« poprzedni punkt | następny punkt » |
Twierdzenie
Niech wektory a1, a2, ....., an będą bazą przestrzeni liniowej V. Każdy wektor b z tej przestrzeni jest jednoznaczną kombinacją liniową wektorów a1, a2, ....., an , tzn. w reprezentacji:
b = c1 a1 + .....+ cn an,
współczynniki c1, c2, ....., cn są wyznaczone jednoznacznie i nazywają się współrzędnymi wektora b w tej bazie.
Dowód
Z definicji bazy wynika, że wektor b jest pewną kombinacją liniowa wektorów a1, a2, ....., an . Załóżmy, że wektor b posiada dwie różne reprezentacje w tej samej bazie, tzn.:
b = c1 a1 + .....+ cn an = d1 a1 + .....+ dn an,
gdzie (c1, c2, ....., cn) ≠ (d1, d2, ....., dn).
Wówczas:
0 = (c1 - d1 )× a1 + (c2 - d2)× a2 + .....+ (cn - dn )× an
i nie wszystkie współczynniki są zerowe, co przeczy liniowej niezależności wektorów a1, a2, ....., an .
Zauważmy, że dla przestrzeni Rn możemy podać inny dowód tego twierdzenia. Z twierdzenia Cramera wynika bowiem, że układ równań:
b = c1 a1 + .....+ cn an,
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Przykład - przestrzeń R3
Znajdź współrzędne wektora [-15, 28, 18] w bazie złożonej z wektorów: [1, 2, 3], [-3, 4, 2], [1, 0, 1].
Wektor [-15, 28, 18] zapisujemy jako:
[-15, 28, 18] = 4[1, 2, 3] + 5 [-3, 4, 2] - 4[1, 0, 1].
A zatem współrzędnymi wektora [-15, 28, 18] w tej bazie są liczby [4, 5, - 4].
Bazę w przestrzeni Rn tworzy układ n wektorów liniowo niezależnych.
Baza kanoniczna w przestrzeni Rn są to wektory e1, e2, ..., en postaci:
e1 = [1, 0,...,0] , e2 =[ 0, 1, 0,...,0], ..., en =[ 0,...,0,1].
Rys. 10_1 Interpretacja geometryczna bazy kanonicznej w Rn.
Pytanie kontrolne 2: Sprawdź, czy wektory [1, 0, 1] i [2, 3, 4] są bazą w przestrzeni R3.
Każdy wektor x = [ x1, x2, ..., xn ] Î Rn jest reprezentowany w bazie kanonicznej jako:
x = x1 e1 + x2 e2 +...+ xn en.
Zatem i - tą współrzędną wektora x = [ x1, x2, ..., xn ] w bazie kanonicznej jest xi.
Przykład
Znaleźć współrzędne wektora: d = [-1, -2, 3] w bazie złożonej z wektorów:
a = [1, 1, 0], b = [1, 0, 1], c = [0, 1, 1] w R3.
Oznaczamy szukane współrzędne przez x, y, z; muszą one spełniać równanie:
x[1, 1, 0] + y[1, 0, 1] + z[0, 1, 1] = [-1, -2, 3],
a zatem:
x + y = -1
x + z = -2
y + z = 3
stąd: x = - 3, y = 2, z = 1.
Przykład - przestrzeń R3
Wektor a ma współrzędne [2, 1, -3] w bazie złożonej z wektorów [2, 3, 0], [4, 2, 3], [1, 1, 1].
Obliczyć współrzędne wektora a w bazie: [4, 0, 1], [0, 2, 3], [2, 1, 0].
Oznaczamy szukane współrzędne przez x, y, z. Wiemy, że:
a = 2[2, 3, 0] + [4, 2, 3] -3 [1, 1, 1] = x [4, 0, 1] + y[0, 2, 3] + z[2, 1, 0].
Otrzymujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:
4x + 2z = 5
2y + z = 5
x + 3y = 0.
Postać macierzowa układu:
Jest to układ Cramera, gdyż wyznacznik macierzy głównej układu jest różny od zera, a zatem z twierdzenia Cramera rozwiązanie jest postaci
,
,
Podsumowanie
Jeżeli współrzędne wektora a Î R3 w kolejnych bazach wynoszą odpowiednio:
[x1, x2, x3] w bazie a1, a2, a3,
[y1, y2, y3] w bazie b1, b2, b3,
[z1, z2, z3] w bazie c1, c2, c3 itd.,
to:
x1× a1+ x2× a2 + x3× a3 = y1× b1 + y2× b2 + y3× b3 = z1× c1 + z2× c2 + z3× c3.
Pytanie kontrolne 3: Znaleźć z definicji współrzędne podanego wektora we wskazanej bazie odpowiedniej przestrzeni liniowej: v = [ -2, 5, 6] Î R3, B = {[1, 1, 0], [2, 1, 0], [3, 3, 1]}.
Przytoczymy jeszcze twierdzenie o równoliczności baz.
Twierdzenie
Jeśli jakakolwiek baza przestrzeni liniowej V składa się z n wektorów to każda inna baza v składa się również z n wektorów.
Twierdzenie to pozwala zdefiniować wymiar przestrzeni liniowej.
« poprzedni punkt | następny punkt » |