« poprzedni punkt 


5. PRZEDSTAWIENIA MACIERZOWE PRZEKSZTAŁCEŃ PŁASZCZYZNY

5.1. Przesunięcie

Punkty na płaszczyźnie (x, y) możemy przesunąć na nową pozycję dodając do współrzędnych punktów wielkość przesunięcia. Dla każdego punktu P(x, y), który ma być przesunięty do nowego punktu P(x', y') o dx jednostek wzdłuż osi x i o dy jednostek wzdłuż osi y, możemy napisać:

x' = x+ dx y' = y+ dy.

Zapis w postaci macierzowej:

Rys. 5_1 Przesunięcie prostokąta o wektor [1,-3].


5.2. Skalowanie (jednokładność)

Punkty mogą być skalowane ze współczynnikiem sx wzdłuż osi x i ze współczynnikiem sy wzdłuż osi y przez mnożenie współrzędnych:

Zapis w postaci macierzowej:

Rys. 5_2 Jednokładność płaszczyzny ze współczynnikiem 1/3 w kierunku osi x i 1/2 w kierunku osi y (skalowanie niejednorodne).


5.3. Obrót

Punkty mogą być obracane o kąt q wokół początku układu współrzędnych. Punkt P(x, y) przechodzi na punkt P(x', y'), gdzie:

x' = x × cos q - y× sin q , y' = x × sin q +y × cos q.

Zapis w postaci macierzowej:

Rys. 5_3 Obrót dookoła punktu (0, 0).

Kąty dodatnie otrzymujemy przesuwając się w kierunku przeciwnym względem kierunku ruchu wskazówek zegara ( od x do y ).

Kąty ujemne otrzymujemy przesuwając się w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, w równaniach określających nowe współrzędne można skorzystać z tożsamości:

.

Równanie: x' = x × cos q - y× sinq, wyprowadzamy korzystając z rysunku, na którym obrót o kąt q przekształca punkty:

Odległości od początku układu współrzędnych punktów P' i P są równe i wynoszą r.

oraz

Rys. 5_4 Obrót dookoła punktu (0, 0) o kąt a.


« poprzedni punkt