następny punkt » |
Przypomnijmy, że wektory vn . . . ,vk należące do przestrzeni liniowej V są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego układu c1, c2, ..., ck liczb rzeczywistych, jeżeli:
c1v1 + c2v2 +.....+ ckvk=0
to:
c1 = c2 = ...= ck = 0.
Jeżeli wektory v1, v2,....., vk nie są liniowo niezależne, to mówimy, że są one liniowo zależne.
Nieskończony ciąg wektorów jest liniowo niezależny, gdy każdy jego skończony podzbiór jest liniowo niezależny.
Przykład
Jeżeli wektory v1, v2 są liniowo zależne, to istnieją liczby c1, c2; gdzie c1 ¹ 0 lub c2 ¹ 0, takie, że:
c1 v1 + c2 v2 =0.
Jeśli np. c1 ¹ 0 to wtedy:
Przypomnijmy również, że przestrzenią generowaną przez zbiór wektorów :
B={v1, .....,vk }
nazywamy zbiór wektorów w postaci:
w = c1 v1+c2 v2 . . . +ck vk, gdzie c1, . . . ,ck Î R.
Przestrzeń tę oznaczać będziemy przez lin {v1, . . ., vk} lub lin B.
Wprowadzimy teraz definicję bazy.
Definicja
Bazą przestrzeni liniowej V nazywamy zbiór B wektorów tej przestrzeni, taki że :
Przykład
Sprawdzić, że układ wektorów: v1 = [ 1,2] i v2 = [ 3,1], jest bazą w przestrzeni R2.
Warunek (i) jest spełniony, gdyż dla dowolnego w=[w1,w2] istnieje rozwiązania równania:
c1 v1 + c2 v2 = w,
mającego postać równoważną:
Wynika to oczywiście z faktu, że wyznacznik macierzy współczynników równania jest różny od 0.
Podobnie, aby sprawdzić warunek (ii) wystarczy rozpatrzyć wektor w = 0.
Wówczas jedynym rozwiązaniem układu równań jest [c1,c2] = [ 0,0 ], a zatem układ v1, v2 jest układem wektorów liniowo niezależnych. Spełnione są zatem warunki (i) i (ii), a zatem rozpatrywany układ jest bazą.
Pytanie kontrolne 1: Sprawdź, czy dany układ wektorów jest bazą w przestrzeni R3:
[1, 0, 1], [1, 2, 2], [2, 2, 3].
Z przykładu wynika następujące ważne stwierdzenie:
Stwierdzenie
Niech A(a1, a2, ....., an ) oznacza macierz n x n taką, że i-tą kolumną tej macierzy jest wektor ai.
Jeśli det A(a1, a2, ....., an ) ¹ 0, to układ { a1, a2, ....., an } jest bazą przestrzeni Rn.
Udowodnimy teraz twierdzenie o jednoznaczności przedstawienia wektora w w bazie.
następny punkt » |