« poprzedni punkt | następny punkt » |
Poznamy teraz kolejną reprezentację liczb zespolonych, która często jest wykorzystywana w ich zastosowaniach. Podstawowym symbolem, który zdefiniujemy jest jedynka urojona. Liczba ta nie ma swojego odpowiednika w zbiorze liczb rzeczywistych i jest postaci (0,1).
Definicja
Liczbę (0,1) będziemy oznaczać symbolem i:
i = (0,1).
Liczbę tę nazywamy jedynką urojoną, dlatego, że i2 = ( 0,-1 ).
Rzeczywiście:
i∙i = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1,zgodnie z regułą (a,b)(c,d) = (ac - bd,ad + bc).
Zatem liczbę i2 utożsamiamy z liczbą -1, pisząc i2 = -1.
Pamiętamy, że i nie jest liczbą rzeczywistą gdyż nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat jest liczbą ujemną.
Ponieważ:
Niech liczba zespolona ma postać a + bi.
Liczbę rzeczywistą a Î
R nazwiemy częścią rzeczywistą liczby zepolonej.
Liczbę rzeczywistą b Î
R nazwiemy częścią urojoną liczby zespolonej.
Wielkości te oznaczamy przez:
a = Re(a + bi), Re - realis - rzeczywisty (łac.)
b = Im(a + bi), Im - imaginarius - urojony (łac.)
Liczba zespolona ib, gdy b ¹ 0 jest liczbą urojoną.
Liczbę zespoloną będziemy dalej nazywać krótko liczbą i oznaczać także jedną litera, np. z, przy czym z = a + bi. Zatem z = Re z + i × Im z .
Pytanie kontrolne 2: Zapisz w postaci kanonicznej Gaussa liczby (2, 6), (5, -5), (0, 2), (1, 0).
Działania na liczbach zespolonych w postaci kanonicznej Gaussa
Określamy działania dodawania, odejmowania i mnożenia liczb w postaci kanonicznej Gaussa. Wykorzystujemy tu prawa działań obowiązujące w zbiorze liczb rzeczywistych.
W związku z tym, że liczba zespolona jest w istocie parą liczb wprowadzamy wielkości, które tę parę charakteryzują. Jedną z takich wielkości jest moduł liczby zespolonej.
Definicja
Modułem liczby zespolonej z = a + bi, oznaczanym przez | z |, nazywamy rzeczywistą liczbę nieujemną, będącą pierwiastkiem sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej tej liczby:
Przykład
Obliczyć moduł liczby zespolonej 3 - 4i.
Podobnie: ú1ú = 1,úiú = 1, ú0ú = 0.
Stwierdzenie
Liczba zespolona jest wtedy i tylko wtedy zerem, gdy jej moduł jest równy zeru:
z = 0 Û
|z| = 0.
Definicja
Dwie liczby, z których jedna jest sprzężona z drugą, nazywamy liczbami sprzężonymi.
Stwierdzenie
(i) Liczby sprzężone mają równe moduły, tzn.:
.
(ii) Iloczyn liczb sprzężonych jest równy kwadratowi ich wspólnego modułu, tzn.:
Wzór (ii) można napisać w postaci:
Wniosek
W zbiorze liczb zespolonych sumę kwadratów można rozłożyć na iloczyn czynników pierwszego stopnia.
Przykład
Stwierdzenie
Liczba odwrotna do liczby zespolonej ma postać:
Iloraz liczb zespolonych ma postać:
W celu udowodnienia równości pierwszą z nich dzielimy przez
, a drugą przez
Przykład
a) Obliczyć liczbę odwrotną do liczby zespolonej 3 - 4i.
Z pierwszej równości ostatniego stwierdzenia wynika, że:
b) Obliczyć iloraz dwóch liczb zespolonych 2 + i oraz 4 - i.
Z drugiej równości ostatniego stwierdzenia:
Przykład
W zbiorze liczb zespolonych można rozwiązać równania kwadratowe,
których wyróżnik ∆ jest liczbą ujemną. Przedstawimy rozwiązanie równania kwadratowego postaci:
Wyróżnik równania wynosi:
Korzystając z własności liczb zespolonych obliczmy pierwiastek z wyróżnika:
A zatem równanie posiada dwa pierwiastki zespolone postaci:
Pytanie kontrolne 3: Oblicz moduł liczby zespolonej - 4 + 3i oraz znajdź liczbę do niej sprzężoną.
« poprzedni punkt | następny punkt » |