« poprzedni punkt | następny punkt » |
Omówimy teraz funkcję zmiennej zespolonej postaci:
gdzie n jest ustaloną liczbą naturalną.
Definicja
Rozwiązania równania:
wn = z,gdzie z = x + y∙i Î C oraz n = 2,3,...; nazwiemy pierwiastkami stopnia n z liczby z.
Na podstawie zasadniczego twierdzenia algebry wiemy, że pierwiastków stopnia n z liczby z jest n.
Zapis oznacza zbiór wszystkich n pierwiastków stopnia n z liczby, z, zatem
nie jest funkcją w dotychczasowym sensie tego słowa.
Rozwiązanie równania wn = z dla trygonometrycznej postaci liczb zespolonych:
Z twierdzenia de Moivre'a otrzymujemy:
Stąd:
(i) ,
(ii) cosnj 0 = cosj,
(iii) sinnj 0 = sinj.
Układ równań (ii), (iii) ma rozwiązanie postaci:
Stąd:
Ponadto
Otrzymujemy n różnych wartości , dla wartości k = 0,1,..., n-1:
Przykład
Niech n = 2. Wyznaczymy oba pierwiastki stopnia 2 z liczby z.
,
Przykład
Obliczyć pierwiastki stopnia 2 z liczby z = 4 + 3i.
Zatem:
Pytanie kontrolne 4: Obliczyć
Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby 1
Rozpatrzmy szczególny przypadek gdy z = 1. Liczbę 1 możemy przedstawić jako liczbę zespoloną w postaci:
1 = 1 + 0∙i = 1∙(cos0 + i∙sin0).Kolejne pierwiastki stopnia n z 1 oznaczamy jako e 0,e 1,...,e n-1 .
Mamy:
Twierdzenie
Dowód
Interpretacja geometryczna liczb e 0, e 1, ....., e n-1
Pierwiastki e 0, ...., e n-1 są wierzchołkami n - kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 1 i środku (0, 0).
Rys. 4_1 Interpretacja geometryczna pierwiastków stopnia n z liczby 1.
« poprzedni punkt | następny punkt » |