« poprzedni punkt  następny punkt »


2. ORTOGONALNOŚĆ I BAZY ORTOGONALNE

Definicja

Wektory u i v Î Eortogonalne jeśli < u, v > = 0, co zapisujemy symbolicznie jako: u ^ v.

Jeżeli dodatkowo wektory u i v są znormalizowane tzn.:

to u i v nazywamy wektorami ortonormalnymi.

Przykład

Sprawdź, czy podane wektory są ortonormalne:

Mamy: < u, v > = - 3 -1 + 4 = 0 zatem, u ^ v.

Łatwo sprawdzić, że norma wektora u jest różna od 1, wektory u i v są ortogonalne, nie są natomiast ortonormalne.

Definicja

Zbiór wektorów przestrzeni euklidesowej E nazywamy ortogonalnym (ortonormalnym), jeśli każde dwa wektory tego zbioru są ortogonalne (ortonormalne).

Ortogonalność wektorów można wykorzystać do konstrukcji bazy w przestrzeni euklidesowej. Podstawą do tego jest następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie

Każdy ortogonalny układ niezerowych wektorów przestrzeni euklidesowej jest liniowo niezależny.

Dowód

Dowód przeprowadzimy metodą niewprost. Niech B Ì E będzie układem ortogonalnym i załóżmy, rozumując przez sprzeczność, że istnieją u1, ....., un Î B i a 1, ....., a n Î R takie, że:

Policzmy iloczyn skalarny dowolnego wektora ui , 1 £ i £ n z lewą i prawą stroną powyższej równości. Wykorzystując własności ( i ) i ( ii ) iloczynu skalarnego otrzymamy:

Wektory są ortogonalne, stąd: a i < ui ,ui > = 0 , a ponieważ < ui ,ui > ¹ 0 (dlaczego?) to a i =0. Ponieważ rozumowanie to możemy przeprowadzić dla każdego 1 £ i £ n, przeczy to założeniu, że któryś ze współczynników a i musi być różny od 0.

Wektory układów ortogonalnych będziemy oznaczać przez e1, ....., en, ....

Przykład

Rozpatrzmy przestrzeń E3 ze standardową bazą: e1 = [1, 0, 0], e 2 = [0, 1, 0], e3 = [0, 0,1]. Jak łatwo sprawdzić, wektory e1, e2, e3 SA ortogonalne i wszystkie mają długość 1, zatem są ortonormalne.

Jeśli rozpatrzymy w przestrzeni euklidesowej bazę ortogonalną tj. taką, która składa się z wektorów ortogonalnych, możemy prosto wyznaczyć współrzędne dowolnego wektora w tej bazie.

Stwierdzenie

Niech { e1, ....., en } będzie bazą ortogonalną przestrzeni euklidesowej E i u Î E. Wówczas:

u = a 1 e1 +.......+ a nen, gdzie a i = < u, ei >/ || ei ||2.

W szczególności, gdy { e1, ....., en } jest bazą ortonormalną , to a i = < u, ei >.

Dowód

Zapiszmy wektor u w bazie { e1, ....., en }: u = a 1 e1 +.......+ a nen i obliczmy iloczyn skalarny obu stron z wektorem e1 . Otrzymamy:

Stąd: a 1 = < u, e1 >/ || e1 ||2. Podobnie uzasadniamy tezę twierdzenia dla pozostałych współczynników a i.

Przykład

W przestrzeni E3 rozpatrujemy wektor u = [1, 1, 1] oraz wektory ortogonalne:

e1 = [1, 1, 0], e2 = [1, -1, 0], e3 = [0, 0, 1].

Współrzędne wektora u w podanej bazie mają postać:

a 1 = < u, e1 >/ || e1 ||2 = 2/2 = 1,

a 2 = < u, e2 >/ || e2 ||2 = 0,

a 3 = < u, e3 >/ || e3 ||2 = 1/1.

Zatem:

u = e1 + e3.


« poprzedni punkt  następny punkt »