« poprzedni punkt  następny punkt »


2. ALGORYTM KOLUMN JEDNOSTKOWYCH

Przekształcamy kolejne kolumny macierzy rozszerzonej tak, aby po każdym kroku otrzymać w kolumnie n -1 zer i 1 jedynkę. Po przekształceniu kolumn jedynki muszą znajdować się w różnych wierszach.

W porównaniu z oryginalną metodą Gaussa metoda ta nie wymaga ani przestawiania wierszy ani budowania macierzy trójkątnej.

Algorytm przekształcania j-tej kolumny:

Chcąc otrzymać jedynkę w miejscu (i,j), i-ty wiersz macierzy rozszerzonej dzielimy przez aij. Następnie od pozostałych wierszy odejmujemy i-ty wiersz przemnożony odpowiednio przez a1j ,a2j,.....,ai-1,j,ai+1,j,anj, w wyniku czego na wszystkich miejscach j-tej kolumny poza i-tym otrzymamy zera.

Przykład

Rozwiążmy ostatni przykład stosując metodę kolumn jednostkowych.

  1. Macierz rozszerzona ma postać:

  2. Doprowadzamy pierwszą kolumnę do postaci [0, 0, 1]T mnożąc trzeci wiersz odpowiednio przez 3 i 2 i odejmując od pierwszego i drugiego wiersza. Otrzymamy:

  3. Doprowadzamy trzecią kolumnę do postaci [0, 1, 0 ]T mnożąc trzeci wiersz odpowiednio przez - 4 i 1 i odejmując od pierwszego i trzeciego wiersza. Otrzymamy:

  4. Doprowadzamy drugą kolumnę do postaci [ 1, 0, 0 ]T dzieląc najpierw pierwszy wiersz przez - 25, a następnie mnożąc przez - 5 i 7 i odejmując od drugiego i trzeciego wiersza. Otrzymamy macierz:

    Skąd x2 =2, x3 =3 i x1 =1 czyli otrzymaliśmy poprzednie rozwiązanie.


« poprzedni punkt  następny punkt »