« poprzedni punkt | następny punkt » |
Definicja
Iloczyn skalarny jest to funkcja określona na parze wektorów o wartościach ze zbioru liczb rzeczywistych.
< ×, × > : Rn x Rn ® R
Dla dwóch wektorów: a =[ a1, a2, ....., an ] i b = [ b1, b2, ....., bn ] definiujemy iloczyn skalarny jako:
Twierdzenie
Własności iloczynu skalarnego:
Dowód
Przykład
Obliczyć iloczyn skalarny wektorów: a =[1, 2, 3], b = [0, -1, 5].
< a, b > = = 13
Pytanie kontrolne 5: Oblicz iloczyn skalarny wektorów [2, 0, 3] i [0, 1, 6].
Definicja
Długością wektora a nazywamy liczbę rzeczywistą:
Rys. 10_2 Interpretacja geometryczna długości wektora.
Przykład
Obliczyć długość wektora a = [2, 6, 0, 3].
Twierdzenie (nierówność Schwarza)
Dla dowolnych dwóch wektorów a i b zachodzi:
ê< a ,b >ê £ ça ç çb ç.
Dowód
Rozważmy funkcję kwadratową:
Mamy:
Ponieważ dla każdej wartości t zachodzi:
więc wyróżnik D £ 0, a zatem:
.
Otrzymujemy stąd:
zatem:
ê< a ,b >ê £ ça ç çb ç.
Twierdzenie (nierówność trójkąta)
Dla dowolnych dwóch wektorów a i b zachodzi:
| a + b | < | a | + | b |.
Definicja
Odległością wektorów a i b nazywamy długość wektora a - b.
Pytanie kontrolne 6: Oblicz długość wektora a = [-2, 1, 0].
« poprzedni punkt | następny punkt » |