« poprzedni punkt | następny punkt » |
Definicja
Niepusty podzbiór W Ì V jest podprzestrzenią liniową, jeśli:
Warunki w definicji podprzestrzeni liniowej można zastąpić jednym równoważnym warunkiem:
Zbiór składający się jedynie z wektora zerowego 0 i cała przestrzeń V są oczywiście podprzestrzeniami przestrzeni V. Są to tak zwane podprzestrzenie niewłaściwe. Pozostałe podprzestrzenie nazywamy podprzestrzeniami właściwymi.
Przykład
Zbiór wektorów o współrzędnych {[x1, x2, x3]: x1 + x2 + x3 =0} jest podprzestrzenią właściwą przestrzeni R3.
Podobnie, zbiór wektorów {x Î R7: 3x1 + 7x7 = 0} jest podprzestrzenią właściwą przestrzeni R7, a nie jest podprzestrzenią liniową zbiór {x Î R7: 3x1 + 7x7 = 1}.
Zbiór W Ì V jest podprzestrzenią liniową V, gdy tworzy przestrzeń liniową z działaniami określonymi w przestrzeni V.
Stwierdzenie (o sumie i iloczynie przestrzeni liniowych)
Niech U i W będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V. Wówczas:
Przykład
Rozpatrzmy dwie podprzestrzenie liniowe:
U = {[x1, x2, x3]: x1 + 2x2 - 3x3 =0},
W = {[x1, x2, x3]: x1 - 2x2 =0}.
Suma podprzestrzeni U È W nie jest podprzestrzenią liniową. Weźmy na przykład wektor [1,1,1]Î U i wektor [2, 1, 0] Î W, ich sumą jest wektor [3, 2, 1] , który nie należy do przestrzeni U È W.
Definicja
Wektory a1, a2, ....., ak są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego układu c1, c2, ..., ck liczb rzeczywistych, jeżeli:
c1 a1 + c2 a2 + ....cn an = 0
to c1 = c2 = ...= ck = 0.
Jeżeli wektory a1, a2, ....., ak nie są liniowo niezależne, to mówimy, że są one liniowo zależne.
Przykład
Jeżeli wektory a1, a2 są liniowo zależne, to istnieją liczby c1, c2; gdzie c1 ¹ 0 lub c2 ¹ 0, takie, że:
c1 a1 + c2 a2 = 0.
Jeśli np. c1 ¹ 0, to wtedy:
Jeżeli wektory a1, a2, a3 są liniowo zależne, to istnieją c1, c2, c3, takie, że c1 ¹ 0 lub c2 ¹ 0 lub c3 ¹ 0 oraz c1 a1 + c2 a2 + c3 a3 = 0.
Jeżeli np. c1 ¹ 0 to:
a zatem wektor a1 jest liniową kombinacją pozostałych.
Stwierdzenie
Dwa wektory w przestrzeni R2 są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy nie są współliniowe. Trzy wektory w przestrzeni R3 są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy nie są współpłaszczyznowe.
Twierdzenie
Układ wektorów a1, a2, ....., an jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy pewien spośród wektorów a1, a2, ....., an jest liniową kombinacją pozostałych.
Przykład - Przestrzeń R3
Wektory [1, 2, 3], [-3, 4, 2], [1, 0, 1] , [-15, 28, 18] są liniowo zależne, ponieważ:
4[1, 2, 3] + 5[-3, 4, 2] - 4[1, 0, 1] = [-15, 28, 18].
Przykład - Przestrzeń T(I)
Funkcje f(x) = x2, g(x) = sinx są liniowo niezależne w przestrzeni T[0,2p], natomiast funkcje f(x) = sin2x , g(x) = cos2x, h(x) º 1 nie są liniowo niezależne, gdyż f(x) + g(x) - h(x) º 0 dla x Î [0,2p].
Z definicji liniowej niezależności wynikają następujące fakty:
gdzie: a 1, ....., a n Î R.
Pytanie kontrolne 4: Uzasadnij liniową zależność wektorów [1, 2], [2, 3], [3, 4] w przestrzeni R2 przedstawiając jeden z tych wektorów jako liniową kombinację pozostałych.
« poprzedni punkt | następny punkt » |