« poprzedni punkt | następny punkt » |
Indukcyjna definicja wyznacznika względem liczby wierszy n - rozwinięcie względem pierwszego wiersza.
Niech A oznacza macierz kwadratową wymiaru nxn.
Krok 1. Dla n=1, det A = a.
Krok 2.
Założmy, że mamy zdefiniowany wyznacznik macierzy A wymiaru n x n.
Zdefiniujemy wyznacznik macierzy A wymiaru (n+1) x (n+1) postaci:
Dla i = 1, 2, ..., n+1:
Przyjmujemy: det A = S, gdzie S jest sumą następujących iloczynów: każdy element a1i pierwszego wiersza przemnażamy przez (-1)1+i i przez wyznacznik macierzy otrzymanej przez skreślenie pierwszego wiersza i i-tej kolumny. Otrzymane iloczyny dodajemy.
Wyznacznik liczbowej macierzy kwadratowej oznaczamy również symbolem:
Dla wyznacznika mówimy podobnie jak o macierzy o jego stopniu, wierszach i kolumnach. Pamiętajmy, że wyznacznik jest określony tylko dla macierzy kwadratowych.
Przykład
Obliczyć z definicji wyznacznik macierzy:
.
Zauważmy, że stosując definicję indukcyjną do macierzy kwadratowej A stopnia 2 otrzymamy wynik zgodny z pierwszą definicją przedstawiona na wykładzie:
Prosto można również obliczyć wyznacznik macierzy stopnia 3.
Metoda Sarrusa
Do macierzy dopisujemy dwa pierwsze wiersze i obliczamy sumę następujących iloczynów:
Przykład
Oblicz wyznacznik metodą Sarrusa.
Pytanie kontrolne 1: Oblicz wyznacznik:
Wyznacznik można zdefiniować inaczej używając pojęcia permutacji i jej znaku.
Permutacyjna definicja wyznacznika
Przypomnienie:
Permutacja zbioru: {1, 2, ..., n} jest to ciąg {p1, p2,..., pn} elementów tego zbioru, w którym każda liczba powtarza się tylko raz.
Para {pi, pj} tworzy inwersję, gdy pi > pj oraz i < j.
Liczba permutacji zbioru n - elementowego: n!
Permutacja parzysta - parzysta ilość inwersji.
Permutacja nieparzysta - nieparzysta ilość inwersji.
Znak permutacji: -1 dla permutacji nieparzystej, 1 dla permutacji parzystej. Znak permutacji b oznaczamy sgn b.
Przykład
Rozpatrzmy permutację (2, 3, 4, 5, 1) zbioru {1, 2, 3, 4, 5}.
Liczba inwersji= 4 Þ permutacja parzysta Þ znak permutacji wynosi 1.
Twierdzenie
Dla macierzy A =[ aij]nxn mamy :
,
gdzie b przebiega wszystkie permutacje zbioru {1, 2, ...,n}.
Obliczanie wyznacznika macierzy metodą permutacyjną (dla macierzy 3 x 3)
Permutacja wyjściowa | Permutacja obliczona | Znak permutacji | Iloczyn współczynników |
1, 2, 3 |
1, 2, 3 |
1 |
a11a22a33 |
1, 3, 2 |
-1 |
a11a23a32 |
|
2, 1, 3 |
-1 |
a12a21a33 |
|
3, 2, 1 |
-1 |
a13a22a31 |
|
2, 3, 1 |
1 |
a12a23a31 |
|
3, 1, 2 |
1 |
a13a21a32 |
a
Tak, więc otrzymujemy wspomniany poprzednio wzór Sarrusa.
Przykład
Obliczyć wyznacznik macierzy metodą permutacyjną
a11a22a33 = -1× 2 × 0 = 0 | permutacja parzysta |
a11a23a32 = -1 × 1 × (-5) = 5 | permutacja nieparzysta |
a12a213a33 = 3 × 0 × 0 = 0 | permutacja nieparzysta |
a13a22a31 = 4 × 2 × 3 = 24 | permutacja nieparzysta |
a12a23a31 = 3 × 1× 3 = 9 | permutacja parzysta |
a13a21a32 = 4 × 0 × (-5) = 0 | permutacja parzysta |
Metoda Sarrusa:
Pytanie kontrolne 2: Oblicz ilość inwersji oraz znak podanej permutacji:
« poprzedni punkt | następny punkt » |