« poprzedni punkt  następny punkt »


2. DEFINICJE WYZNACZNIKA

Indukcyjna definicja wyznacznika względem liczby wierszy n - rozwinięcie względem pierwszego wiersza.

Niech A oznacza macierz kwadratową wymiaru nxn.

Krok 1. Dla n=1, det A = a.

Krok 2.

Założmy, że mamy zdefiniowany wyznacznik macierzy A wymiaru n x n.

Zdefiniujemy wyznacznik macierzy A wymiaru (n+1) x (n+1) postaci:

Dla i = 1, 2, ..., n+1:

Przyjmujemy: det A = S, gdzie S jest sumą następujących iloczynów: każdy element a1i pierwszego wiersza przemnażamy przez (-1)1+i i przez wyznacznik macierzy otrzymanej przez skreślenie pierwszego wiersza i i-tej kolumny. Otrzymane iloczyny dodajemy.

Wyznacznik liczbowej macierzy kwadratowej oznaczamy również symbolem:

Dla wyznacznika mówimy podobnie jak o macierzy o jego stopniu, wierszach i kolumnach. Pamiętajmy, że wyznacznik jest określony tylko dla macierzy kwadratowych.

Przykład

Obliczyć z definicji wyznacznik macierzy:

.

Zauważmy, że stosując definicję indukcyjną do macierzy kwadratowej A stopnia 2 otrzymamy wynik zgodny z pierwszą definicją przedstawiona na wykładzie:

Prosto można również obliczyć wyznacznik macierzy stopnia 3.

Metoda Sarrusa

Do macierzy dopisujemy dwa pierwsze wiersze i obliczamy sumę następujących iloczynów:

Przykład

Oblicz wyznacznik metodą Sarrusa.

Pytanie kontrolne 1: Oblicz wyznacznik:

Wyznacznik można zdefiniować inaczej używając pojęcia permutacji i jej znaku.

Permutacyjna definicja wyznacznika

Przypomnienie:

Permutacja zbioru: {1, 2, ..., n} jest to ciąg {p1, p2,..., pn} elementów tego zbioru, w którym każda liczba powtarza się tylko raz.

Para {pi, pj} tworzy inwersję, gdy pi > pj oraz i < j.

Liczba permutacji zbioru n - elementowego: n!

Permutacja parzysta - parzysta ilość inwersji.

Permutacja nieparzysta - nieparzysta ilość inwersji.

Znak permutacji: -1 dla permutacji nieparzystej, 1 dla permutacji parzystej. Znak permutacji b oznaczamy sgn b.

Przykład

Rozpatrzmy permutację (2, 3, 4, 5, 1) zbioru {1, 2, 3, 4, 5}.

Liczba inwersji= 4 Þ permutacja parzysta Þ znak permutacji wynosi 1.

Twierdzenie

Dla macierzy A =[ aij]nxn mamy :

,

gdzie b przebiega wszystkie permutacje zbioru {1, 2, ...,n}.

Obliczanie wyznacznika macierzy metodą permutacyjną (dla macierzy 3 x 3)

Permutacja wyjściowa Permutacja obliczona Znak permutacji Iloczyn współczynników

1, 2, 3

1, 2, 3

1

a11a22a33

 

1, 3, 2

-1

a11a23a32

 

2, 1, 3

-1

a12a21a33

 

3, 2, 1

-1

a13a22a31

 

2, 3, 1

1

a12a23a31

 

3, 1, 2

1

a13a21a32

a

Tak, więc otrzymujemy wspomniany poprzednio wzór Sarrusa.

Przykład

Obliczyć wyznacznik macierzy metodą permutacyjną

a11a22a33 = -1× 2 × 0 = 0permutacja parzysta
a11a23a32 = -1 × 1 × (-5) = 5permutacja nieparzysta
a12a213a33 = 3 × 0 × 0 = 0permutacja nieparzysta
a13a22a31 = 4 × 2 × 3 = 24permutacja nieparzysta
a12a23a31 = 3 × 1× 3 = 9permutacja parzysta
a13a21a32 = 4 × 0 × (-5) = 0permutacja parzysta

Metoda Sarrusa:

Pytanie kontrolne 2: Oblicz ilość inwersji oraz znak podanej permutacji:

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »