« poprzedni punkt |
Funkcja logarytmiczna zmiennej zespolonej jest postaci:
f(z) = log z.
Definicja
log z = lnr + ij jeśli r > 0, dla z = reij .(i) Funkcja logz nie jest sensu stricto funkcją, ponieważ argument liczby zespolonej nie jest określony jednoznacznie, zatem: log z = lnr + i(j + 2kp ), gdzie k Î Z.
(ii) Funkcja log z ma nieskończenie wiele gałęzi: każdej ustalonej wartości k odpowiada jedna gałąź logarytmu będąca funkcją w dotychczasowym naszym rozumieniu tego terminu.
Gałąź główna:
Stwierdzenie
Funkcja logarytmiczna ma następujące własności:
log (z1∙z2) = logz1 + logz2,
log1 = 0,
elogz = z.
Dowód:
mamy:
Nadto:
elogz = eln|z|+Argz = eln|z|∙eiArgz = |z|∙eiArgz = z.
« poprzedni punkt |