« poprzedni punkt  następny punkt »


2. METODA ELIMINACJI GAUSSA

W wykładzie 5 omówiliśmy już metodę eliminacji Gaussa w przypadku, gdy liniowy układ równań był oznaczony, tzn. miał dokładnie jedno rozwiązanie. Algorytm Gaussa polegał na przekształceniu macierzy głównej układu równań do macierzy górnotrójkątnej, a następnie do macierzy jednostkowej przy użyciu następujących przekształceń elementarnych:

  1. zamiany między sobą dwóch wierszy;

  2. mnożenia dowolnego wiersza przez liczbę różną od 0;

  3. dodania do dowolnego wiersza innego wiersza przemnożonego przez dowolną liczbę. W przypadku ogólnego układu równań rozszerzamy przekształcenia elementarne o dwa następne:

  4. skreślenie wiersza złożonego z samych zer;

  5. skreślenie wiersza proporcjonalnego do innego wiersza.

Rozpatrzmy przykład zastosowania metody Gaussa do układu równań:

Macierz rozszerzona tego układu równań jest postaci:

Macierz A ê B przekształcamy w ten sposób, że ostatni wiersz mnożymy przez 1/3 i zamieniamy miejscami z pierwszym:

W kolejnym kroku od trzeciego wiersza odejmujemy pierwszy wiersz przemnożony przez 4:

Zauważmy, że ostatni wiersz jest równy wierszowi drugiemu przemnożonemu przez - 2, a zatem go skreślamy:

Kolejnym przekształceniem jest odjęcie drugiego wiersza od pierwszego:

Otrzymaliśmy równoważny układ równań postaci:

Układ ten jest oczywiście układem nieoznaczonym z dwoma parametrami. Przyjmując zmienne z i t jako parametry otrzymamy:

W ogólnym przypadku macierz rozszerzona A | B zostanie przekształcona do macierzy:

przy czy ostatni wiersz może nie występować. Liczba r jest rzędem macierzy A.

Rozróżniamy następujące przypadki:

  1. jeśli zr+1 ¹ 0, to układ A× X = B jest sprzeczny;
  2. jeśli ostatni wiersz się nie pojawi i n = r , to układ A× X = B ma jednoznaczne rozwiązanie:
  3. jeśli ostatni wiersz się nie pojawi i n > r , to układ jest nieoznaczony, przy czym przy potraktowaniu zmiennych xr+1, ....,xn jako parametrów, mamy:


« poprzedni punkt  następny punkt »