« poprzedni punkt | następny punkt » |
Podobnie jak użyliśmy liczb naturalnych do zdefiniowania liczb całkowitych, użyjemy teraz liczb całkowitych do zdefiniowania liczb wymiernych.
Definicja
Liczby wymierne Q są to liczby postaci m/n, gdzie m Î Z i n Î Z i n ¹ 0.
Formalnie, zbiór liczb wymiernych Q zdefiniowany jest jako zbiór par (m, n) dla n¹ 0, które zapisywać będziemy jako m/n.
Q = {m/n: mÎ Z, nÎ Z, n ¹ 0}
Dwa ułamki m/n i p/q uznajemy za równe gdy m × q = n × p.
Definicja
Działania dodawania +Q i mnożenia × Q w zbiorze liczb wymiernych Q:
Definicja
Dla m/n ¹ 0 (tj. m ¹ 0) określimy odwrotność
Z definicji mnożenia i określenia odwrotności wynika
Stwierdzenie
Definicja
Dzielenie dwóch ułamków m/n i (p/q) ¹ 0 jest postaci
Stwierdzenie
Dla q ¹ 0:
Definicja
Odejmowanie ułamków jest postaci
Definicja
Porównywanie ułamków m/n, p/q odbywa się w następujący sposób
w szczególności, gdy n× q > 0 (np. n, q > 0), mamy
Twierdzenie
Dla liczb całkowitych n, m mamy
W dalszym ciągu zamiast <Q będziemy pisać <.
Twierdzenie (o gęstości)
Jeżeli ( m/n ) < ( p/q ) to ( m/n) < [( m + p)/( n + p)] < ( p/q), (n, q > 0).
Z twierdzenia o gęstości wynika, że pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi istnieje różna od nich liczba wymierna.
Pytanie kontrolne 3: Dodaj ułamki 7/13 i 8/3.
« poprzedni punkt | następny punkt » |