« poprzedni punkt 


4. MACIERZE JORDANA

Definicja

Macierz kwadratowa górnotrójkątna A jest macierzą blokową Jordana, jeśli:

,

gdzie każda z macierzy Aj jest kwadratowa i ma postać:

Macierze A nazywamy klatkami Jordan macierzy A.

Uwaga

Liczby a1, a2, ... ,ak występujące w macierzy Jordana są jej wartościami własnymi. Najmniejsza możliwa klatka Jordana jest macierzą 1x1, składającą się tylko z jednej wartości własnej.

Twierdzenie

Niech A będzie macierzą wymiaru nxn. Wówczas A jest podobna do macierzy Jordana.

Twierdzenie

Wówczas: am-1 - am ³ 0 i am-1 - am jest liczbą klatek Jordana wymiaru większego bądź równego m w macierzy B, zawierających wartość własną l.

Znajdowanie macierzy Jordana dla macierzy A

Przykład 1

Znaleźć macierz Jordana dla macierzy:

.

Ponieważ wartości własne są pojedyncze (l 1=2, l 2=8), macierz Jordana możemy zapisać natychmiast:

Przykład 2

Znaleźć macierz Jordana dla macierzy:

.

Wartość własna macierzy: l 1 = l 2 = 2.

Zatem obliczamy:

a0 = 2 - rząd macierzy A,

a1 = 1 - rząd macierzy = .

Stąd:

a0 - a1= 1.

Liczba klatek rozmiaru większego bądź równego 1 wynosi 1, czyli klatka musi mieć wymiar 2x2 i macierz Jordana jest postaci:

.

Przykład 3

Znaleźć macierz Jordana dla macierzy:

Wartość własna macierzy: l 1 = l 2 = -1, l 3 = 3.

Zatem obliczamy:

a0 = 3 - rząd macierzy.

a1 = 2 - rząd macierzy

(drugi wiersz macierzy jest proporcjonalny do pierwszego).

Stąd:

a0 - a1 = 1.

Liczba klatek wymiaru większego bądź równego 1 odpowiadających wartości własnej -1 wynosi 1, czyli musi to być klatka 2x2. Zatem macierz Jordana jest postaci:

.


« poprzedni punkt