......,zm będą wszystkimi różnymi pierwiastkami W(z) o krotnościach k1, k2,......, km odpowiednio (k1+k2+......+km = n).
Wówczas:
        .

Przykład

Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu:

        

wiedząc, że jednym z nich jest:

        .

Rozwiązanie

Ponieważ

        

jest pierwiastkiem wielomianu, również liczba do niego sprzężona

        

jest jego pierwiastkiem.

Z twierdzenia Bezout wynika, że wielomian W(z) jest podzielny przez:

        

Iloraz z dzielenia wielomianu W(z) przez z2 + 5 wynosi:

        .

Wystarczy zatem rozwiązać równanie:

        

Stąd otrzymujemy dwa ostatnie pierwiastki wielomianu W(z):

        

Uwaga

Z poprzednich twierdzeń wynika, że wielomian stopnia nieparzystego ma zawsze pierwiastek rzeczywisty. Tak jest w istocie, ponieważ z faktu, że sprzężenia pierwiastka jest pierwiastkiem wynika, że liczba pierwiastków ściśle zespolonych jest parzysta.

Pytanie kontrolne 3: Podać przykład wielomianu zespolonego najniższego stopnia, który spełnia następujące warunki: liczba 1 jest pierwiastkiem podwójnym, a liczby 2, 3, 1 + i są pierwiastkami pojedynczymi tego wielomianu.

Zobacz odpowiedź


 następny punkt »