« poprzedni punkt  następny punkt »


2. ZALEŻNOŚĆ MACIERZY PRZEKSZTAŁCENIA OD BAZY

Niech L: Vg V będzie przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej V wymiaru n w siebie.

Przypomnijmy, że macierzą A przekształcenia L w bazie:

B1= {v1,...,vn}

nazywamy macierz składającą się ze współrzędnych wektorów L(vn),..., L(vn) w tej bazie ustawionych w kolumnach.

Istotną kwestią jest jak zmieni się macierz przekształcenia liniowego L gdy zamiast bazy B1 rozpatrzymy inną bazę B2.

Niech A' oznacza macierz przekształcenia L w bazie B2.

Twierdzenie

Macierz przekształcenia liniowego L w bazie B2 ma postać:

A'=P-1A P.

Dowód:

Po prawostronnym pomnożeniu równości przez P-1 otrzymamy:

A' P-1 = P-1 A.

Niech w1,...,wn będą współrzędnymi dowolnego ustalonego wektora a Î V w bazie B1 o współrzędnych:

Wiemy, że A w jest wektorem współrzędnych wektora L(a) w bazie B1, zatem na mocy stwierdzenia wektor
P-1A w jest wektorem współrzędnych wektora La w bazie B2.

Z kolei P-1w jest wektorem współrzędnych wektora a w bazie B2 i A' P-1 w wektorem współrzędnych jego obrazu L(a) tej bazie, czyli wektorem P-1 A w. Zatem P-1 A w = A' P-1 w.

Przykład c.d.

Rozpatrzmy przekształcenie liniowe o macierzy w bazie kanonicznej R3 postaci:

Macierz przekształcenia w bazie B2 ma postać:

W poprzednim wykładzie stwierdziliśmy, że jeśli przekształcenie liniowe L ma n różnych wartości własnych, to wektory własne tego przekształcenia tworzą bazę przestrzeni.

Pytanie kontrolne 1: Napisać macierz przejścia z bazy B do bazy B' odpowiedniej przestrzeni liniowej.

V = R2, B = {[3, 1], [2, 1]}, B' = {[1, -1], [2, 3]}.

Zobacz odpowiedź

Niech A będzie macierzą przekształcenia L w dowolnej bazie B1 przestrzeni V a A' będzie macierzą tego przekształcenia w bazie B2 złożonej z wektorów własnych {v1,..., vn}.

Oczywiście, z definicji macierzy przekształcenia:

gdzie l i jest wartością własną związaną z wektorem własnym vi.


« poprzedni punkt  następny punkt »